椭圆及其标准方程（同步练习）

椭圆及其标准方程（练习）(60分钟100分)1．(5分)若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为()A．4 B．2C．8 \f(3,2)2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠0)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠0)3.(5分)已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.4．(5分)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 \f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝15．(5分)若方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)6．(5分)(多选)若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝()A．1 B．3C．5 D．77.(5分)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．8.(5分)动点P(x，y)到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离和10，则点P的轨迹方程为____________．9.(5分)如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－eq\f(4,9)，则点M的轨迹方程为________．提升篇提升篇10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．(5分)(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则()A．椭圆的焦点在y轴上B．△ABF1的周长为6C．△AF1F2的周长为6D．椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝112．(5分)(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝113．(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()\f(x2,2)＋y2＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝114.(5分)若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．15.(5分)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．16.(5分)椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为______________．17.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)已知eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.18.(10分)如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．椭圆及其标准方程（练习）(60分钟100分)基础篇基础篇1．(5分)若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为()A．4 B．2C．8 \f(3,2)A解析：由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，根据椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，所以|MF2|＝10－2＝8.又O为F1F2的中点，N为F1M的中点，所以ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.2．(5分)已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠±2)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠0)\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠0)B解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(y≠±2)．3.(5分)已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.8解析：由椭圆的定义知|F2A|＋|F1A|＋|F2B|＋|F1B|＝4a＝20，所以|F1A|＋|F1B|＝|AB|＝20－12＝8.4．(5分)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为()\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 \f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D解析：(方法一)验证排除，将点(4，0)代入验证可排除A，B，C，故选D.(方法二)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16m＝1，,4n＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,4)，))故选D.5．(5分)若方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－2)∪(3，＋∞)D解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2>m＋6，,m＋6>0，))所以m>3或－6<m<－2.6．(5分)(多选)若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝()A．1 B．3C．5 D．7BC解析：当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.7.(5分)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3，,a－c＝1，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，))故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.8.(5分)动点P(x，y)到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离和10，则点P的轨迹方程为____________．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1解析：由题意，点P的轨迹为椭圆，且a＝5，c＝3，焦点在y轴上．9.(5分)如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－eq\f(4,9)，则点M的轨迹方程为________．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)解析：设点M(x，y)，则kAM＝eq\f(y,x＋5)(x≠－5)，kBM＝eq\f(y,x－5)(x≠5)．由已知有eq\f(y,x＋5)×eq\f(y,x－5)＝－eq\f(4,9)，化简即可得点M的轨迹方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．提升篇提升篇10.(5分)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：把椭圆方程化成eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1.若m＞n＞0，则eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，即有m＞n＞0.故为充要条件．11．(5分)(多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则()A．椭圆的焦点在y轴上B．△ABF1的周长为6C．△AF1F2的周长为6D．椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1CD解析：显然椭圆的焦点在x轴上，A错误．设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，代入方程可得eq\f(c2,a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1.求得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b4,a2).由于|AB|＝3，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6.12．(5分)(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq\r(3)，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,45)＋eq\f(y2,48)＝1\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1\f(x2,48)＋eq\f(y2,45)＝1AC解析：由已知2c＝|F1F2|＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3).因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq\r(3)，所以a＝2eq\r(3).所以b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.13．(5分)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()\f(x2,2)＋y2＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B解析：(方法一)如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝eq\f(4n2＋9n2－9n2,2·2n·3n)＝eq\f(1,3).在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·eq\f(1,3)＝4，解得n＝eq\f(\r(3),2).所以2a＝4n＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(方法二)由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n.由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，所以|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4n2＋4－2·2n×2×cos∠AF2F1＝4n2，,n2＋4－2·n×2×cos∠BF2F1＝9n2.))又∠AF2F1，∠BF2F1互补，所以cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝eq\f(\r(3),2).所以2a＝4n＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.14.(5分)若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．eq\f(1,32)解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为eq\f(y2,\f(1,k))＋eq\f(x2,\f(1,2k))＝1，因为焦点在y轴上，所以eq\f(1,k)－eq\f(1,2k)＝16，解得k＝eq\f(1,32).15.(5分)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．eq\r(3)解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中垂直长轴的弦最短，即eq\f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq\r(3).16.(5分)椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为______________．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析：由已知2c＝8，如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，所以eq\f(1,2)×8×b＝12，所以b＝3.所以a2＝b2＋c2＝25.所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.1