三角恒等变换

三角恒等变换[A级基础题——基稳才能楼高]1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()1A．1B.231C.2D．－2解析：选Bsin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos145°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝2.2．(2019·贵阳高三监测考试)sin415°－cos415°＝()11A.B．－2233C.D．－22解析：选Dsin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－3.故选D.2mπ2)3．(2018·成都七中一模)已知tanα＝，tanα＋4＝，则m＝(3mA．－6或1B．－1或6C．6D．1解析：选Amα＋πtanα＋13＋m∵tanα＋π22∵tanα＝，∴tan＝＝.4＝，∴m341－tanα3－mm3＋m.解得m＝－6或m＝1.故选A.3－m4．若2cos(θ－π3)＝3cosθ，则tanθ＝()23A.3B.2323C．－D.33π解析：选D由2cosθ－3＝3cosθ可得cosθ＋3sinθ＝3cosθ，故tanθ23＝.故选D.314π5．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝5，且α为第二象限角，则tanα＋4＝()1A．7B.71C．－7D．－74解析：选B∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝5，即－cos(α－β＋β)＝－cos44tan3α＋π＝α＝，∴cosα＝－.又∵α为第二象限角，∴α＝－，∴tan45541＋tanα11－tanα＝.7[B级保分题——准做快做达标]31．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为2的是()2π2πA．sin15°cos15°B．cos12－sin121＋tan15°1＋cos30°C.1－tan15°D.2112π2ππ解析：选BA．sin15°cos15°＝2sin30°＝4.B.cos12－sin12＝cos6＝31＋tan15°1＋cos30°6＋22.C.1－tan15°＝tan60°＝3.D.2＝cos15°＝4.故选B.11tanα2．若sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，则tanβ的值为()A．5B．－11C．6D.6解析：选A由题意知sinαcosβ＋cosαsinβ＝1，sinαcosβ－cosαsinβ2151sinαcosβtanα＝3，所以sinαcosβ＝12，cosαsinβ＝12，所以cosαsinβ＝5，即tanβ＝5，故选A.π3π3．对于锐角α，若sinα－12＝5，则cos2α＋3＝()243A.B.2582224C.8D．－25解析：选D由α为锐角，且sinα－π＝3，可得cosα－π＝4，则cosα＋π1251256ππππππ42322＝cosα－12＋4＝cosα－12cos4－sinα－12sin4＝5×2－5×2＝10，于2α＋π2π2224是cos3＝2cosα＋6－1＝2×10－1＝－25，故选D.π7ππ4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos2＋α＝3sinα＋6，则tan12＋α＝()A．4－23B．23－4C．4－43D．43－4πππ解析：选B由题意可得－sinα＝－3sinα＋6，即sinα＋12－12＝πππ)ππππ3sinα＋12＋12，sin(α＋12·cos12－cosα＋12sin12＝3sinα＋12cosπππππππ12＋3cosα＋12sin12，整理可得tanα＋12＝－2tan12＝－2tan4－6＝－tanπ－tanπ462×ππ＝23－4.故选B.1＋tan4tan6ππ5．(2018·四川联考)已知角α∈0，2，且cos2α＋cos2α＝0，则tanα＋4＝()A．－3－22B．－1C．3－22D．3＋22解析：选A由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2

1α＝3.∵α∈0，π3，∴sinα＝26sinα2，tanπ2，∴cosα＝31－cosα＝3，∴tanα＝cosα＝α＋4tanα＋tanπ42＋1＝＝π＝－3－22，故选A.1－tanαtan1－246．(2019·沧州教学质量监测)若cosα＋2cosβ＝2，sinα＝2sinβ－3，则sin2(α＋β)＝()31A．1B.21C.4D．0解析：选A由题意得(cosα＋2cosβ)2＝cos2α＋4cos2β＋4cosαcosβ＝2，(sinα－2sinβ)2＝sin2α＋4sin2β－4sinαsinβ＝3.两式相加，得1＋4＋4(cosαcosβ－sinαsinβ)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.π32π7．(2018·永州二模)已知tanα＋4＝4，则cos4－α＝()79A.25B.251624C.25D.25B∵tanπ3，∴cos2π＝sin2π解析：选α＋4＝44－αα＋4＝sin2πα＋4sin2π＋cos2πα＋4α＋4tan2π9α＋4169＝2π＝9＝25.故选B.tanα＋4＋116＋18．(2018·河北武邑中学二调)设当x＝θ时，函数f()＝sinx－2cosx取得最大值，x则cosθ＝()A.25B.555C．－25D．－555解析：选C利用辅助角公式可得f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x－φ)，其中cosφ525π＝5，sinφ＝5.当函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋2(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋πθ＝cos2kπ＋π25＋φ(k∈Z)，则cos＋φ＝－sinφ＝－(k∈225Z)，故选C.39．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－5，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝()412A.10B.2012C．－10D．－20解析：选B因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)3＝－5<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－4°－α)＝sin(151°＋.所以sin(15°＋α)sin(75°＋α)cos(15°＋α)＝sin(3052112α)＝2sin[(75°＋2α)－45°]＝2[sin(75°＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)sin13242)245°]＝2×(－5×2＋5×2＝20，故选B.13°＝________.10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：cos80°－sin8013sin80°－3cos80°80°－解析：cos80°－sin80°＝sin80°cos80°＝1＝sin160°22sin20°1＝4.2sin20°答案：43 12 π11．(2018·宝清一中月考 )已知sin(2α－β)＝5，sin β＝－13，且α∈ 2，π，πβ∈－2，0，则sin α的值为________．解析：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.ππ5π∵－2<β<0，∴0<－β<2，π<2α－β<2.∵sin(235π4α－β)＝>0，∴2π<2α－β<2，cos(2α－β)＝.55π125∵－2<β<0且sinβ＝－13，∴cosβ＝13.∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)·sin4β＝5531256×13－5×－13＝65.5229∵cos2α＝1－2sinα，∴sinα＝130.π3130∵α∈2，π，∴sinα＝130.3130答案：13012．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．解析：因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，tanα＋tanβ3π所以tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝4.3π答案：424π413．(2018·大庆实验中学期中)A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－25，cosB＋3＝－5，π则cosA－3＝________.解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－24＋π4ππ25，cosB3＝－5，所以2<A＋B<π，2<B＋π1－cos2A＋B7＋π1－cos2＋π＝3<π，所以sin(A＋B)＝＝25，sinB3＝B33π＋－B＋π244＋73117.所以cosA－＝cosB＝－×－×＝.53A3255255125117答案：125ππ1ππ14．(2019·六安第一中学月考)已知cos＋α·cos3－α＝－，α∈3，.642求：(1)sin2 α；1(2)tanα－tanα.解：(1)由题知cosπ＋α·cosπ－α＝cos(π＋α)·sinπ＋α16366＝2sinπ12α＋＝－，34∴sin2α＋π13＝－2.ππ2α＋π4π∵α∈3，2，∴3∈π，3，63cos2α＋3＝－2，ππππππ1∴sin2α＝sin2α＋3－3＝sin2α＋3cos3－cos2α＋3sin3＝2.(2)由(1)得cos2α＝cos2α＋ππ＝cos(2α＋π)·cosπ3－333＋ππ3sin2α＋3sin3＝－2，sin2α－cos2α－31sinαcosα－2cos2α2∴tanα－tanα＝cosα－sinα＝sinαcosα＝sin2α＝－2×1＝223.2 2 π15．已知函数 f(x)＝sinx－sin x－6 ，x∈R.求f(x)的最小正周期；π求f(x)在区间－3，4上的最大值和最