《为什么要证明》参考课件1

7.1

为什么要证明

古人云：“耳听为虚，眼见为实”。但眼见一定是真实的吗？是静还是动？能看到很多同心圆吗~~其实里面没有~~

线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!

平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!

你觉得观察得到的结论正确吗？实践出真知！眼见未必为实！ab考考你的眼力

线段a与线段b哪个比较长？abcd

谁与线段d在一条直线上？ababcd检验你的结论a=b你的眼睛欺骗你了吗？猜猜看

假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？

能放进一粒草莓吗？

能放进一个拳头吗？猜猜看

假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？有理有据地推理解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙为π-π+221CC费马大数学家也有失误

对于所有自然数n，的值都是质数.当n=0，1，2，3，4时，=3，5，17，257，65537都是质数欧拉当n=5时，=4294967297=641×6700417举出反例是检验错误数学结论的有效方法.

这个故事告诉我们：1、学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3、要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.寻找质数

有人认为，对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数.你怎么看待这个结论？例：做一做

当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2-n+11的值是质数还是和数？

对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数吗？解:结论错误.

当n=6时

n2+3n+1=36+18+1=55∵55为合数∴当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数错误.仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.议一议实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？总结1、实验、观察、归纳得到的结论不一定正确.因此，要判断一个结论是否正确，仅靠实验，观察，归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.2、检验一个数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理.7.2定义与命题小明：不好了，不好了，我家电脑中毒了！小亮：急什么急，不就是中毒了吗？很简单就解决了！小明：什么办法？小亮：用杀毒水啊！我妈说了，一杀就灵！

中毒了☞

电视机里正在播放精彩的乒乓球比赛，奶奶边看比赛边说：打得好！打得好！可惜播音员不识数……孙子听了不解地问：人家咋不识数？奶奶说：明明两个人在打球，他却说单打，明明是四个人在打球，他却说双打，你说他识数不识数？

识数☞

小华与小刚正在津津有味地阅读

《我们爱科学》.“哈！这个黑客终于被逮住了”。黑客小刚说：

“可能是穿着黑色衣服的侠客!”小华说：“这黑客是小偷!”

定义☞可见交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此，就要对名称和术语的含义加描述，作出明确的规定，也就是给出他们的

。例如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民”，是

的定义。2、“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是

的定义。3、

是“等腰三角形”的定义。中华人民共和国公民定义两点之间的距离有两条边相等的三角形是等腰三角形下图表示某地的一个灌溉系统.上面“如果……,那么……”都是对事情进行判断的语句.判断一件事情的句子,叫做命题.如果B处水流受到污染,那么

处水流便受到污染;如果C处水流受到污染,那么

处水流便受到污染;如果D处水流受到污染,那么

处水流便受到污染;……ABCE·FH·GDKJ··IC,E,F,GEK做一做·······例如，下列句子都是命题(4)无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；(2)任何一个三角形一定有直角；(1)熊猫没有翅膀；(3)对顶角相等；反之,如果一个句子没有对某一事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.(5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.判断一件事情的句子,叫做命题.1.下列句子中哪些是命题?(1)动物都需要水;(2)猴子是动物的一种;(3)玫瑰花是动物;(4)美丽的天空;(5)三个角对应相等的两个三角形一定全等;(6)负数都小于零;(7)你的作业做完了吗?(8)所有的质数都是奇数;(9)过直线外l一点作直线l的平行线;(10)如果a>b,a>c,那么b=c.是是是不是是是不是是不是是观察下列命题,猜测这些命题的共同的结构特征.与你的同伴交流(1)如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角形全等;(2)如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形;(3)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;(4)如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形;(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直,那么这个四边形是菱形.命题的结构特征：命题都可以写成“如果……那么……”的形式。

“如果……”是已知的事项即条件，“那么……”是由已知事项推断出的结论。

每个命题都是有条件和结论两部分组成。如“同角的余角相等”可以写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。1、下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角解：（2）条件：a＞b,b＞c

，结论：a=c解：（3）改写：如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等结论：这两个三角形全等解：（4）改写：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边相等条件：一个四边形是菱形，结论：这个四边形的四条边相等解：（5）改写：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等。条件：两个三角形全等结论：这两个三角形的面积相等例：将下列命题改成“如果…那么…”的形式①两直线平行，同位角相等④互为相反数的两数绝对值相等③平行于同一条直线的两直线平行②对顶角相等④如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等③如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行②如果两个角是对顶角，那么这两个角相等解：①如果两直线平行，那么同位角相等2、这几个命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知道它们是不正确的？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。不正确不正确正确正确正确正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题3、这几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。假命题假命题真命题真命题真命题说明假命题的方法：举反例使之具有命题的条件，而不具有命题的结论如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.能不能根据已经知道的真命题证实呢?那已经知道的真命题又是如何证实的?.哦……那可怎么办想一想如何证实一个命题是真命题呢？

其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(公元前300前后)编写一本书，书名叫《原本》，为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，公认的真命题称为公理.某些数学名词称为原名.除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.其中他的方法是：确定一些公认的命题作为公理用推理的方法证实其它命题的正确性推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理本教材的公理

等式的有关性质和不等式的有关性质也作为公理1.两点确定一条直线。2.两点之间线段最短。3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．8.三边对应相等的两个三角形全等．等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果,那么,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.其它公理例已知:如图7—5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。证明：∵直线AB与直线CD相交于点O∴∠AOB和∠COD都是平角（平角定义）∴∠AOC和∠ＢOD都是∠ＡOD的补角（补角的定义）∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）达标检测1、下列命题属于定义的是（）A、两点确定一条直线B、同角或等角的余角相等C、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度D、两直线平行，内错角相等2、下列句子哪些是命题？哪些不是命题？（1）在三角形内任取一点再作最短边的平行线（）（2）四边形都是正方形；（）（3）有限小数是有理数；（）（4）最大的负数不存在；（）（5）相反数等于它本身的实数只有零；（）（6）有三个角是直角的四边形是长方形。（）（7）2010年世博会在上海举办。（）（8）今天天气真好啊！（）××C

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√3、你能举出一些命题吗?（至少写出两个）4、把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式，并指出下列命题的条件是什么？结论是什么？(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;[来(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等.（3）同角或等角的余角相等