实用计算方法

实用计算方法1第一页，共六十四页，2022年，8月28日第四章实用计算方法§4.2矩阵特征值问题及解法§4.3结构动力响应的数值解法§4.1能量法求自振频率2第二页，共六十四页，2022年，8月28日自由振动位移：自由振动速度：弹簧变形能：质量块动能：自振频率：§4.1能量法求自振频率一、瑞利能量法第三页，共六十四页，2022年，8月28日Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。最大动能等于最大位能：这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。第四页，共六十四页，2022年，8月28日

例子：简支梁，认为是无限自由度

体系变形能：

最大值：第五页，共六十四页，2022年，8月28日

体系动能：

由Rayleigh法：

最大值：

→

k*

→

m*此即为瑞利商第六页，共六十四页，2022年，8月28日例子：简支梁，认为是无限自由度振动形状的选取假定振型为抛物线：第七页，共六十四页，2022年，8月28日能量守恒：假定振型为正弦曲线：能量守恒：第八页，共六十四页，2022年，8月28日假定振型为抛物线：假定振型为正弦曲线：原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！第九页，共六十四页，2022年，8月28日Question:如何确定合理的挠曲形状？Solution:自由振动的位移是由惯性力作用引起的；惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值）因此：正确的振动形式为正比于m(x)的荷载所引起的挠曲线。第十页，共六十四页，2022年，8月28日最大动能：最大变形能：能量守恒：注意：再近似：

假定惯性荷载为梁的重量，即频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。第十一页，共六十四页，2022年，8月28日例假定变形曲线最大位能最大动能Finish?第十二页，共六十四页，2022年，8月28日计算频率:第十三页，共六十四页，2022年，8月28日例：试用瑞利法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。解：设形状函数为满足位移边界条件。精确解为第十四页，共六十四页，2022年，8月28日例：试求图示对称刚架的基本频率。解：柱的最大动能第十五页，共六十四页，2022年，8月28日柱的最大动能梁的最大动能刚架的最大动能第十六页，共六十四页，2022年，8月28日例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。解：1.设形状函数为余弦曲线精确解为第十七页，共六十四页，2022年，8月28日精确解为例：试求图示等截面悬臂梁的基本频率。解：1.设形状函数为余弦曲线2.设形状函数为抛物线3.设形状函数为重力引起的位移曲线第十八页，共六十四页，2022年，8月28日形状函数为重力引起的位移曲线时第十九页，共六十四页，2022年，8月28日二、李兹能量法用瑞利法求解结构的自振频率的精度取决于假设振型的精度，由于难以估计高阶振型的形状，所以一般情况下，瑞利法只能求得振动基频的上限。李兹发展了瑞利能量法，使求得的最低频率更接近于精确解，且可以求较高阶频率。李兹能量法给出振型的级数形式：其中均为满足位移边界条件的函数，而则为待定参数。（1）将（1）代人瑞利商：得：20第二十页，共六十四页，2022年，8月28日引入符号：（2）（3）则（2）式为：（4）21第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日由于上式总是给出自振频率的上限，可以通过适当选择使值为极小值。22第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日即：（5）式中C和D为n×n阶方阵，它们的元素可由（3）式计算。这样对于n个待定常数就得到n个齐次线性方程。方程要有非零解，则系数行列式比为零。即：（6）上式展开得到的n次方程。该方程有n个根，若将它们从小到大排列，便有：其中每一个根都可以从方程（5）式中求得一组常数

从而，按（1）可得到n个振型函数：

（7）23第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日例：试用李兹法求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。解：设位移函数为第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日例：试求图示楔形悬臂梁的基本频率。宽度b=1。解：精确解为瑞利法解误差：0.07%误差：3%第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法

对多自由度体系的自由振动来说，采用数值分析的方法，求解其固有频率和振型最终可以变成数学上的固有特征值问题（eigenvalueproblem），即求固有频率和主振型

固有特征值方程的解:1)给出了结构的自振频率和主振型，

2)使结构在动力荷载作用下的运动方程解耦，即振型叠加法。振型叠加法:

只要频率和振型确定以后就可以得到线性结构的动力响应，对于一般的工程问题，只需取前几个振型就能获得具有相当精度的响应解。26第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法1、化广义特征值问题为标准特征值问题广义特征值问题转化为标准特征值问题进行求解。

矩阵不一定是对称矩阵，而非对称矩阵的特征值问题往往要比对称矩阵复杂得多，因此上述直接求逆处理是很不经济的。27第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法

将质量矩阵[M]进行乔累斯基（Cholesky）分解，即将其分解为[L]与[L]T的乘积:广义特征值问题[L]为对角元素不为零的下三角矩阵。标准特征值问题28第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法[K]是对称的，矩阵[A]也具有对称性。所有对称矩阵特征值问题的算法均可以得到利用。如果矩阵[K]是正定的，也可将其进行乔累斯基分解，得到类似于方程的标准特征值问题。29第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法Cholesky分解:30第三十页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法

则其下三角i=1,2,…,n行的元素为:31第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法2、标准特征值问题解法特征值问题:一是求解它的全部特征值问题，即所有的特征值和对应的特征向量；另一是求解它的部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大的一部分）特征值和对应的特征向量。在结构动力学中，往往矩阵的阶数都很高，有时不可能，而且也没必要求解全部特征值和特征向量。求解方法分为两大类:一类是变换法,另一类是向量迭代法。雅可比法幂法子空间迭代法32第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法1）雅可比法

雅可比法是求解实对称矩阵全部特征值和特征向量的简单有效方法。[A]为n×n阶的实对称矩阵。

根据线性代数理论，任何一个n×n实对称矩阵[A]，可通过一个的正交矩阵[S]，经相似变换化为一对角矩阵，即矩阵[D]的n个对角元素就是[A]的n个特征值，而[S]的第i列，就是[D]中第i个元素所对应的特征向量。33第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法

正交矩阵[S]实际上是一个坐标变换矩阵功能:

实现坐标系的旋转，使旋转后的n个坐标轴的方向与矩阵[A]的n个互相正交的特征向量的方向一致。雅可比法的基本思想就是通过多次坐标系统的旋转来逐渐实现所想达到的最终旋转，而其中每一次分步旋转则是通过正交矩阵所实现。正交矩阵[S]不容易寻找。34第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法幂迭代法是一种渐进解法，可用来计算频率及相应的振型，且随着迭代轮次的增加，可以得到任意精度的解。一、求基本频率和基本振型2）幂迭代法设A为多自由度体系的振型列向量，则由频率方程：令

H=-----称为动力矩阵，代入上式，得：（1）35第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日§4.2矩阵特征值问题及解法（1）若已知A，则即可求出，要确定振型A，可先取任一振型，如取代人（1）右边，即可求得新的向量A1，然后将A1按首项归一化，得到新的，再将代人（1）右边，又可得到A2，再归一化得到如此继续下去得到A3、…，An、当时，就停止迭代，此时可把作为基本振型，将其代人（1）即可求得36第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日例：图示为三个自由度的体系，求其基本频率和振型。EI=常数，m1=m2=m3=m，a=L/4m1m2m3aaaaEI解：采用图乘法可知设代人（1）37第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日再把代人（1）再把代人（1）得第四次迭代此时故取作为基本振型，代人（1）得：据此有：38第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日二、迭代法求最高频率和振型如果把迭代法应用于刚度法建立的动平衡方程，则可得到最高频率和振型。由两式左乘得：而令代人（a）得：与（1）式比较，当采用同样的迭代法计算时，显然得到

是最小的，因而是最高频率，对应振型也为最高。39第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日例：试用迭代法求图示刚架的最高频率和振型。解：可求得：于是40第四十页，共六十四页，2022年，8月28日由迭代公式取至此迭代结果已收敛，相应的频率：41第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日三、求较高阶频率和振型前述方法一求出的是第一振型，为什么？这是因为第一振型分量的影响随着迭代次数的增加而愈来愈大，故最后迭代结果将收敛于第一振型，说明如下：由式（1）即：设以任一初始向量去迭代，该向量实际上包含各振型分量，可用各振型分量的线性组合表示：故迭代k次后为：当k很大时，（2）42第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日如选择初始向量时，能设法消除第一振型的影响，使那么迭代结果自然就会收敛于第二振型。为此做出新的向量：用去迭代，则可求出第二振型。由于

未知，那么如何确定呢？由两边同乘以得：故43第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日故称为扫频矩阵代人（2）即得：新的动力矩阵由此新的动力矩阵进行迭代，就可以自动从新的向量中清除第一振型分量的影响。44第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日同理，若已经求出前i个振型，则清除这些振型分量的影响便可以求出第i+1阶振型及其频率。理论上应用该方法可求出任一阶振型及其频率，但实际应用中，由于计算过程中的舍入误差，将随着阶数的加大而加大，以至当阶数较大时，就难于收敛，故一般该法只适用于求解前几阶振型和频率。m1m2m3aaaaEI例：求图示体系的第二频率和第二振型。已知EI=常数，m1=m2=m3=m，a=L/4解：由求得45第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日取初始向量进行迭代…46第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日3）能量迭代法设体系按i振型作自由振动，位移为速度为动能为势能为一、计算公式47第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日最大动能为最大势能为由能量守恒，有---瑞利商

选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值。

通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日例.用能量法计算图示体系的基频.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精确解:第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日2.取直线3.取常数mmm321mgmgmg精确解:第五十页，共六十四页，2022年，8月28日二、瑞利商的极值特性1、当假设振型在附近变化时，使瑞利商取极小值。证：标准振型第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日2、当假设振型在附近变化时，使瑞利商取极大值。3、当假设振型在某一附近变化时，使瑞利商取驻值。(导数为0的点称为函数的驻点，在驻点取得的函数值为驻值)第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日4）

瑞利-里兹迭代法对于n自由度体系，设令第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日第五十四页，共六十四页，2022年，8月28日---q阶特征问题第五十五页，共六十四页，2022年，8月28日步骤：1.给定q个向量2.求3.求q阶特征问题4.求振型第五十六页，共六十四页，2022年，8月28日例.求前两阶频率和振型.mmm321解:第五十七页，共六十四页，2022年，8月28日mmm321例.求前两阶频率和振型.解:归一化精确解:第五十八页，共六十四页，2022年，8月28日精确解:从以上例子可以看出：初始向量的选取对结果的精度有比较大的影响（第一阶精度好点）。第五十九页，共六十四页，2022年，8月28日5）、子空间迭代法把X0按的右端做一次迭代，即取从而求出（此步骤为增强低振型影响）再把作为瑞利-李兹法的初始向量，并求出再解缩减后的矩阵方程由此求得q个及相应的特征向量最后由可求得新的振型矩阵X1，如此一轮称为一次子空间迭代。设求式