中考一轮复习与圆有关的位置关系课件

第22讲与圆有关的位置关系泰安考情分析基础知识过关泰安考点聚焦总纲目录随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一与圆有关的位置关系知识点二切线的判定和性质知识点三切线长理性知识点四三角形的外接圆和内切圆知识点五正多边形与圆知识点一

与圆有关的位置关系1.与圆有关的位置关系类别位置关系图示数量关系点与圆的位置关系点在圆外

d①

>

r点在圆上

d②

=

r点在圆内

d③

<

r直线与圆的位置关系相离

d④

>

r相切

d⑤

=

r相交

d⑥

<

r温馨提示

点与圆的位置关系可通过d(点到圆心的距离)和r(圆

的半径)之间的大小关系进行判断;直线与圆的位置关系可通过d

(圆心到直线的距离)和r(圆的半径)之间的大小关系进行判断.2.过同一直线上的三点不能作圆,不在同一直线上的三点确定一个圆.知识点二

切线的判定和性质1.切线的判定(1)和圆⑦

只有一个

公共点的直线是圆的切线;(2)到圆心的距离等于⑧

半径

的直线是圆的切线;(3)经过半径的外端并且⑨

垂直于

这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质(1)切线的性质定理:圆的切线⑩

垂直于经过切点

的半径.(2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过

圆心

.(3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过

切点

.温馨提示

(1)要证的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直

线是圆的切线”来证明.口诀“见半径、证垂直”.(2)给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连接公

共点和圆心,根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线

是圆的切线”来证明.口诀“连半径、证垂直”.(3)当直线与圆的公共点不明确时,则过圆心作该直线的垂线,然

后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切

线”来证明.口诀是“作垂直、证相等”.知识点三

切线长定理1.切线长的定义:过圆外一点引圆的切线,这一点到切点之间线段

的长叫做这点到圆的

切线长

.2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的长

相等

,圆心和这一点的连线

平分

这两条切线的夹角.知识点四

三角形的外接圆和内切圆温馨提示

锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外

心在斜边的中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部.所有三角

形的内心都在三角形的内部.类别三角形的外接圆三角形的内切圆名称三角形的外心三角形的内心图示

描述经过三角形三个顶点的圆,外心是三角形三边

垂直平分线的交点与三角形三边都相切的圆,内心是三角形三条

角平分线的交点性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三边的距离相等知识点五

正多边形与圆1.正多边形的相关概念(1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心:一个正多边形

外接圆的圆心

叫做这个正多边形的中心.(3)正多边形的半径:正多边形外接圆的

半径

叫做正多边形的半径.(4)正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的

圆心角

叫做正多边形的中心角.(5)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离

叫做正多边形的

边心距

.2.正多边形和圆的有关计算如果把正n边形的有关元素:中心角、半径、边长、边心距、周

长、面积分别用αn、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么:(1)αn=

;(2)R2=

+

;(3)Pn=nan;(4)Sn=

n·rn·an=

rnPn.泰安考点聚焦考点一点与圆的位置关系考点二直线与圆的位置关系考点三切线的位置考点四切线的判定考点一

点与圆的位置关系例1如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个

格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的

格点中

恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(B)A.2

<r<

B.

<r≤3

C.

<r<5

D.5<r<

解析

如图,连接P1A,P2A,…,P8A.

根据勾股定理得P1A=5,P2A=3 ,P3A= ,P4A=5,P5A= ,P6A= ,P7A=5,P8A=2 ,∴P8A<P3A=P6A<P2A<P1A=P4A=P7A<P5A,∵除点A外恰好有三个格点在圆内,∴这三个格点为P3,P6,P8,∴ <r≤3 变式1-1☉O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与☉O的位置关系是

(A)A.点P在☉O内

B.点P的☉O上C.点P在☉O外

D.点P在☉O上或☉O外解析圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),∴OP=

=

<5,∴点P在☉O内,故选A.方法技巧

d(点到圆心的距离)<r(圆的半径)时,点在圆内;d=r

时,点在圆上;d>r时,点在圆外.考点二

直线与圆的位置关系中考解题指导直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交,

判断位置关系的主要方法:①直线与圆公共点的个数;②比较d(圆

心到直线的距离)和r(圆的半径)的大小关系.例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆

心,以2cm的长为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是(B)A.相离

B.相切C.相交

D.相切或相交解析作CD⊥AB于点D.∵∠B=30°,BC=4cm,∴CD=

BC=2cm,即CD等于圆的半径.∵CD⊥AB,∴直线AB与☉C相切.故选B.变式2-1

已知☉O的半径r=3,设圆心O到一条直线的距离为d,圆

上到这条直线的距离为2的点的个数为m,给出下列命题:①若d>5,

则m=0;②若d=5,则m=1;③若1<d<5,则m=3;④若d=1,则m=2;⑤若d

<1,则m=4.其中正确命题的个数是

(C)A.1

B.2

C.3

D.5解析①当d>5时,m=0,故正确;②当d=5时,m=1,故正确;③当1<d<5时,m=2,故错误;④当d=1时,m=3,故错误;⑤当d<1时,m=4,故正确.所以正确的有3个.故选C.变式2-2

如图,☉O的半径为7cm,直线l⊥OA,垂足为B,OB=4cm,

则直线l沿OA所在直线平移

3或11

cm时与☉O相切.解析延长AO交☉O于点C,当直线l平移至过A点或过C点时,直

线l与圆相切,AB=OA-OB=7-4=3(cm),BC=OC+OB=7+4=11(cm).方法技巧

d(圆心到直线的距离)>r(圆的半径)时,相离;d=r时,

相切;d<r时,相交.考点三

切线的性质中考解题指导熟练掌握切线的性质定理及两个推论,以及常用

辅助线的作法.例3

如图,☉I是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,

F,∠DEF=50°,则∠A=

80°

.解析

连接DI,FI,如图所示.∵∠DEF=50°,∴∠DIF=2∠DEF=100°,∵☉I是△ABC的内切圆,∴∠ADI=∠AFI=90°,∴∠A=360°-∠ADI-∠AFI-∠DIF=80°.

变式3-1

(2018泰安)如图,BM与☉O相切于点B,若∠MBA=140°,

则∠ACB的度数为 (A)

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°解析

连接OA,OB,

∵BM与☉O相切于点B,∴∠OBM=90°.∵∠MBA=140°,∴∠OBA=50°.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=80°,∴∠ACB=40°,故选A.方法技巧

已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,则需要

连接切点与圆心构造直角三角形,利用勾股定理、锐角三角函数

等知识进行解答.考点四

切线的判定例4

(2017济宁)如图,已知☉O的直径AB=12,弦AC=10,D是 的中点,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)求AE的长.解析

(1)证明:连接OD.∵D为

的中点,∴

的长=

的长.∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE.∵DE⊥AC,交AC的延长线于点E,∴OD⊥DE,则DE为☉O的切线.(2)过点O作OF⊥AC,∵AC=10,∴AF=CF=

AC=5,∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四边形OFED为矩形,∴FE=OD= AB,∵AB=12,∴FE=6,则AE=AF+FE=5+6=11.变式4-1

(2018潍坊)如图,BD为△ABC外接圆☉O的直径,且∠

BAE=∠C.(1)求证:AE与☉O相切于点A;(2)若AE∥BC,BC=2 ,AC=2 ,求AD的长.解析

(1)证明:连接OA交BC于点F,

则OA=OD,∴∠D=∠DAO,∵∠D=∠C,∴∠C=∠DAO,∵∠BAE=∠C,∴∠BAE=∠DAO,∵BD是☉O的直径,∴∠DAB=90°,即∠DAO+∠OAB=90°,∴∠BAE+∠OAB=90°,即∠OAE=90°,∴AE⊥OA,∴AE与☉O相切于点A.(2)∵AE∥BC,AE⊥OA,∴OA⊥BC,∴ 的长= 的长,FB= BC,∴AB=AC,∵BC=2 ,AC=2 ,∴BF= ,AB=2 .在Rt△ABF中,AF= =1,在Rt△OFB中,OB2=BF2+(OA-AF)2,即OB2=BF2+(OB-AF)2,∴OB=4,∴BD=8,∴在Rt△ABD中,AD= = = =2 .方法技巧

证明圆的切线有三种思路:有过切点的半径,证明垂

直;有切点,无半径,连半径,证明垂直;无切点,作垂直,证明相等.一、选择题1.若☉A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为

(A)A.在☉A内

B.在☉A上C.在☉A外

D.不确定随堂巩固训练2.如图,两个圆的圆心都是点O,AB是大圆的直径,大圆的弦BC所

在直线与小圆相切于点D.则下列结论不一定成立的是 (C)

A.BD=CD

B.AC⊥BCC.AB=2AC

D.AC=2OD3.(2017日照)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延

长交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是 (A)

A.5

B.5

C.5

D.

4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下

列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是

“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15

步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少?”

(C)A.3步

B.5步

C.6步

D.8步5.(2018烟台)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,

∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为

(C)

A.56°

B.62°

C.68°

D.78°6.如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一

个动点,PB切☉O于点B,则PB的最小值是

(B)

A.

B.

C.3

D.2二、填空题7.已知正六边形的边心距为

,则它的周长是

12

.解析如图,连接OA,OB,作OH⊥AB于H.

∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOB= ×360°=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAH=60°,∵OH⊥AB,OH= ,∴OA= =2,∴AB=OA=2,∴该正方形的周长是2×6=12.8.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,若∠P=4

6°,则∠BAC=

23

度.解析∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,又∠P=46°,∴∠PAB=∠PBA=

=67°,又PA是☉O是切线,AO为半径,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°,∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°.9.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形外接圆的半径

是

10或8

.解析当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形外接圆的半径

为8;当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长=

=20,因此这个三角形外接圆的半径为10.综上所述,这个三角形外接圆的半径等于8或10.10.如图,∠APB=30°,圆心在边PB上的☉O半径为1cm,OP=3cm,

若☉O沿BP方向移动,当☉O