概率论与数理统计条件概率

一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式三、小结第4节条件概率一、条件概率引例

袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设

A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球.古典概型所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为解

列表白球红球小计木球426塑球314小计73101.定义ABAB2.性质例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义例2一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P(B|A).解由条件概率的公式得例3某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,则有解3.乘法定理例1设产品的废品率为2%，而合格品中有85%是一等品，求任抽一个产品是一等品的Pr。解：设：A=“合格品”，B=“一等品”

则P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.980.85

例2，市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。求从市场上买到的一个由甲厂生产的合格灯泡的Pr。

解：设A=“买到甲厂灯泡”，B=“买到合格灯泡”

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95

例3，在10个零件中有3个次品，不放回地连续取2个，求（1）两个都是正品（2）两个都是次品（3）第一次取正品，第二次是次品(4)第一次取次品，第二次是正品(5)一正一次的Pr解：令=“第i次取到正品”，i=1,2（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

例4

五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

依此类推故抓阄与次序无关.1.样本空间的划分二、全概率公式与贝叶斯公式2.全概率公式全概率公式图示证明化整为零各个击破说明

全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.例1有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%称此为贝叶斯公式.

3.贝叶斯公式证明[证毕]例2解(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得解例3由贝叶斯公式得所求概率为即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率(2)通过检验的产品中恰有i件次品的概率例4解

设一批产品中有i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A为一批产品通过检验则已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与结果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080称为后验概率，它是得到了信息—A发生,再对导致A发生的原因发生的可能性大小重新加以修正称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件A的原因1.条件概率全概率公式贝叶斯公式三、小结乘法定理例1设袋中有4只白球,2只红球,(1)无放回随机地抽取两次,每次取一球,求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率?(2)若无放回的抽取3次,每次抽取一球,求(a)第一次是白球的情况下,第二次与第三次均是白球的概率?(b)第一次与第二次均是白球的情况下,第三次是白球的概率?备份题解则有例2掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.故所求概率为掷骰子试验两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,例3设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2箱,三厂产品的废