概率论第五章

第五章多维随机变量在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时需要两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这些随机变量之间的关系,就应同时考虑若干个随机变量，即多维随机变量及其取值规律。本章主要讨论多维随机变量的分布及其性质.本章内容§5.1二维随机变量的概念()§5.2边缘分布、条件分布()

§5.3随机变量的独立性()

小结课程要求习题选讲本章测验§5.4数字特征()§5.5二维随机变量函数的概率分布()

§5.6中心极限定理简介()

第一节二维随机变量的概念5.1.1二维离散型随机变量的联合概率分布5.1.2联合分布函数5.1.3二维连续随机变量的联合概率密度多维随机变量举例:2、考察某地区学龄前童的身体发育情况：X：表示该地区学龄前儿童的身高；Y：表示该地区学龄前儿童的体重；则（X，Y）就是一个二维随机变量。1、对一目标进行射击：X：表示弹着点与目标的水平距离；Y：表示弹着点与目标的垂直距离；则（X，Y）就是一个二维随机变量。3、考察某地区的气候状况：X：表示该地区的温度；Y：表示该地区的湿度；则（X，Y）就是一个二维随机变量。4、考察某钢厂钢材的质量：X：表示该钢厂钢材的硬度；Y：表示该钢厂钢材的含碳量；则（X，Y，Z）就是一个三维随机变量。Z：表示该钢厂钢材的含硫量；对于多维随机变量[如二维(X,Y)]，其性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因此,逐个地来研究X或Y的性质是不够的,还需将(X,Y)作为一个整体来进行研究.1、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量的所有可能取的值是有限对或可列无限对,则称是离散型随机变量.若及的全部不同的可能取值分别为则的全部可能取值为:2、二维离散型随机变量的联合概率分布5.1.1二维离散型随机变量的联合概率分布称概率函数为二维离散型随机变量的(联合)概率分布(律).或列表为(概率分布也称为联合分布列)称概率函数为二维离散型随机变量的(联合)概率分布(律).或列表为(概率分布也称为联合分布列)(1)(2)3、概率分布的性质例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数与二等品件数的联合分布列.解:由古典概率公式,有其中且依上式可得的联合概率分布列如下:由已知条件，二维随机变量所有可能的取值为：例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数与二等品件数的联合分布列.解:01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101且例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数与二等品件数的联合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101其中边缘分布律解:例2设A,B为随机事件,且令求:(I)二维随机变量的概率分布;(II)X与Y的相关系数.(2004)(I)易见的可能取值为:相应概率分别为于是的概率分布为例2设A,B为随机事件,且令求:(I)二维随机变量的概率分布;(II)X与Y的相关系数.(2004)5.1.2联合分布函数1、联合分布函数的定义称为二维随机变量的分布函数(或称联合分布函数).设是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数联合分布函数的值就是随机点落在2、几何意义区域D内的概率。性质1对任意的有性质2且有是变量x和y的单调非降函数;3、联合分布函数的性质如图：对显然有于是我们得到考虑随机变量落在矩形区域D的概率，其中容易得到性质3对任意的且总有性质4对任意的x(或y)都是右连续的,即对任意的均有4、二维离散型随机变量的分布函数设二维离散型随机变量的联合概率分布为则有进行的。这个求和式是对满足及的一切下标i和j解:由分布函数的性质得同理由(1),(2),(3)解得(1)(2)(3)例3已知二维随机变量的联合分布函数为试确定常数A,B,C的值。并求概率由(1),(2),(3)解得于是从而例3已知二维随机变量的联合分布函数为试确定常数A,B,C的值。并求概率5.1.3二维连续型随机变量的联合概率密度1、联合概率密度的定义对于二维随机变量的联合分布函数，如果存在一个二元非负值函数使得对任意有则称为二维连续型随机变量.称为二维连续型随机变量的联合概率密度函数.（简称联合密度函数或联合密度）记为在空间直角坐标系中,表示一曲面,此曲面称为分布曲面.2、联合密度函数的性质（1）（2）具有性质(1),(2)的二元函数f(x,y),必是某个注意到以及可得注:二维连续型随机变量的密度函数。分布曲面与xoy面所夹部分的体积为1.（3）设D为xoy平面内任一区域,则有（4）在的连续点处，有以R为底,以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积.P121：图5-2由两边同时对x和y求偏导数(假定偏导数存在).得几何意义:例如，特别地例4已知二维随机变量的密度为（书例2）试确定k的值，并求落在区域D的概率。其中解:由密度函数的性质又记从而xyO11RxyO11R从而于是D例4已知二维随机变量的密度为（书例2）试确定k的值，并求落在区域D的概率。其中例5(2003数一)设二维随机变量的概率密度为则解1xyO13、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布如果的联合密度函数为其中D是平面上某个区域。则称二维随机变量服从区域D上的均匀分布。表示区域D的面积.随机点落在区域D内每一点的可能性都相同。3、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布如果的联合密度函数为对于事件注1:若则有几何概率公式落在区域的概率与的位置无关,与的面积成正比.上式说明:对均匀分布,随机点随机点落在区域D内每一点的可能性都相同。3、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布如果的联合密度函数为对于事件注2:如图:有（2）二维正态分布如果的联合密度函数为则称服从参数为的正态分布.记为特别地,当时,（2）二维正态分布如果的联合密度函数为特别地,当时,更进一步,若还有则此时,联合密度函数为两个标准正态分布的乘积.与习题5.3、5.5

第二节边缘分布、条件分布5.2.1边缘分布的概念5.2.2条件分布续例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数及二等品件数的联合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求随机变量(或)的分布列.解:5.2边缘分布、条件分布01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101即续例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数及二等品件数的联合分布列.求随机变量(或)的分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101同理续例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数及二等品件数的联合分布列.求随机变量(或)的分布列.1、边缘分布的定义则称随机变量或的概率分布为它的边缘分布。一般地，对于二维随机变量,若已知其联合分布，2、二维离散型随机变量的边缘分布列设二维离散型随机变量的联合分布为则随机变量的边缘概率分布律为同理随机变量的边缘概率分布律为3、边缘分布函数若二随机变量的联合分布函数为，则称随机变量或的分布函数或为的同理有边缘分布函数。由分布函数的定义，有问题：已知的联合分布函数,如何求边缘分布？例3已知二维随机变量的联合分布函数为试确定常数A,B,C的值。并求（1）概率（2）求边缘分布Fξ(x),Fη(y)解（2）边缘分布Fξ(x)因为从而同理有又因为故同理给出联合密度函数时，边缘密度函数的计算例1（书例4）已知二维随机变量的密度为分别求出及的边缘概率密度。解：（1）当时，有（2）当时，有故xyO11R根据公式同理,由根据公式（1）当时，有（2）当时，有故例1（书例4）已知二维随机变量的密度为分别求出及的边缘概率密度。xyO11RR例2设二维随机变量的概率密度函数为求:(I)的边缘概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x解如图:当时,当或时,从而(1)先求当时,当或时,从而(2)下面求例2设二维随机变量的概率密度函数为求:(I)的边缘概率密度(II)的概率密度(2005)Ry=2x例3设二维随机变量（书例5）试求及的边缘概率密度.解:的联合密度函数为于是,由公式将被积函数的指数可变形为记则例3设二维随机变量试求及的边缘概率密度.解:的联合密度函数为于是则例3设二维随机变量试求及的边缘概率密度.例3设二维随机变量试求及的边缘概率密度.解:的联合密度函数为于是令则例3设二维随机变量（书例5）试求及的边缘概率密度.注意到从而类似有例3设二维随机变量（书例5）试求及的边缘概率密度.结论:则若例3设二维随机变量（书例5）试求及的边缘概率密度.5.2.1条件分布1、条件分布的定义对二维随机变量,在一个随机变量取固定值的条件下,另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布(简称2、二维离散型随机变量的条件分布设二维离散型随机变量的联合分布律为则关于的边缘分布律为关于的边缘分布律为条件分布)若，则由条件概率的定义知称之为在条件下的条件分布律。类似地，当时，在条件下的条件分布律为续例1已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从这批产品中任意抽出4件,求其中一等品件数及二等品件数的联合分布列.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101求随机变量(或)的分布列.(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.解:(1)所求概率分布律为于是同理01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.解:(1)所求概率分布律为01234012300000000010/21020/2105/21015/21060/21030/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/21050/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的4件产品中有1件一等品,求二等品件数的概率分布.解:(2)所求概率分布律为3、二维连续型随机变量的条件分布对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值x或y，均有及，故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。下面我们利用极限来定义二维连续型随机变量的条件分布：设的联合分布密度函数为,边缘密度在条件下,连续型随机变量的条件分布函数定义为:若连续,则对使的点

,(利用积分中值定理)条件分布函数记为即对使的点

,在条件下,连续型随机变量的条件分布函数为:条件概率密度函数为在条件下,条件概率密度函数为连续型随机变量的条件分布函数为:同理,对使的点

,例4已知二维随机变量的密度为（书例8）试求及解：由例1知于是，对有试求及解：由例1知对有类似地,例4已知二维随机变量的密度为（书例8）试求及例5设二维随机变量（书例9）试求解:由及(见例3)有=容易看出,此条件分布仍是正态分布:类似可以得到也是正态分布:二元正态分布的条件分布仍是正态分布.例5设二维随机变量（书例9）试求的条件例6设X在区间上服从均匀分布，在(5-12)(2)Y的概率密度；(3)概率(1)随机变量X和Y的联合概率密度；下，随机变量Y在区间服从均匀分布，求解：（1）随机变量X的概率密度函数为在的条件下，Y的条件概率密度函数为当时，X和Y的联合概率密度函数为在其它点处，有(2004)从而（2）当时，当或时，因此的条件例6设X在区间上服从均匀分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)随机变量X和Y的联合概率密度；下，随机变量Y在区间服从均匀分布，求(2004)从而（3）的条件例6设X在区间上服从均匀分布，在(2)Y的概率密度；(3)概率(1)随机变量X和Y的联合概率密度；下，随机变量Y在区间服从均匀分布，求(2004)作业5-85-11由二维随机变量的联合概率分布可求出随机变量问题:若随机变量和的概率分布已知,是否可求出二维和的边缘分布.例?随机变量的联合概率分布?问题：在什么条件下，边缘分布可完全决定联合分布？第三节随机变量的独立性1、事件的相互独立性事件A与B相互独立2、二维随机变量相互独立的定义设是两个随机变量,若对任意实数都有则称随机变量与是(相互)独立的.3、离散型随机变量相互独立的充要条件4、连续型随机变量相互独立的充要条件与相互独立(2)实际使用时往往从直观上去判断随机变量的独立性.(1)判断随机变量的独立性一般有两种方法:B:由问题的性质从直观上去判断.A:由定义判断,是否满足公式;6、随机变量独立性的判断5、二维随机变量相互独立的充要条件与相互独立7推广:n个随机变量的独立性如果对任意实数总成立则称n个随机变量的相互独立.(1)定义或其中为的联合分布函数,为随机变量的分布函数.n个连续型随机变量相互独立当且仅当(2)n个离散型随机变量相互独立当且仅当(3)例3已知二维随机变量的联合分布函数为试确定常数A,B,C的值。并求（1）概率（2）求边缘分布Fξ(x),Fη(y)解（2）边缘分布Fξ(x)（3）问随机变量是否相互独立？与是(相互)独立的.解（3）的概率分布为例2设A,B为随机事件,且令求:(I)二维随机变量的概率分布;(2004)(2)求边缘分布律;10/122/129/123/12边缘分布律;X，Y非独立（3）问离散型随机变量是否相互独立？例1已知二维随机变量的密度为分别求出及的边缘概率密度。解：xyO11R问随机变量是否相互独立？ξ，η非独立例设二维随机变量的概率分布为0100.410.1已知随机事件与相互独立,求(2005)解:由随机事件与相互独立,有由得:又所以由解得例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式例2设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。解：利用下列公式即得。例3设二维随机变量（书例10）试证与相互独立当且仅当.解:的联合密度函数为若则显然有从而与相互独立.5-17，5-22第四节数字特征5.4.1数学期望5.4.2二维随机变量的协方差一、二维随机变量的数学期望1、离散型设二维离散型随机变量的联合分布律为5.4.1数学期望则有2、连续型设的联合概率密度函数为，则有即有同理二、二维随机变量函数的数学期望1、离散型设二维离散型随机变量的联合分布律为记则有2、连续型设的联合概率密度函数为，则有记三、数学期望的性质定理1两个随机变量和的数学期望等于它们各自数学期望即之和。证明设(1)离散型设二维离散型随机变量的联合分布律为则有(2)连续型设的联合概率密度函数为，则有证毕.推论对任意常数有推广对任意n个随机变量及个常数有定理2两个独立随机变量乘积的数学期望，等于它们各自数学期望之积。即证明(1)离散型有已知与独立,于是设二维离散型随机变量的联合分布律为定理2两个独立随机变量乘积的数学期望，等于它们各自数学期望之积。即证明（就连续型证明）设的联合概率密度函数为，则有已知与独立,于是证毕。一、方差1、离散型设二维随机变量的联合概率分布为则有同理有5.4.2二维随机变量的协方差2、连续型设二维随机变量的联合密度函数为则有同理有1.问题的提出协方差记Cov(

,

).二、

协方差与相关系数的概念及性质

２、协方差的定义的数字特征.的数学期望为与的协方差。记为即2、简单性质称函数对给定的二维随机变量，对于二维随机变量,我们不仅关心随机变量和也关心反映随机变量与之间关系的数字特征.反映随机变量之间关系的数字特征主要有协方差和相关系数。定义2定理3对给定的二维随机变量，成立（1）若独立，则有（2）证明若独立，则(1)(2)有即对任意常数a，有证毕。３、相关系数的定义随机变量的相关系数（简记为r)定义为或记为标准尺度下的协方差（1）若独立，则（2）定理4对给定的二维随机变量，r为的相关系数，等号成立当且仅当间有严格线性关系时则成立证明若独立，则有从而(1)达到.即当且仅当存在常数a,b,使得（1）若独立，则（2）定理4对给定的二维随机变量，r为的相关系数，等号成立当且仅当间有严格线性关系时则成立证明(2)有即证毕。也就是等号成立,当且仅当即存在常数a,b,使得达到.即当且仅当存在常数a,b,使得（1）若独立，则（2）定理4对给定的二维随机变量，r为的相关系数，等号成立当且仅当间有严格线性关系时则成立达到.即当且仅当存在常数a,b,使得由定理4(1)知,若独立，则相关系数问题1:若相关系数则是否相互独立?由定理4(2)知,问题2:这里的a=?,b=?.当且仅当存在常数a,b,使得例11设随机变量服从上的均匀分布,设（书例13）讨论随机变量与的相关系数及独立性.解随机变量的密度函数为于是例11设随机变量服从上的均匀分布,设（书例13）讨论随机变量与的相关系数及独立性.从而有而由知与不独立.解随机变量的密度函数为若独立，则有反之,时,不一定独立.上例说明:与有严格的函数关系，（1）若独立，则（2）定理4对给定的二维随机变量，r为的相关系数，等号成立当且仅当间有严格线性关系时则成立达到.即当且仅当存在常数a,b,使得由定理4(1)知,若独立，则相关系数问题1:若相关系数则是否相互独立?由定理4(2)知,问题2:这里的a=?,b=?.当且仅当存在常数a,b,使得若独立，则有反之,时,不一定独立.４.相关系数的意义不相关若相关系数则称不相关.不相关与相互独立的关系:相互独立不相关5、二维正态分布的相关系数:从而相关系数于是其联合密度函数为解例则相互独立当且仅当由5.3节例10，知于是，我们又有则相互独立当且仅当不相关．独立一定不相关,不相关不一定独立.通过以上讨论,我们得到如下结论:但如果服从二维正态分布,则相互独立与不相关等价．三、数学期望的性质（续）定理5若是二维随机变量，则（1）（2）推论2若是两两独立的随机变量，则有推论1若随机变量,则有相互独立(不相关)三、数学期望的性质（续）定理5若是二维随机变量，则（1）（2）证明(1)由协方差定义,有(2)由方差定义,有移项即得.证毕.四.协方差的性质（续）

（自证）解例2（5-27）(1)不相关与相互独立的关系小结相互独立不相关(2)不相关的充要条件例12设二维随机变量的联合密度为(书例14)试求数学期望，方差，协方差，相关系数r,并求．解例12设二维随机变量的联合密度为（书例14）试求数学期望，方差，协方差，相关系数r,并求．例12设二维随机变量的联合密度为（书例14）试求数学期望，方差，协方差，相关系数r,并求．完例12设二维随机变量的联合密度为（书例14）试求数学期望，方差，协方差，相关系数r,并求．5-25，5-27第五节二维随机变量函数的概率分布5.5.1和的分布5.5.2商的分布5.5.1和的分布一、离散型随机变量设二维离散型随机变量的联合概率分布为考虑的分布律.若相互独立,则有此时于是例1概率解等价于概率例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解可得所以例13已知相互独立，分别服从参数为及的泊松分布，（书例16）试求的分布律。即解即服从参数为的泊松分布。由有结论:若相互独立,且推广二、连续型随机变量设二维连续型随机变量的联合密度函数为求的密度函数.思路:先求分布函数,再求密度函数.从而由分布函数与密度函数的关系得下面考虑特殊情形:由分布函数的定义,有即有若进一步有相互独立,令下面考虑特殊情形:此时卷积:

称为函数与的卷积或摺积.记为即卷积性质:独立随机变量之和的概率密度是各概率密度的卷积,即结论:(类似可得到)例14已知独立且同服从标准正态分布，即（书例17）试求的分布律。解依公式,有即有由已知结论:若且相互独立,则进一步推广:推广:若且相互独立,则则例15已知相互独立，均服从正态分布又（书例18）其中a,b是常数.(1)求的相关系数;(2)问是否相关,是否独立;(3)当独立时,求的联合密度函数.解(1)由已知,有于