高一数学必修3《概率》公式总结以及例题

§3.

概率❖

事：机件event，定事件:必事件certain)和可能事件(event随事的率统定：一般的，如果随机事件在n次验发生了m次，当实验的次数

n

很大时，我们称事件A生的概率为

说：①一随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生具频率的稳定性而频率的稳定性又是必然的因此偶然性和必然性对立统一②不能件和确定事件可以看成随机事件的极端情况③随事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④概是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果⑤概率频的定，频是率的似

概必满三基要：对任意的一个随机事件，有0②

用别表示必然事件和不能事件则有P

③如果事件和B互斥则:P

古概（Classicalmodel①所有本事件有限个②每基本事件发生的可能性都相等满这个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n一个基本事件发生的概率都是1n

，如果某个事件A包含了其中的个可能的基本事件，则事件A发的概率为

几概（probabilitymodel一地一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域内为事件，则事件A发的概率为

的侧度D的侧度

（这里求

D

的侧度不为0中侧度的意义由

D

确定般地，线段的侧度为该线段的长度面多变形的侧度为该图形的面积体像的侧度为其体积）几概的本点①基本件等可②基本件无限多颜师明为了便于研究互斥事件，们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内机地取点，指的是该点落在区域内何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互事(：不能同时发生的两个事件称为互事件/8对事（complementary个互斥事件中必有一个发则称两个事件为立事件，件

的对立事件记：

A

独事的率

若B相互独立的事件事件,则P

，若

A,A,...A为两两独的事,1n2

n

1

n

颜师明若

,B为斥事件则AB中最多有一个发生

可能都不发生，但不可能同时发生，集合的来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集②对事件是指的两个事件且必须有一个发生互斥事件可能指的很多事件最只有一个发生能不发生③对事件一定是互斥事件④从集论来看示斥事件和对立事件的合的交集都是空集两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤两个对立事件的概率之和一定是1而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若

A

是互斥事件，则有

⑦

一般地，如果

AA1n

两两互斥，则有AA1n

⑧

P

⑨在本教材中

AA12

指的是

A1n

中至少发生一个⑩★在体题

中，希望大家一定要注意书写过程处事件来利用哪种概型解题就照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来，具的格式请参照我们课本上（新课标试验教科-苏教版）的例题例题选：例1.在小相同的6个球中，个红球，若从中任意选2个求所选的2个至少有一个是红球的概率？【析题目所给的6个中有4个球个它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法解1斥事件）设事件A为“选取2个球至少有是红球”则其互斥事件为意义为“选取2个都其它颜色球”1P(6151515214答：所选的2个至少有一个是红球的概率为.15

A解2古典概型）由题意知，所有的基本事件有

62

种情况，设事件A为选取2个球至少有个红球件

所含有的基本事件数有

4

42

14/8所以

14答：所选的2个球至少有一个是红球的率为15解独立事件概率）不妨其它颜色的球设为白色求，设事件

为“选取2球至少有1个红球”，件

有三种可能的情况白1白1红，对应的概率分别为：

422324,,，则656566答：所选的2个球至少有一个是红球的率为

评价本重点考察我们对于概基本知识的理解合所学的方法根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能!变训1：在小相同的6个中个红球个白球，若从任意选取个，求至少有是红球的概率？解法斥事件）设事件

为“选取个球至少有是红球其斥事件为

A

，意义为“选取3个都白球”PA

36

43(64)3

42654答：所选的3个球至少有一个是红球的率为5解2典概型）由题意知，所有的基本事件C

63

20

种情况，设事件

为“选取3个球至少1个是球”，而事

所含有的基本事件有422

，所

1620答：所选的3个球至少有一个是红球的率为

解3立事件概率）设事件

为“选取3个至少有是红球”，则事件

的情况如下：红2白红白

红白白白白红白红白红红白红白红白红红

2416454265442165452146521654154165415/81者PPB1者PPB114P所以5155答：所选的3个球至少有一个是红球的率为

变训2盒中6灯泡，其中2只次品，4只品，有放回的从中任抽，每次抽取1只试求下列事的概率：第1次到的是次品抽到的2次，正品、次品各一次解设事件为“第次抽到的是次品事件B为抽到的中，正品、次品各一次”则

P

26

，

442424P（者669

）答第次抽到的是次品的概率为

，抽到的2次，正品、次品各一次的概率为

49变训：乙两人参加一次考试共有道选择题3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回抽选择题而乙抽到空题的概率至1人到选择题的概率？【分）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率2事件“至少人抽到选择题”和事件“两人都抽到空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来解设事件

“抽到选择题而乙抽到填空

“少1人到选择题

B为“两人都抽到填空题”（1）

333PA6510

者P

PP33310（2

165

P5

则

5答甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

3，少人抽到选择题的概率为10变训4一只口袋里装有5大小形状相同的球，其中3红球个球，从中不放回摸出球，球两个球颜色不同的概率？【分】先抽出两个球颜色相同要么是1，要么是黄球略

P

323555

6PC变训：盒子中有个，其中个球，个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个球白球的概率是多少？略

P

424246666例2.急救飞机向一个边长为千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有个长宽分别为80米50米水池，当急救物品落在水池及距离水池10米范围内时，物品会失效假设急救物品落在正方形域内的任意一点是随机不考虑落在正方形区域范围之外的发急救物品无效的率？【分】为属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量解如图，设急救物品投的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域/8

D

，事件a261a261“发放急救物品无效”为，距离水池米围为区域d，为图中的阴影部分，则有

d测测501000

答略颜师明这种题目要看清题目意思为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的变训1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计硬完全落在正方形内的概率？略：

d测测

2244232变训2：图设一个正方形网格其中每个小正三角形边长都是,现一直径等于的币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？【分】因圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径解如图，正三角形ABC内有一正三角形

AB

，其中1ADABaADEA1a,BE63aABaa33

a

C当圆心落在三角形

AB

之外时，硬币与网格有公共点

C1有公P

S-ABCSBC

F

3a2433a24

a

0.82

A

D

A1

a

a/6

B1EB/855答硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82变式训练3：如，已知矩形

中,7,在正方形内任取一点P,求

的概率？略：PA56变训4：平面上画了彼此相距的平行线把一枚半径r<a的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？

解设事件

为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线M，足

为

M

，线段

OM

的长度的取值范围为

,

，其长度就是

几何概型所有的可能性构成的区域

D

的几何测度，只有当OMa

时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件

的区域

d

的几何测度，所以

2a

r

a答硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

aa【评与接该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域

D

和区域

d

，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。蒲投问：面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离a（a），向平面内任意的投掷一枚长为

l

针与平行线相交的概？解：以

表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又表针此直线的交角，如图易知

0xa,0

，有这两式可以确定-平面上的一个矩形，是为了针与平行线相交，其充要条件为

x

l2

，有这个不等式表示的区域为图中的阴影部分，由等可能性知

0

l

l2a/8如果

l已则以

值代入上式即可计算P来果已知则也可以利用上式来求

，而关于

P

的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既:

如果投针N次，中平相的次数为次，则频率为

n

，于是，P

llN于是,注：也是历史上有名的问题之一试的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率再频率近似概率来建立式进求出

在史上有多的数学家用不同的方法来计算如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求.会问：乙两人约定在6时时在某地会面并约定先到者等候另一人一刻钟时即可离去，求两人能会面的概率？解设“两人能会面”为事件，以y分表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为：

在平面上建立如图所示的坐标系，则

的结果是边长为的正方形而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知，

S227PAAS6027答两人能会面的概率16◆课上道题变训：如，在等腰直角三角形

ABC

中，在斜边

AB

上任取一点M，求AM的率？【分】点M随的落在线段AB上故线段为区域D，点位于如图的内时AM，线段AC

即为区域

解在

AB

上截取

'AC

，于是(AMAC)AM

AC'2ABAB2答

AM

的概率为

22【式练图，在等腰直角三角形ABC中在ACB内任意作一条射线CM，线段AB交点M求AM的率？错：AB上取AC'内部任意作一条射线C满足条件的M看/800作是在线段

AC

'

上任取一点

M

，则有(AMAC)AM

ACABAB【析这种解法看似很有道理仔