机械工程控制基础chap3-1

第三章时域分析法一、典型输入信号二、一阶系统的时间响应三、二阶系统的时间响应四、误差分析和计算五、小结一、典型输入信号

时域分析的目的

在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

典型输入信号第三章时域分析法在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

对典型输入信号的要求第三章时域分析法

形式简单，便于解析分析；

能够使系统工作在最不利的情形下；

实际中可以实现或近似实现。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

常用的典型输入信号Asint

正弦信号

单位加速度信号

t，

t0单位速度(斜坡)信号1(t)，t0单位阶跃信号

1(t)，t=0单位脉冲信号复数域表达式

时域表达式

名

称

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

卷积定理

单位脉冲响应函数（权函数weightingfunction)0tf(t)单位脉冲函数1第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；

典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法二、一阶系统的时间响应

一阶系统（惯性环节）

一阶系统的单位阶跃响应极点（特征根）：-1/T第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分

瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

稳态响应：1表示时，系统的输出状态

，随时间的推移，指数增大，

且无振荡。，无稳态误差；第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

第三章时域分析法将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。tln[1-xo(t)]0即与时间t成线性关系。ln[1-xo(t)]第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

一阶系统的单位速度响应第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

一阶系统单位速度响应的特点

经过足够长的时间，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t–T，即输出相对于输入滞后时间T；系统响应误差为：

瞬态响应：；稳态响应：t–T；第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

一阶系统的单位脉冲响应xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

一阶系统单位脉冲响应的特点

xo

(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

瞬态响应：

稳态响应：0第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法线性定常系统时间响应的性质

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性（准确性），后者反映系统的动态特性（稳定性与快速性）。

注意到：

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法对一阶系统：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法三、二阶系统的时间响应

二阶系统

其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，为阻尼比；n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：极点（特征根）：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第二章

数学模型如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。第二章

数学模型Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

欠阻尼二阶系统（振荡环节）：0<

<1具有一对共轭复数极点：系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：其中，称为有阻尼固有频率。由欧拉公式，有：

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

临界阻尼二阶系统：

＝1具有两个相等的负实数极点：系统时域响应含有衰减项：

过阻尼二阶系统：

>1具有两个不相等的负实数极点：系统包含两类瞬态衰减分量：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

零阻尼二阶系统：

＝0具有一对共轭虚极点：

负阻尼二阶系统：

<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：第三章时域分析法第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法不同阻尼比下，极点分布的情况第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

二阶系统的单位阶跃响应第三章时域分析法

欠阻尼（0<

<1）状态

其中，第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

瞬态分量为振幅等于的阻尼

正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。有阻尼固有频率；

振荡频率随减小而加大,增加可以降低振荡，但系统快速性降低。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统响应快速性越好。

，无稳态误差；

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

临界阻尼（

=1）状态

10txo(t)

特点

单调上升，无振荡、无超调；

0,)1(1)(³+-=-tettxtnonww，无稳态误差；

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

过阻尼（

>1）状态01txo(t)

特点

单调上升，无振荡，过渡过程时间长

，无稳态误差；

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

无阻尼（

=0）状态

210txo(t)

特点频率为n的等幅振荡。0,cos1)(³-=tttxnow第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

负阻尼（

<0）状态

0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1

-1<

<0：输出表达式与欠阻尼状态相同。

<-1：输出表达式与过阻尼状态相同。

特点：振荡发散

特点：单调发散

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

几点结论

二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；

>1时，无振荡，过渡过程长；0<

<1时，有振荡，愈小，振荡愈严重，

但响应愈快，=0时，出现等幅振荡。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

二阶系统的性能指标

控制系统的时域性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N、稳态误差ess。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering单位阶跃响应上升时间峰值时间调整时间稳态误差第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

评价系统快速性的性能指标

上升时间tr(risetime)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调(过阻尼)系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。

峰值时间tp(peaktime)响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

调整时间ts(settlingtime)响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。

最大超调量Mp(maximumovershoot)响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：

评价系统稳定性的性能指标

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。稳态误差ess

系统进入稳态后期望值与实际值之差。

评价系统准确性的性能指标

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

欠阻尼二阶系统的时域性能指标

上升时间tr根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法从而：显然，一定，n越大，tr越小；n一定，越大，tr越大。即：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

峰值时间tp，并将t=tp代入可得：

令即：

第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法根据tp的定义解上方程可得：

可见，峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp越大。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

最大超调量Mp显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp=25.4%~1.5%。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二阶系统Mp—

图第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法当

n一定时,越大，ts越小。当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。当0<<0.7时，

调整时间ts第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

振荡次数NN仅与有关。与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。对欠阻尼二阶系统，振荡周期则2122xwpwp-==nddT第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

二阶系统的动态性能由n和决定。

结论一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。一定，n越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；通常根据允许的最大超调量来确定。第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法

例题1图a)所示机械系统，当在质量块m上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，m的位移时间响应如图b)。试求系统的质量m、弹性系数K,粘性阻尼系数C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法解：根据牛顿第二定律：其中，系统的传递函数为：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：

K=8.9/0.03=297N/mKKCsmsssXxsoso9.89.8lim)(lim)(200=++==¥®®由图b)知，因此：第三章时域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章时域分析法又由图b)知：解得：=0.6又由：代入

，可得n=1.96rad/s根据解得m=77.3Kg，C=181.8Nm/s第三章时域分析法Collegeofmechanica