正多边形的性质【高效课堂精创】 九年级数学下册 教学课件

正多边形的性质24.6.2正多边形的性质学习目标1.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念.2.掌握正多边形的性质并能加以应用.24.6.2正多边形的性质问题1什么是正多边形？

问题2如何作出正多边形？

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.回顾复习24.6.2正多边形的性质讲授新课OABCD问题1以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGH∵EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.∵GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.正多边形的性质24.6.2正多边形的性质OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分线，BD是∠ABC和∠ADC的平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.24.6.2正多边形的性质

所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？想一想：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.24.6.2正多边形的性质OABCDEFGHRr知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.24.6.2正多边形的性质

画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？24.6.2正多边形的性质要点精析：(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心.(2)当边数为偶数时，正多边形具有：轴对称性、中心

对称性,它的中心就是对称中心.(3)当边数为奇数时，正多边形具有：轴对称性其中：对称轴条数与边数相等．24.6.2正多边形的性质如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于

度；②

OC

BC

(填＞、＜或＝）；③△OBC是

三角形；

④圆内接正六边形的面积是

△OBC面积的

倍.⑤圆内接正n边形面积公式：________________________.CDOBEFAP60=等边6正多边形的有关计算S正多边形=周长×边心距/224.6.2正多边形的性质

求边长为a的正六边形的周长和面积.如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C

和S.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.∴C=6BC=6a.在△BOC中，有解：例124.6.2正多边形的性质例2一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10cm，上、下底面正六边形的边长为12cm，如果用彩色胶带按如图所示方式包扎礼盒，所需胶带长度至少为________________．24.6.2正多边形的性质胶带包括上、下面各3段，侧面6段．上、下面中的每段胶带长等于图中的OC的2倍．利用中心角可求得∠COB＝30°，由正六边形的边长为12cm，易得BC＝6cm，所以OB＝12cm，由勾股定理得OC＝

cm，从而求得上、下面每段胶带长为cm，进而求出所需胶带的长度．分析：24.6.2正多边形的性质例3

如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．24.6.2正多边形的性质（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°.∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．∴∠GAB=135°-∠1=112.5°．∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG．同理，可得CE∥BF，∴CE∥AG；24.6.2正多边形的性质PNMQ（2）有题意可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四边形PQMN是矩形．∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．24.6.2正多边形的性质在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AB=2，PNMQ故S四边形PQMN=24.6.2正多边形的性质2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRMr·圆内接正多边形的辅助线方法归纳O边心距r边长一半半径RBM中心角一半24.6.2正多边形的性质如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)图①中∠MON=_______;图②中∠MON=

;

图③中∠MON=

;(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90°72°120°图①图②图③24.6.2正多边形的性质正多边形边数内角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°1.完成下面的表格：随堂练习24.6.2正多边形的性质正多边形边数半径边长边心距周长面积34162.

填表：21284221224.6.2正多边形的性质3.如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：①它的中心角等于

度；②

OC

BC

(填＞、＜或＝）；③△OBC是

三角形；

④圆内接正六边形的面积是

△OBC面积的

倍.CDOBEFAP60=等边64.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个正多边形的边数是

.424.6.2正多边形的性质5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°·ABCDEOC24.6.2正多边形的性质6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．解：∵正方形的面积等于4，则半径为∴⊙O的面积为∴正方形的边长AB=2.24.6.2正多边形的性质ABCDEFP7.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点，则点P到各边距离之和是多少？∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.HK∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为HK的长.∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=1