角平分线模型的构造

第二讲角分线模型的造

3月

M

M角平分

(l)定义：如，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠像这样，从一个角

P

的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．

(c)

(d)

Nαα

图2

(4)若P点∥ONOM点Q2-2(d)，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角分线十平线，等腰三形必呈．例1(1)如，在△中，C=90分∠CAB，，BD=4cm，那么点到直线AB的距离是（）角平分线的性质定理如果一条射线是一个角的平分线么它把这个角分成两个相等的角，在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理

D

B在角的内部果一条射线的端点与角的顶点重合且把一个角分成两个等角么这条射线是这个角的平分线，在角的内部一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，与角平分线有关的常用辅助线作法角平分线的四大基本模型，

图2-3（a）(2)如2-3(b)，已知：∠∠，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．A已知∠MON平分线上一点，(l)若⊥OM于点A如图2-2(a)以过点作

B1

2

3

4

C⊥ON于点B，则PB=PA.可记为“中有角平分线，向两边作垂

P2bM

A

MP

(a)

(b)

B若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取连接PB构造△OPB∽△可记为图中有角平线，可将图对折看，称以后关系若AP⊥OP于点如图，可以延长交ON于点B构造△等腰三角形是底边AB中点可记为角平线加垂，线合一试试1例2如图2-4(a)Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.AF平分∠，交点，交于点⑴求证：CE=

例3阅读下列学习材料：如图2-5(a)所，平分∠，AOM上点，C为上一点，连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接如图2-5(b))，易证△≌△F

M

M

2-4（a）

O

-5（a

AC图2b）

N

请根据上面的学习材料，解答下列各题：(l)如图2-5(c)所示在△ABC中AD是△的外角平分线PAD上异于点A的任意一点试比较与的小，并说明理由．⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△AD，E的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变如图2-4(b)所示．试猜想与怎样的数量关系？请证明你的结论．CFE'E

-5（）

A

D

A'

D'

B图（）

(2)如2-5(d)所示，AD是△ABC内角平分线，其它条件不变试比较PC－与－的大小，并说明理由．P

D图-5（d）

2例4如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°AB=ACBD平分∠ABCCEBD，垂足为点E求证：BD=2CE.

(2)如2-7(b)，BD、分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变；AA

ED

FD

E

B

（b）

C(3)如2-7(c)，BD为△的内角平分线，B

图2（a

C

为△ABC的外角平分线，其它条件变，则在图图种情况下DE与平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。AD

EB

图2（）

FC如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作上、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE.1求证：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；2ADB

2-7（a）

C3变式如图2-8，在ABC，AB=3AC,∠BAC平分线交于点D，过点BBE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DEA

(4)如2-9(d)，平分∠，平分外角∠ACG.∥交AB点，交AC于点线段与BE、CF什么关系？并说明理由．AEFDB

2（

CGB

-8

E例6如图2-9(a)，BD，CD别平分∠ABC∠ACB.问：(l)图中有几个等腰三角形？

(5)如2-9(e)，BD、为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥交延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与、CF有什么关系？AA

B

CD

E

D

F

M

D图2-9（）

NB

图2-9（a）

C

图2-9（）

例如图所示，已知△中，，∠C=90°，AD平分∠CAB，过D点作EF∥BC图2-9(b)于点，交AC点，图中又增加了几个等腰三角形？如图2-9(c)，若将题中的△ABC改为不等边三

求证：角形其他条件不变图中有几个等腰三角形？直接写出线段、CF有什么关系？

DA

图（）

D

FB

图2c）

C4变式如图所示，已知△中，AB=AC，∠A=108°，平分∠ABC.求证：BC=ABCD.A

例8如图2-13(a)，OP是∠的平分线，请你利用该图形画一对OP所在直线为对称轴的全等三角形，MPB

图

C

O

图2

N变式如图已知ABCAB=AC∠A=IOO°，BD分∠ABC，

请你参考上图构造全等三角形的方法下列问题：(1)如2-13(b)在△ABC∠ACB是角∠B=60°，AD、分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、相交于点请你判断写出与之间的数量关系；BEFD求证：BC=BD＋AD.

A

图2

CAB

图

C

(2)如2-13(c)在△ABC如果∠不直角，而(l)的其他条件不变，请问，你在1中所得结论是否依然成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．BE

F

DA

图2-13c）

C5牛刀小(l)如图(a)，在△ABC，∠与∠的角平分线相交于点，过点作∥交AB点D交于点，BD+CE=9则线段DE之长为（）A

3、已知图2-16，四边形ABCD中，B+＝°，求证：AC平分∠

F

2-16

B

图-14(a)

C如图，在△，、分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，∥AC.，，求△DEF的周长，D

EF图2-14(b)

4.如图2-17，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线交于点连接APCP，若∠∠的度数．2.已知：如图，∠CAD，AB>AC，⊥AD于点D.HBC中点．1求证：DH＝AC).2A

P

图CB

H图2

C65.已知图2-18四边形中BC>ABAD=CD，BD分∠ABC.求证：∠∠C=180°

(2)若°是EF的中点如图直接写出∠BDG的度数；DA

D

图

FB

图

C6.在平行四边形ABCD中，∠的平分线交直线于点，交直线于点F.

(3)若∠ABC=°，CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图2-19（c∠BDG的度数．在图2-19(a)中证明CE＝；D

DE

图-19(a)

F

图2-19(c)

F77.已知：如图，在△中，