实际问题的函数模型

实际问题的函数模型第一页，共二十八页，2022年，8月28日【学习目标】

1.通过一些实例来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用. 2.了解分段函数、指数函数和对数函数等函数模型的应用. 3.初步了解对统计数据表的分析与处理.

4.体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解，初步形成用函数观点处理问题的意识.

5.结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.第二页，共二十八页，2022年，8月28日

根据收集到的数据作出________，并通过观察______判断问题所适用的__________，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.散点图图象函数模型

练习1：已知y与x是一次函数关系，当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝8，则y与x的函数关系式是____________.

练习2：计算机成本不断下降，若每隔3年计算机价格降元.y＝2x＋22400第三页，共二十八页，2022年，8月28日【问题探究】

某商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销，拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值1元，销售量增加10%，且在一定范围内，当礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n(n∈N*)元时的销售量增加10%. (1)写出当礼品价值为n元时，利润f(n)(单位：元)与n的函数关系式；(2)请你设计当礼品价值为多少元时，商店获得最大利润.第四页，共二十八页，2022年，8月28日

解：(1)设礼品价值为n元，则每个商品获利20－n元，当商品的销售量为a，故当礼品价值为n元时，商品的销售量为a(1＋10%)n，其利润为f(n)＝a(20－n)(1＋10%)n. (2)为了使商店获得最大利润，有f(n)≥f(n－1)且f(n)≥f(n＋1)，

9≤n≤10，∴n＝9或n＝10.故当n＝9或n＝10时，商店获得的利润最大.第五页，共二十八页，2022年，8月28日题型1利用给定的函数模型解决实际问题

【例1】某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P元和时间t天(t∈N)的关系如图3-2-4所示.图3-2-4第六页，共二十八页，2022年，8月28日(1)写出销售价格P(单位：元)和时间t(单位：天)的函数解析式；

(2)若日销售量Q(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系是Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求该商品的日销售金额y(单位：元)与时间t(单位：天)的函数解析式；(3)问：当该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高为多少元？第七页，共二十八页，2022年，8月28日第八页，共二十八页，2022年，8月28日第九页，共二十八页，2022年，8月28日

当0≤t<25，t∈N时，由二次函数的性质，可知：当t＝10或t＝11时，y有最大值为870元； 当25≤t≤30，t∈N时，70>30，函数在[25,30]上是减函数，因此当t＝25时，y有最大值为1125元，因为1125>870，所以在第25天时，日销售额最大，最大值为1125元.第十页，共二十八页，2022年，8月28日

二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域.在解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.在利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得.另外在实际问题中，还要考虑自变量是否只能取整数.第十一页，共二十八页，2022年，8月28日

【变式与拓展】

1.某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，10年的累积利润看，该规划方案是否可行？第十二页，共二十八页，2022年，8月28日第十三页，共二十八页，2022年，8月28日

设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，∴该规划方案有极大实施价值.第十四页，共二十八页，2022年，8月28日题型2建立确定性的函数模型解决问题

【例2】我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费.

若每户每月用水量不超过最低限量a(单位：m3)时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a(单位：m3)时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.第十五页，共二十八页，2022年，8月28日月份

用水量/m3水费/元1992151932233该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：(1)请根据上表中的数据，求a，b，c的值；(2)写出某户在一个月中的水费y(单位：元)与在这个月中的用水量x(单位：m3)的函数关系式.第十六页，共二十八页，2022年，8月28日第十七页，共二十八页，2022年，8月28日第十八页，共二十八页，2022年，8月28日

【变式与拓展】

2.设不法商贩将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电的原价为________元.2250

解析：设原价为a元，依题意，有a(1＋40%)×80%＝a＋270，解得a＝2250.第十九页，共二十八页，2022年，8月28日

3.在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮资0.80元，超过20g而不超过40g时付邮资1.60元，依次类推，每增加20g时需增加邮资0.80元(信的重量在100g以内).如果某人所)D寄一封信的质量为82.5g，那么他应付邮资( A.2.4元

B.2.8元

C.3.2元

D.4元第二十页，共二十八页，2022年，8月28日题型3建立拟合函数模型解应用题

【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，现以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02

【变式与拓展】

4.在一次数学实验中，运用图形、计算器采集到如下一组数据： 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)()BA.y＝a＋bxB.y＝a＋bxC.y＝ax2＋b解析：由表，可知：y的增长速度越来越快.第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日t/年123456h/米0.611.31.51.61.7

5.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(单位：米)与生长时间t(单位：年)的相关数据，选择y＝at＋b与y＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日

解：根据表中数据作出散点图如图D26.

由图可以看出，用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.图D26不妨将(2,1)代入到y＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数y＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题.当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2.故可预测第8年松树的高度为2米.第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日

【例4】某商店将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，则其每天销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所得利润最大，并求出这个最大利润.

易错分析：每天销售200件是在定价10元时的情况，故所设