定量订货模型

定量订货模型第一页，共三十七页，2022年，8月28日模型假设特征产品的需求是固定的，且在整个时期内保持一致。提前期（从订购到收到货物的时间）是固定的。单位产品的价格是固定的。库存持有成本以平均库存为计算依据。订购或生产准备成本固定。对产品的所有需求都必须满足（不允许延期交货）提供研究的起点，使问题简单化第二页，共三十七页，2022年，8月28日

基本的定量订货模型

Q-模型

QQQQR持有库存LLL第三页，共三十七页，2022年，8月28日函数关系式年总成本=年采购成本+年订购成本+年持有成本

TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H(1-1)式中：TC——年总成本

D——需求量（每年）

Q——订购批量｛最佳订购批量称为经济订购批量(economicorderquantity)EOQ或Qopt｝

S——生产准备成本或订购成本

R——再订购点

L——提前期

H——平均库存水平下，单位产品的持有和存储成本第四页，共三十七页，2022年，8月28日图13-3基于定购量的年产品成本

Qopt

定购批量（Q)TCQH/2DCDS/Q成本第五页，共三十七页，2022年，8月28日确定订购批量Qopt，使总成本最小在上图中，总成本最小点出现在使曲线斜率为零的地方。利用微积分我们将总成本对Q求导数，并令其等于零。计算：

TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H

dTC/dQ=0+(-DS/)+H/2=0Qopt=

(1-2)——因为该模型假定需求和提前期都不变，即无需安全库存，则再订购点R可简单表示为：

R=L

（1-3）式中：——日平均需求量（常数）

L

——用天表示的提前期（常数）第六页，共三十七页，2022年，8月28日例1经济订购批量与再订购点题：求经济订购批量和再订购点，已知：

年需求量（D）=1000单位日平均需求量（d）=1000/365

订购成本(S）=5美元/次持有成本（H）=1.25美元/单位.年提前期（L）=5天单价（C）=12.50美元

问：该订购多少批量？第七页，共三十七页，2022年，8月28日解：

最优订购批量为：

Qopt====89.4单位

再订购点为：

R=L=1000(5)/365=13.7单位

通过取近似数，可指定如下库存政策：当库存水平降至

14单位，则应再订购89单位的产品。

年总成本为：

TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H

=1000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/2=12611.81美元第八页，共三十七页，2022年，8月28日建立安全库存水平

安全库存（safetystock).——可定义为超出预期需求之外的附加库存。

确定标准：一：简单规定该存储几周的供应量作为安全库存。二：使用一种能跟踪需求的变化幅度的方法。

——如：概率方法第九页，共三十七页，2022年，8月28日使用安全库存的定量订货模型定量订货系统对库存水平进行连续监控，且当库存量将至一定水平R时，就进行新的采购。在该模型中，缺货的风险只发生在订购提前期中，即在订购的时刻与收到货物的时间之间。

对于定量订购模型，需求量确定与不确定的主要区别在于再订购点的计算，对于这两种情况的订购批量是相同的。求解安全库存适应考虑需求不确定的因素。第十页，共三十七页，2022年，8月28日再订购点的计算公式为：

R=L+ZóL(1-4)式中：R——以单位产品记的再订购点

——日平均需求量

L——以天计的提前期（下达订单与收到货物之间的时段）

Z——某服务水平之下的标准差个数

óL——提前期中使用量的标准差

ZóL为安全库存量注意：如果安全库存量为正，则在订购的时间应当提前。

R的值扣除安全库存量就是提前期内的平均需求量。

如果订货提前期期间的使用量为20单位，计算出的安全库存量为5单位，那么就应在库存剩余5单位时发出订单。第十一页，共三十七页，2022年，8月28日计算、ÓL和Z

订货提前期内的需求量只是从发出订单到货物接收之间库存用量的一个估计值或预测值。他可能是一个简单的数，或者是提前期内每天预期需求量的总和。计算日需求量：=(n为天数）

(1-5)日需求量的标准差：ód=(1-6)

第十二页，共三十七页，2022年，8月28日ód指的是一天的标准差，如果提前期为若干天，可以利用统计学：即一系列独立事件的标准差等于各方差之和的平方根。

所以普遍公式为：=(1-7)

例如：我们计算日需求标准差为10单位，且提前期为5天，因为每天都可以看作是独立的，所以5天的标准差为：

óL==22.36

接下来，我们求Z，也即安全库存的标准差的倍数。可以由概率方法依据不缺货概率查表得数值。

如：概率为95%对应Z值为1.64

第十三页，共三十七页，2022年，8月28日安全库存计算：

SS=ZóL以前述为例，有：SS=ZóL=1.64×22.36=36.67第十四页，共三十七页，2022年，8月28日

例2经济订购批量题：考察一个经济订购批量的案例。已知年需求量D=1000单位，经济订购批量Q=200单位，不出现缺货的期望概率P=0.95.

提前期内需求的标准差ÓL=25单位，提前期L=15天，

求：再订购点。

假设需求在工作日发生，而该年度工作日为250天。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日解：本例中，=1000/250=4，提前期为15天，利用公式可得：R=L+ZóL

=4(15)+Z(25)本例中，Z的值等于1.64解此关于R值的式子，得：

R=4（15）+1.64（25）

=60+41=101单位这就是说，当库存降至101单位时，就应再订购200单位第十六页，共三十七页，2022年，8月28日例3订购量与再订购点题：某产品的日需求量服从均值为60，标准差为7的正态分布。供应来源可靠，提前期固定为6天，订购成本为10美元，年持有成本为每单位0.50美元。不计短缺成本，订货时的订单将在库存补充之后得到满足。假设销售全年365天都发生。求：提前期内能满足有95%的概率，不出现缺货的订购量与再订购点。第十七页，共三十七页，2022年，8月28日解：本题中，我们需要计算出订购批量Q和再订购点R。

已知：=60S=10美元

ód=7

H=0.50美元

D=60(365)L=6则最优订购批量为：

Qopt===936单位第十八页，共三十七页，2022年，8月28日

为了求出再订购点，要先求出提前期内的使用量，然后再与安全库存相加。

6天的提前期内的需求标准差可以根据每天的需求方差来求得，因为每天的需求是独立的，所以：óL===17.5

和刚才一样，Z等于1.64

有：R=L+ZóL

=60（6）+1.64（17.15）

=388单位上面这两个例子的区别是：例2种需求变化是用整个提前期内的标准差来表示例3中则以每日的标准差来表示第十九页，共三十七页，2022年，8月28日定期订货模型特点：只在特定时间进行盘点（如每周一次或每月一次）；每期定购量不尽相同，大小取决于各时期库存使用率；安全库存应保证在盘点期内和从发出定单到收到货物的提前期内都不发生缺货。第二十页，共三十七页，2022年，8月28日使用安全期库存的定期订货模型订购订购订购LTLTLT缺货持有库存量安全库存时间订购量=此空缺期内的平均需求量+安全库存-现有库存（如果有的话，还要加上已订购量）

第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日使用安全期库存的定期订货模型q—订购量T—两次盘点的间隔天数L—提前期的天数（下订单与收到货物之间的时段）

—预测的日平均需求量

—盘点周期与提前期期间需求的标准差I—现有库存水平（包括已订购而尚未到达的）注：需求量、提前期、盘点期等可以使用日、周、年等任意时间单位，只要整个公式中单位一致就行。需求量可采用预测值，或年度平均值，服从正态分布。

z值取决于缺货发生概率。

订购量=此空缺期内的平均需求量+安全库存-现有库存（如果有的话，还要加上已订购量）

第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日例:订购量某一产品日需求量为10单位标准差为3单位盘点周期为30天提前期为14天管理部门已经制定的需求政策时要满足98%地对库存物品的需求在盘点周期开始时，库存中有150单位产品。求订购量。第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日例:订购量解：d=10=3T=30L=14P=0.98I=150因为每日的需求是独立的，且是固定的，所以，对应于P=0.98的z值为2.05。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日因此，订购量为：例:订购量所以，要满足98%的不出现缺货的概率,应当在该盘点期订购331单位产品.第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日专用模型定量订购模型与定期订购模型假设条件的相同点:

（1）单价为常数,与订购量无关;

（2）在订购过程连续。两个新模型（1）单价随订购批量变化时对订购量的影响；（2）单周期存储模型（静态模型）

——边际分析。

第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日1批量折扣模型（price-breakmodel）使用条件：产品售价随批量大小发生变化，售价变化是离散或阶跃的，非连续。如：螺钉1～99只2美分/只每100只1.6美元每1000只13.5美元求不同价格水平下相应的经济订购量和在价格变化点上的经济订购批量，不一定可行。

第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日1批量折扣模型（price-breakmodel）求解原则：将每个可行的经济订购量的总成本和相应的批量折扣订货量列成表格，能使总成本最小的订购量Q就是最优订货量。若持有成本根据单价百分比确定，则不必计算每个价格水平下的经济订购量求解步骤：（1）求出最大的订购量Q（相应于最低的单价），如果Q可行，则它就是答案。（2）若Q不可行，计算次大的订购量Q（相应于第二个最低价格）。若可行，则把相应与Q的成本同相应于比Q大的价格变化临界点的成本进行比较，根据成本最小原则确定最优订购量。

第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日例：折扣问题考虑这样一个案例，有关数据如下：

D——10000件（年需求量）

S——20美元（每次订购成本）

i——20%（年持有成本占单价的20%，包括存储、利息以及过时成本）

C——单位成本（依订购批量而定。批量为0～499件，每件5美元；500～999件，每件4.5美元；1000件以上，每件3.90美元）最有订购量为多少？第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日例：折扣问题

可用定量订货基本模型求解，适用以下公式：TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)iC

结果如下：当C=3.9美元时，Q=716，不可行；当C=4.5美元时，Q=666，可行，总成本=45599.7美元；当Q=1000时，总成本=39590美元，所以是最优解。

第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例：折扣问题

C=5美元时Q=633C=4.5美元时Q=666C=3.9美元时Q=716价格变化临界点持有成本（Q/2）iC（666/2）*0.20*4.50=299.70美元（1000/2)*0.20*3.90=390美元订购成本（D/Q）S不可行10000*20/666=300美元不可行10000*20/1000=200美元持有+订购成本599.70美元590美元货品成本DC10000（4.50)10000（3.90)总成本45599.70美元39590美元第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日2单周期存储模型

单周期存储问题——决策仅涉及一个需求周期，或者物资只在很短的时间内能够销售而且有经常的中断。求解方法——边际分析

当订购量再增加一件时，订购该件物资产生的收益会小于因订购带来的成本。比较持有成本与缺货成本，或者比较边际收益与边际损失。第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日2单周期存储模型

存货直接用于销售时，存储数量应满足：销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时所带来的损失:MP≥MLMP——第n件产品售出时所带来的