导数微分及其应用

导数微分及其应用2023/2/31第一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础

微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽为《九间算术》作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。

积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。解析几何为微积分的创立奠定了基础。

2023/2/32第二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础第一节函数区间一、预备知识设a，b是两个实数，且a<b①开区间

：满足不等式a<x<b一切实数的全体。②闭区间

：满足不等式a≤x≤b的一切实数的全体。

③半开区间

：满足不等式a<x≤b的一切实数的全体。：a≤

x<

b2023/2/33第三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础表示全体实数，或写成－∞<x<＋∞；表示大于a的全体实数，或写成a<x<+∞；表示小于a的全体实数，或写成－∞<x<a；表示a≤

x<+∞；表示－∞<

x≤a。2023/2/34第四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2.邻域2023/2/35第五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础例：2的0.001邻域为（1.999,2.001）

2的0.001去心邻域为

(1.999,2)∪(2,2.001)2023/2/36第六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础二、函数函数的概念2023/2/37第七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础注函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。

2023/2/38第八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/39第九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2.复合函数

设y是的z函数：y=f(z)，而z又是x的函数：z=g(x)。设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得

y=f(g(x))Dg(D)F(g(D))这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数，记作f·g。变量z叫做中间变量。函数f的定义域gf2023/2/310第十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础例1.22023/2/311第十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础3.初等函数

①

基本初等函数2023/2/312第十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础②初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

2023/2/313第十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/314第十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础第二节数列的极限无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,…,an,…称为数列，记为{an}，其中的每一个数称为数列的一个项，an称为数列的通项。1、数列的极限(1)、定义（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，

3.1415926，…；（2）2，4，8，16，…，2n，…；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，…，1/2n，…；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，…，(-1)n+1/n，…；（5）1，1/2，2/3，3/4，…，(n-1)/n，…；2023/2/315第十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础(4)、数列极限如果数列没有极限，称数列是发散的。

如果对于任意给定的正数ε，总存在着一个正整数N，使得对于n>N的一切an，有不等式

|an

－a|<ε

称数列an以有限数a为极限，常数a叫作数列{an}当n→∞时的极限。或称数列{an}收敛到a，记作2023/2/316第十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础(2)、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。

(3)、有界数列对于数列{an}，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,…)都满足不等式-M<an<M，称数列{an}为有界数列。

如果有

，则称{an}为单调减少数列。对于数列{an}，如果有

，则称{an}为单调增加数列；2023/2/317第十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础证明2023/2/318第十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础(5)定理若数列{an}收敛，那么{an}是有界数列。注：这个定理反映出处理有关“无限”问题的一个基本思想：就是将无限转化为有限。2023/2/319第十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2、级数①、定义把用加号连起来的无穷多个数称为无穷级数(简称级数)。例2023/2/320第二十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础②、部分和及部分和数列设有级数级数的部分和为…2023/2/321第二十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/322第二十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础例2.2

证明所以因此2023/2/323第二十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础3、函数的极限①、当x→x0时函数f(x)的极限如果对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，0<|x-x0|<δ时，有

|f(x)-A|<ε,则称当x→

x0时函数f(x)以A为极限。

注：1:ε用来表示f(x)和A的靠近程度，是任意给定的。2:δ用来表示x和x0的靠近程度,选取依赖于ε。2023/2/324第二十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础图3.2xOy函数极限的几何意义：任意给定的ε>0，作直线y=A+ε，y=A-ε,这两条直线形成一横条区域.对于这个ε,存在点x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)但x≠x0时，有不等式：

点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。2023/2/325第二十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/326第二十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/327第二十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础②、当x→∞时函数f(x)的极限2023/2/328第二十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解2023/2/329第二十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础

③、极限的四则运算法则当x→∞时，性质也成立。2023/2/330第三十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础数列极限四则运算也有类似的定理:2023/2/331第三十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/332第三十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础所以解

注意到2023/2/333第三十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础分母的极限不为零。解2023/2/334第三十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础4、两个重要极限2023/2/335第三十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解因此2023/2/336第三十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解2023/2/337第三十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解先用x去除分母及分子，然后取极限.2023/2/338第三十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解2023/2/339第三十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础5、无穷小量和无穷大量

①、无穷小量例如一个函数当

时以0为极限，称该函数为当

时的无穷小量。2023/2/340第四十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础②.定理③无穷小量阶

～2023/2/341第四十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/342第四十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础下面是几个常用的等价无穷小：

～～～～2023/2/343第四十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础④、无穷大量2023/2/344第四十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/345第四十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础第三节连续1、连续的定义2023/2/346第四十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/347第四十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础区间连续的定义2023/2/348第四十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础连续函数的图象是一条连续的曲线。2023/2/349第四十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/350第五十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2、初等函数的连续性定理基本初等函数在定义域内都连续。定理初等函数在定义域上的区间上连续。2023/2/351第五十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解2023/2/352第五十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础3、闭区间上连续函数的性质有界性定理

闭区间上连续的函数在此区间上一定有界。2023/2/353第五十三页，共九十八页，2022年，8月28日最大值和最小值定理

在闭区间上连续的函数在此区间上一定有最大值和最小值．即：大学数学基础2023/2/354第五十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/355第五十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/356第五十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础证明

2023/2/357第五十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础如果记f(x)在闭区间[a,b]上的最的大值为M，最小值为m,且m≤c≤M，那么存在一点ξ∈[a,b]使得

f(ξ)=c。2023/2/358第五十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/359第五十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础第四节函数的导数一、导数的概念

两个例子

(1)、切线问题设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？2023/2/360第六十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/361第六十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础(2)、瞬时速度

设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)

？2023/2/362第六十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础1、定义存在，则称这个极限为函数f(x)在点x0处的导数，并称函数f(x)在x0处可导或有导数。(点导数)2023/2/363第六十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。解：2023/2/364第六十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/365第六十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2、定义(区间导数)2023/2/366第六十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础导函数的定义式为2023/2/367第六十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：2023/2/368第六十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础3、基本求导公式和求导法则①基本求导公式2023/2/369第六十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础②导数的四则运算2023/2/370第七十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：解：2023/2/371第七十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：2023/2/372第七十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础③复合函数的求导法则――链锁法则

2023/2/373第七十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有2023/2/374第七十四页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：将函数分解的两个简单函数，根据链锁法则，有2023/2/375第七十五页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础4、高阶导数

二阶及二阶以上的导数称为高阶导数

2023/2/376第七十六页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：先求函数的一阶导数再求一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数

2023/2/377第七十七页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础2023/2/378第七十八页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础第五节函数的微分一、微分的概念

1.定义设y=f(x)在点x处可导，则

称为函数

y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：

dy=。

微分的表达式2.定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。2023/2/379第七十九页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础二、微分的几何意义xyOxAT是曲线y=f(x)上点A处的切线。其中是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从x变到x+dx时，曲线y=f(x)在点A处的切线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。2023/2/380第八十页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：因为所以2023/2/381第八十一页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础三、基本微分公式2023/2/382第八十二页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础四、微分的运算2023/2/383第八十三页，共九十八页，2022年，8月28日大学数学基础解：用函