第五章相似性原理和因次分析

第五章相似性原理和因次分析§5.1量纲分析的意义和量纲和谐性原理§5.2量纲分析法§5.3相似理论基础§5.4模型实验量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析法相似理论基础模型实验第五章量纲分析和相似原理

从哲学的角度上讲，人类生命的意义是认识自然规律、尊重自然规律、利用自然规律为人类服务。而事实上，在这个包容万象的大千世界中，只有少数的自然现象可以通过纯理论研究而得到结果。

在流体力学中有不少问题目前尚不能通过数学来求解，因为在有些情况下，可能是对过程的全部现象了解的还不够，难以用微分方程来描述；而另一些情况则是微分方程组的求解困难。在这种情况下，只能依靠实践，直接通过实验手段来寻找这些流动过程的规律性。

实验研究对流体力学的发展具有十分重大的意义。随着科学技术的发展，实验越来越复杂，计算量越来越大。由于经济上的考虑和技术上的限制，对实物进行实验会遇到很大困难或很难实现。因此，有很多问题都是在实验室条件下进行模型实验研究的。物理量～简称量，是可以定性区别和定量确定的现象或物体的属性。基本量和导出量在自然界中，物理量之间存在一定的联系。例如，在力学现象中，只要适当的选定出三个量之后，就可依据定义或物理定律将其他两个表示出来。这种彼此相互独立，又可将其他量表示出来的一组物理量成为基本量。而其他的物理量成为导出量。§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理基本单位和导出单位在一定的单位制中，对最初选定基本量规定出他们的测量单位，称为基本单位。导出量的测量单位称为导出单位。§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲某一物理量的种类称为该物理量的量纲。基本量纲和导出量纲基本量纲就是基本量的量纲。同样导出量的量纲就称为导出量纲。§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理相似理论在描述物理现象的用方程式表达的客观规律已知的情况下，探求两现象相似的条件。因次分析法在决定某物理现象的诸因素已知的条件下,根据因次和谐性就能推导出描述该现象的物理方程。§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理两个物理现象相似两个同一类物理现象，如果在对应时、空点上，所有表征现象的相应物理量都保持各自固定的比例关系（向量方向相同）。两个流场相似若两个流场的对应时、空点上，所有表征现象的相应物理量都保持各自固定的比例关系（向量方向相同），则称两个流场相似。相应物理量包括几何学、运动学、动力学和热力学参数。§5.1量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲和谐性原理量纲和谐性原理是量纲分析的基础。量纲和谐性原理的简单表述是：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这是被无数事实证实了的客观原理。推论：（1）凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无量纲项组成的无量纲方程。（2）量纲和谐性原理规定了一个物理过程中有关物理量之间的关系。

因次分析法就是通过对现象中物理量的因次以及因次之间相互联系的分析来研究现象相似性的方法。它是以方程式的因次和谐性为基础的。下面介绍在因次分析中十分重要的π定理。一、π定理某一物理现象，它涉及n个变量，其中有m个基本变量，则此n个变量间的关系ƒ（x1，x2，…，xn）=0，可用（n-m）个无量纲的π项关系式来表示，即

ƒ（π1，π2，…，πn-m）=0以上这个结论就是著名的π定理，也称布金汉定理。§5.2

量纲分析法二、使用π定理的具体步骤（i=1,2,...,

）3）排列n-m个π项，如该物理现象中的m=3，其基本变量为x1，x2，x3，作为重复变量，则各个π项的组成为：1）找出影响某物理现象的n个独立物理变量。2）从n个变量中选择m个基本变量，基本变量的条件为其量纲中包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这些变量所涉及的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相对速度等。

4）根据各个π项必须为无量纲量的条件，决定待定指数αi、βi、γi列出具体的π项。5）该物理现象可用（n-m）)个无量纲π项的函数关系来表示。6）必要时，可将各π项相互或自相乘除，尽量使各个π项为一般所熟悉的纯数，如雷诺数、马赫数等。7）根据实验，决定具体的函数关系式。【例题10-2】证明有压管流中的压强损失⊿p可表示为：解：根据实验，知道压强损失⊿p与管长，管径d，管壁粗糙度K，流体运动粘性系数，密度ρ和流速有关，于是有

在这7个量中，基本量纲数为3，因而可选择三个基本变量，不妨取管径d[d]=L平均流速[]=LT-1密度ρ[ρ]=ML-3用未知指数写出无量纲参数πi(i=1~4）。将各量的量纲代入，写出量纲公式对每一个写出量纲和谐方程组分别解得：故有根据π定理，得或于是，便得式中函数的具体形式由实验确定。由实验得知，压差与管长l成正比，即有瑞利法式中某一物理量qi可表示为其他物理量的指数乘积瑞利法的基本原理是某一物理过程同几个物理量有关写出量纲表达式：将上述量纲表达成：按量纲和谐性原理确定指数a、b、c、……p瑞利法写出指数乘积式例5-1求水泵输出功率的表达式写出量纲表达式：将上述量纲表达成：按量纲和谐性原理确定指数a、b、c瑞利法例5-1求水泵输出功率的表达式写出表达式：按量纲和谐性原理确定指数a、b、c解得：整理方程式：K由实验确定

几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相等，任意相应线段长度保持一定的比例。若以表示原型的特征长度，以表示模型的特征长度，以表示原型长度与模型长度的比值，称为长度比尺。即一、力学相似的基本概念力学相似是指两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之间互相平行（指向量物理量，如速度与力等），并且互相成一定的比例（指向量或标量物理量的数值，标量如长度与时间等）。1、几何相似§5.3相似性理论基础

原型与模型相应线段夹角必须相等，即

同理，相应体积之比，则为长度比尺的立方。显然，两相应面积之比，为长度比尺的平方

2、运动相似运动相似是指两流动的对应流线几何相似，或者说，对应点的流速大小成同一比例，方向相同。所以，速度比尺为有了速度比尺和长度比尺，可以根据简单的的关系得出时间比尺

3、动力相似

动力相似是指原型流动和模型流动中，要求同名力作用，且对应的同名力互成同一比例。即力的比尺为式中参数的右下标、P、G、I、E分别表示粘性力、压力、重力、惯性力和弹性力。这里所提的同名力，指的是具有同一物理性质的力。根据动力相似，应有一、相似准则

动力相似应包括所有外力动力相似，而实际上要做到这一点是不可能的。对于某个具体流动来说，虽然同时作用着各种不同性质的外力，但是它们对流体运动状态的影响并不是一样的，总有一种或两种外力居于支配地位，它们决定着流体运动状态。因此，在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。相似数准则一、相似准则怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？

设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条件，应有相似数1、欧拉相似准则

如果两个相似流动中起主导作用的力是压力，那么要在压力作用下使原型与模型流动动力相似,则

由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关系式分别写为和惯性力相联系的下列等式；；

假定在原型水流中所取的质点是边长为Ln的立方体，模型水流中所取的相应的质点是边长为Lm的立方体，则两水流质点所受压差作用分别为和。这里采用压差⊿p而不用压强，是因为压力是表面力，作用于质点的有效压力是质点两表面的压差而不是压力。

作用在两立方体上的惯性力分别为于是，可得和以符号表示比值，得

称为流动的欧拉数。故欧拉数表征压力（差）和惯性力的相对比值。原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以写为这就是压力相似准则，或称为欧拉相似准则。以符号Fr表示比值，则有

称为流动的弗诺德数。弗诺德数表征惯性力与重力的相对比值。2、弗诺德相似准则同理由重力相似，可以导出原型流动和模型流动的相似关系，可以写为

3、雷诺相似准则类似地，如果两个相似流动中起主导作用的是粘性力，则有以符号表示比值，即：显然，就是前面已经介绍的重要无量纲参数—雷诺数。雷诺数表征惯性力与黏性力之比。同样，原型流动与模型流动粘性力和惯性力的相似关系可以写为

即原型流动和模型流动的雷诺数相等。这就是粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。5、马赫相似准则在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出式中为当地音速。

这个速度的比值就是马赫数M。它表征惯性力与弹性力之比。由此可见，弹性力相似，就是原型流动和模型流动的马赫数相等，即

雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在长度和速度比尺之间要保持一定关系。由雷诺数模型律，有或或写成比尺关系的形式，即§5.4

模型实验

在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同的流体，此时，故有

或另一方面，根据弗诺德数相等，可导出

显然，对于同种、同温的流体，若要同时满足雷诺模型律和弗诺德模型律，则容易导出

这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去意义了。

即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺，使上述两模型律同时满足，则有

这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上这是很不容易实现的。因此，在模型律的应用时，通常的做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律相似就可以了。

【例题10-1】煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1:3的模型中用水来进行试验。已知煤油的比重为0.8