第十九讲机械波1-2-3

前言1.机械振动在空间的传播过程叫做机械波。2.常见的波有两大类:在微观领域中还有物质波（概率波），讨论微观粒子的波动性。3.各种波的本质不同,但其基本传播规律有许多相同之处。(1)机械波(机械振动的传播)(2)电磁波（交变电场、磁场的传播）第15章机械波1按波面形状平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按复杂程度简谐波（simpleharmonicwave）复波（compoundwave）按持续时间连续波（continuedwave）脉冲波（pulsatingwave）4.波的分类：2按波形是否传播行波（travellingwave）驻波（standingwave）…………3波动一定的扰动的传播（一定运动形态的传播过程）行波POyxxu扰动的传播（行走）行波一次扰动（脉冲）的传播脉冲波例：抖动绳子O点:P点:脉冲波波函数415.1弹性体弹性形变弹性体——若物体在外力的作用下发生形变，而外力撤消后又能恢复原来的大小和形状，则这种变形体就称为弹性体。15.1.1拉伸与压缩ΔS图15-1应力与应变ΔFtΔFΔFN正应力：切应力：5相对形变：（也称线应变），ε正负号分别对应于拉伸形变和压缩形变。胡克定律：实验表明在线形变限度内，正应力和线应变成正比，比例系数称为杨氏模量。其中分别对应均匀弹性杆的原长和变形后长度。615.1.2剪切应变与切变模量切应变γ15.1.3体应变与体积模量体积应变β微小形变时，此时，剪切形变可直接用β来表示。记作θ其中，比例系数实验表明：在线形变限度内，切应力与切应变成正比：71、机械波产生的条件1）波源2）弹性介质或者弹性媒质2、横波：纵波：共性：波动性15.2机械波的产生和传播89常用的概念：周期：波速：相速：波面：空间同相位点的集合波前球面波：平面波：波线：波的传播方向各向同性介质，波线与波面垂直(时间)频率：波长：空间频率：3.波的描述波数：1015.3一维平面简谐波的波函数-----波函数设一维平面简谐波以相速u沿x轴正向传播,t时刻波形如图O点的振动位移为P点的振动位移为(op=x)或u15.3.1表达式11定义角波数定义波矢例：“+”会聚球面波“-”发散球面波沿负方向传播的波的方程同一振动状态X处比0处超前t=x/u12波函数的物理意义1、当x一定时,例:x=x0=常数令常数----x0处简谐振动运动方程反映了振动的时间周期性t每增加T，y不变132、当t=t0=常数令t0时刻的波形

------t0时刻各点振动周相不同x每增加λ，y不变反映了波的空间周期性14当0=01）t0=03）2）------t=0时各质点的位移t0=T波形恢复原样而在一个T内波形向右移动了T这个物理量从时间上反映了波的周期性153、x,t都变表示波射线上不同质点在不同时刻的位移

----行波波函数不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。由看出t或x每增加T或λ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。16例：已知：图示为波源（x=0处）振动曲线且波速u=4m/s,方向沿x轴正向.求：t=3s时波形曲线（大致画出）解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123417例：沿x轴正向传播的平面简谐波，振幅为A=1.0m，周期T=2.0s，波长=2.0m。t=0时刻，坐标原点处的质点恰好从平衡位置向y轴正向运动，求:(1)

波函数；(2)

t=1.0s时刻的波形图；

(3)

x=0.5m处质点的振动曲线；解：(1)波函数(3)(2)x/my/mot=1.0sy/mot/s

x=0.5m18例：沿x轴正向传播的平面简谐波，波速u=20m/s，已知A点的振动方程为，(1)以A为坐标原点，写出波方程；(2)以B为原点写出波方程；(3)写出C、D点的振动方程解：(1)(2)B点与A点振动的相位差(3)原点振动方程波函数与坐标原点的选择无关19例2正向波在t=0时的波形图波速u=1200m/sA/2AA0yΦ0=π/3φM=-π/2t=0x=0t=0M处求：波函数和波长解：由图如何确定ωφ0?由初始条件：y0=A/2v0<0x(m)-0.10y(cm)0100.05t=0时uMΦ0=π/3如何确定ω?由M点状态yM=0vM>0ΦM=-π/220例.一平面简谐波沿着x轴正向传播，速度为u，已知t’时刻的波形曲线如图所示，x1处质元位移为0。试求：（1）原点O处质元的振动方程；（2）该简谐波的波函数。xyOx1-Au解：（1）由图可知t’时刻原点处质元振动的相位为-π/2，则有：则振动的初相为：所以振动方程可以写出：21（2）在x轴上任意选取一点P，坐标为x，如图所示。P点振动相位落后于原点O，其相位差为：根据原点处质元的振动方程，可以得到P点的振动方程，即波函数为：OPxx注：22(a)例平面简谐波以波速u=0.5m/s沿着x轴负方向传播。在t=2s时的波形如图（a）所示。求原点处质点的振动方程。分析：由图可得到的信息有振幅，波长，从而可以确定振动方程三要素中的两个。确定t=0时刻原点的振动初相位是关键。解：由图可知：振幅：波长：23所以，可以得到角频率ω：图（a）是t=2s时的波形曲线，波沿着x轴负向传播，所以可以采用波形移动法推知t=0s时的曲线，如图（b）。(b)Δx=ut由图可知，t=0时刻，原点处的质点正位于平衡位置，而且向y轴负向运动，所以，由旋转矢量法可知：24所以原点处质点的振动方程为：例一平面简谐波其波长为12m，沿x轴负向传播，如图所示的是x=1.0m处质点的振动曲线。求此波的波函数。分析：如何根据图中的信息写出x=1.0m处质点的振动方程是关键。如何确定三要素。解：由图可知：质点的振动振幅（1）A=0.4m。25（2）t=0时刻位于x=1.0m处的质点位移为A/2，并且向oy轴正向运动，由旋转矢量法，可知：（3）由图还可知，t=5.0s时，质点第一次回到平衡位置。t=0st=5sωt所以，可以得到：26由此可以写出x=1.0m处的质点的振动方程为：波长已知，由此可以得到波速为：波函数的一般形式为：当x=1.0m时，得到1.0m处质点的振动方程：27当x=1.0m时，得到1.0m处质点的振动方程：与刚求得的x=1.0m处质点的振动方程作比较，可得：所以，此波的波函数为：2815.3.2平面波波动方程求一阶偏导数得振动速度函数再求一次偏导数，得波函数对时间的二阶偏导数，即振动加速度函数由平面简谐波波函数波函数对位置x的一阶偏导数为：29该式是平面简谐波（或一维简谐波）的波动方程，而平面简谐波（或一维简谐波）的波函数是该方程的一个特解。而一维简谐行波函数对x的二阶偏导数为比较上两式得3015.4波动方程与波速取小质元ab=dx

体积为dV=sdx质量为dm=sdx设质元被拉伸形变：受弹性力利用胡克定律有：为应力：

或协强Y为杨氏模量受弹性力(应力与应变成正比）因此可以看出倔强系数31横波波速纵波波速G为剪切模量三维情况：式中称为

拉普拉斯算子Y为杨氏模量由波函数对比上式可得32建立弦微小振动的波动微分方程xyxx+dxF1F2对比得3315.5能流密度设在棒中传播的一维简谐波的表达式x处点质元的动能:弹性势能34弹性势能以绳波为例35能量密度平均能流平均能流密度

---波的强度36球面波波函数的简单推导：若各处的振动情况不随时间变化，介质无吸收，则由能量守恒定律，单位时间内通过不同波面的能量应相等。设面积为S1的波面处波的强度为I1，面积为S2的波面处波的强度为I2，则由能量守恒定律，即对于平面波，所以即平面波的振幅37对于球面波，则由能量守恒定律，即所以球面波的振幅与传播距离成反比，即则球面波波函数为波的吸收3815.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：（1）用来确定波的传播方向，能解释机械波的传播规律；（2）解释了光（电磁波）的反射、光的折射和光的衍射等现象。成功地说明了光在单轴晶体中的双折射现象；不足之处：它不能说明和确定衍射强度分布问题，后来由菲涅耳（A.J.Fresnel，1788-1827）加以补充完善而成为惠更斯-菲涅耳原理。39用惠更斯原理确定新的波阵面40波的反射波的折射41一、波的干涉相干波频率相同振动方向相同有恒定相位差s1s2pr1r2波源s1和s2振动方程P点振动方程15.7波的干涉驻波波的叠加原理（独立性原理）42式中相位加强减弱相位差43若初相位相同时，当当A最大A最小——波程差。表示在同一种介质中，两个波源到相干处的路程之差。4445二、驻波两列相干波，振幅相同，传播方向相反（初位相为0）叠加而成驻波振幅驻波方程46

称为

波节波腹位置1）当称为

波腹2）当讨论：1）相邻波腹（节）之间距离为/22）一波节两侧质元具有相反相位3）两相邻波节间质元具有相同相位4）驻波无能量传播当当波节位置47三、半波损失全波反射：

波从波疏媒质反射回来，则在反射处，反射波的振动相位与入射波的相位相同半波损失：波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射回来，在反射处发生了的相位突变48四、弦振动系统的简正模49例、等幅反向传播的两相干波，在x轴上传播，波长为8m，A、B两点相距20m，如图所示。若正向传播的波在A处为波峰时，反向传播的波在B处位相为-π/2。试求A、B之间因干涉而静止的各点的位置。AB20mOx解、如图所示，以A点为坐标原点，建立坐标系。设正向传播的波的波动方程为：则反向传播的波的波动方程为：另设t=0时，正向传播的波在A点为波峰，反向传播的波在B点的位相为-π/2，则有，当t=0，x=0时：50即：所以：当t=0，x=20m时，反向传播的位相为：所以：于是，正向传播的波的波动方程为：51反向传播的波的波动方程为：合成波的方程为：所以静止点的位置就是合成驻波的波节位置：即：解得：在AB=20m之间，则k的取值为：52例、A和B是两个相位相同的波源，相距d=0.10m，同时以30Hz的频率发出波动，波速为0.50m/s，P点位于与AB呈30度角，与A相距为4m处，如图所示，求两波通过P点的相位差。ABP30。解：该波的波长为：设A、B两个波源的相位分别为ΦA(t)，φB(t)。A波在P点的相位落后于A点，相位差为：因而此波在P点的相位为：同理，B波在P的相位为：53因此两波通过P点，在P点的相位差为：根据题意，两个波源的相位相同，所以则P点相位差为：其中所以，两波在P点的相位差为：54例、如图所示，地面上一波源S，与一高频率探测器D之间的距离为d，从S直接发出的波与从S发出经高度为H的水平层反射后的波，在D处加强。当水平层逐渐升高h距离时，在D处没有测到讯号，如果不考虑大气对波能量吸收，试求波源S发出波的波长λ。解：自S发出的波，经过高度为H的水平层反射后至D，全程设为d1，经高度为（H+h)的水平层至D，全程设为d2。直达波与经过高度为H的水平层反射的波在D处同相。由于在B，C处反射的情况是相同的，所以两次测量不会由于反射引起不同的效果，所以可以假设在B、C处反射时都有半波损失，根据题意：dhHSDBC直达波与经过高度为（H+h）的水平层反射的波在D处反相，则55由（1）、（2）式可以得到：由图中几何关系可以看出：另外：从（3）、（4）解出d1和d2，从而可以得到波长的表达式：5615.8多普勒效应vs：

以趋近于观察者为正

vR：

以趋近于波源为正假定波源和观测者相对于介质静止时，测得频率为1.波源静止，观察者相对介质运动单位时间通过观测者的完整波形：多普勒效应:57s观测者2、观测者静止,波源相对于介质运动s观测者583、波源观测者同时相对介质