第九章动荷载

第九章动载荷(Dynamicloading)教学目的与要求：掌握动荷载问题的基本知识和动荷系数的概念，能熟练地对作等加速运动的杆件、作等速旋转圆盘、冲击荷载引起杆件进行应力、应变和位移计算；掌握交变应力概念、表示方法，循环特征及疲劳破坏特征，了解在对称循环时材料的疲劳极限和构件的疲劳极限，掌握对称循环时材料的疲劳强度的计算。教学重点：三类动荷载概念；三类动荷载的应力分析和计算。交变应力有关概念；疲劳破坏特征；影响疲劳极限的重要因素。教学难点：对动静法和动荷系数的理解。在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相的理解和计算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。对称循环应力问题中，材料疲劳强度和构件疲劳强度的联系与区别。1、静荷载（Staticload）荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点加速度很小,可略去不计.§9-1概述（Instruction）2、动荷载（Dynamicload）荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大小、方向）,引起构件内各质点加速度较大.一、基本概念（Basicconcepts）二、动响应（Dynamicresponse）构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）,称为动响应（dynamicresponse）.三、动荷系数（Dynamicfactor）四、动荷载的分类（Classificationofdynamicload）1.惯性荷载（Inertiaforce）2.冲击荷载（Impactload）3.振动荷载（Vibrationproblem）4.交变应力（Alternatestress）动荷系数Kd

=

动响应静响应

实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立，且E静=E动.

达朗伯原理（D’Alembert’sPrinciple）:达朗伯原理认为处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理,这就是动静法（Methodofkinetostatic）.§9-2构件作变速运动时应力与变形的计算（Theapplicationformethodofdynamicequilibrium）

惯性力（Inertiaforce）:大小等于质点的质量m与加速度a的乘积,方向与a的方向相反,即FG=-ma

例题1一起重机绳索以加速度a

提升一重为P的物体,设绳索的横截面面积为A,绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为x处的m-m

截面上的应力.Paxmm一、直线运动构件的动应力（Dynamicstressofthebodyinthestraight-linemotion）PaxmmPrAg物体的惯性力为绳索每单位长度的惯性力rAa绳索的单位长度上的重力为

rAgPa/garAa物体的重力为P绳索中的动应力为st为静荷载下绳索中的静应力

强度条件为xmmxmm

当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比△d表示动变形

△st表示静变形

结论:只要将静载下的应力,变形,乘以动荷系数Kd即得动载下的应力与变形.xmm例题3

起重机钢丝绳长60m,名义直径2.8cm,有效横截面面积A=2.9cm2

,单位长度的重量q=25.5N/m,[]=300MPa,以a=2m/s2的加速度提起重50kN

的物体,试校核钢丝绳的强度.G(1+a/g)FNdlq(1+a/g)解：（1）受力分析如图（2）动应力例题4

一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的轴作等速转动.已知环的角速度为,环的横截面面积为A,材料的单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.rO二、转动构件的动应力（Dynamicstressoftherotatingmember）

因圆环很薄,可认为圆环上各点的向心加速度相同,等于圆环中线上各点的向心加速度.解：

因为环是等截面的,所以相同长度的任一段质量相等.rOrOqd

其上的惯性力集度（单位长度上的惯性力）为OqdyFddFNdFNd

其微段上的惯性力在y轴上的投影为圆环轴线上点的线速度强度条件

环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.FdoqdydFNdFNd例题5

重为G的球装在长l的转臂端部,以等角速度在光滑水平面上绕O点旋转,已知许用应力[s],求转臂的截面面积（不计转臂自重）（2）强度条件解:（1）受力分析如图

惯性力为wFGlO例题6汽轮机叶片在工作时通常要发生拉伸、扭转和弯曲的组合变形，本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形.设叶片可近似地简化为变截面直杆,且横截面面积沿轴线按线性规律变化.叶根的横截面面积A0为叶顶的横截面面积A1的两倍,即A0=2A1.令叶根和叶顶的半径分别为R0和R1.转速为,材料单位体积的质量为r.试求叶片根部的应力和总伸长.R0R1ldmmx叶根顶部转轴解:设距叶根为x的横截面

m-m

的面积为A(x)

在距叶根为

处取长为d

的微元,其质量应为R0R1ldmmx叶根顶部转轴在距叶根为处的向心加速度为dm

的惯性力应为R0R1ldmmx叶根顶部转轴m-m以上部分的惯性力为FNxdFxmmm-m截面上的轴力FNx等于FR0R1ldmmx叶根顶部转轴最大的惯性力发生在叶根截面上在叶根截面上的拉应力为式中为叶顶的线速度dFFNxxmmR0R1ldmmx叶根顶部转轴在距叶根为x处取dx一段其伸长应为叶片的总伸长为dPFNxxmmR0R1ldmmx叶根顶部

在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物（impactingbody）

阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物（impactedbody）

当运动着的物体碰撞到一静止的构件时,前者的运动将受阻而在短时间停止运动,这时构件就受到了冲击作用.

原理（Principle）:能量法

§9-3构件受冲击时的应力和变形（Stressanddeformationbyimpactloading)

冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加速度a很难测出,无法计算惯性力,故无法使用动静法.在实用计算中,一般采用能量法.即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算.机械能守恒定律

T,V是冲击物在冲击过程中所减少的动能和势能.

Vε是被冲击物所增加的应变能.一、自由落体冲击问题（Impactproblemaboutthefreefallingbody）假设

(Assumption)1.冲击物视为刚体,不考虑其变形（Theimpactingbodyisrigid）;2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计（Themassoftheimpacteddeformablebodyisnegligibleincomparisonwiththeimpactingmass）;3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动（Theimpactbodydonotrebound）;4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化（Theprocessofimpactislostintheimpact）.

重物P从高度为h处自由落下,冲击到弹簧顶面上,然后随弹簧一起向下运动.当重物P的速度逐渐降低到零时,弹簧的变形达到最大值Δd,与之相应的冲击载荷即为Fd.PhvhPhP其中所以Ph

根据能量守恒定律可知,冲击物所减少的动能T和势能V,应全部转换为弹簧的变形能,即为动荷因数其中水平冲击时的动荷系数计算QvL解：根据能量守恒：冲击过程中释放的动能等于杆件增加的变形能。而(a)(b)设：一重量为Q的重物以水平速度v撞在直杆上，若直杆的E、I、均为已知。试求杆内最大正应力。将(b)代入(a)式：解得：所以即水平冲击时的动荷系数为杆内最大动应力为例题7一重量为P的重物由高度为h的位置自由下落,与一块和直杆AB相连的平板发生冲击.杆的横截面面积为A,求杆的冲击应力.hlAPB重物是冲击物,杆AB（包括圆盘）是被冲击物.FdAB冲击物减少的势能动能无变化AB

增加的应变能根据能量守恒定理hlAPBFdAAAPBhlA称为自由落体冲击的动荷因数APBhlAAst为冲击物以静载方式作用在冲击点时,冲击点的静位移.（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即h=0

时

由此可见,突加载荷的动荷因数是2,这时所引起的荷应力和变形的2倍.讨论Ph（2）若已知冲击物自由落下，冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为v,则Ph（3）若已知冲击物自高度h处以初速度下落,则例题图中所示的两根受重物Q冲击的钢梁，其中一根是支承于刚性支座上，另外一根支于弹簧刚度系数k=100N/mm的弹性支座上。已知l=3m,h=0.05m,Q=1kN,I=3.4×107mm4,E=200GPa,比较两者的冲击应力。

刚性支承情况下的冲击应力:

弹性支承情况下的冲击应力:比较上述两种情况的结果可以知道，采用弹性支座，可以增加静位移，减少系统的刚度，降低动荷因数，从而减少冲击应力，这就是缓冲减振。§9–4交变应力及构件的疲劳强度计算(Alternatingstressandfatiguefailure)一、交变应力（Alternatingstress)

构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交变应力.AFtsＯ二、产生的原因(Reasons)例题1一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁产生交变应力.1.载荷做周期性变化（Loadchangesperiodicallywithtime）2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化（Thepointchangeshislocationperiodicallywithtimeunderanunchangeableload）静平衡位置ωttstmaxmin例题2火车轮轴上的力来自车箱.大小、方向基本不变.即弯矩基本不变.FF

横截面上A点到中性轴的距离却是随时间t

变化的.

假设轴以匀角速度

转动.tzA

A点的弯曲正应力为随时间t

按正弦曲线变化t12341O三、疲劳破坏（Fatiguefailure）

材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏（fatiguefailure）（1）交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值,有时甚至低于材料的屈服极限.

（2）无论是脆性还是塑性材料,交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形.（4）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分.1.疲劳破坏的特点（Characteristicsofthefatiguefailure）

（3）材料发生破坏前,应力随时间变化经过多次重复,其循环次数与应力的大小有关.应力愈大,循环次数愈少（如手折断铁丝）.裂纹源光滑区粗糙区2.疲劳过程一般分三个阶段（Thethreephasesoffatigueprocess）（1）裂纹萌生在构件外形突变或材料内部缺陷等部位,都可能产生应力集中引起微观裂纹.分散的微观裂纹经过集结沟通,将形成宏观裂纹.（2）裂纹扩展已形成的宏观裂纹在交变应力下逐渐扩展.（3）构件断裂裂纹的扩展使构件截面逐渐削弱,削弱到一定极限时,构件便突然断裂.

因疲劳破坏是在没有明显征兆的情况下突然发生的,极易造成严重事故.据统计,机械零件,尤其是高速运转的构件的破坏,大部分属于疲劳破坏.一个应力循环Ⅰ、基本参数（Basicparameters）

应力每重复变化一次,称为一个应力循环（stresscycle）Ot在拉,压或弯曲交变应力下在扭转交变应力下maxmin

最小应力和最大应力的比值称为循环特征（cyclesymbol）.用r表示.1.应力循环(Stresscycle)2.循环特征（Cyclesymbol）四、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力(Thecyclesymbol,stressamplitudeandmeanstressforalternatingstress)下图为交变应力下具有代表性的正应力—时间曲线.3.应力幅（Stressamplitude）O一个应力循环tmaxminaa4.平均应力（Meanstress)

最大应力和最小应力代数和的一半,称为交变应力的平均应力（meanstress）.用sm表示.

最大应力和最小应力的差值的的二分之一,称为交变应力的应力幅（stressamplitude）用sa

表示Ⅱ、交变应力的分类

（Theclassificationofalternatingstress）1.对称循环（Symmetricalreversedcycle）

在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号.Omaxmint

min=-max或min=-max

r=-1时的交变应力,称为对称循环（symmetricalreversedcycle）交变应力.（1）若非对称循环交变应力中的最小应力等于零（

min=0）

r=0的交变应力,称为脉动循环（fluctuatingcycle）交变应力

时的交变应力,称为非对称循环

（unsymmetricalreversedcycle）交变应力.Omaxmin=0t2.非对称循环（Unsymmetricalreversedcycle）（2）r>0为同号应力循环;r<0为异号应力循环.（3）构件在静应力下,各点处的应力保持恒定，即max=min.

若将静应力视作交变应力的一种特例,则其循环特征tOtOtO例题3发动机连杆大头螺钉工作时最大拉力Fmax=58.3kN,最小拉力Fmin=55.8kN,螺纹内径为d=11.5mm,试求a

,m

和

r.解:五、持久极限(EnduranceLimit)

Ⅰ、材料持久极限（疲劳极限）（Endurancelimitorfatiguelimitofamaterials）

Ⅱ、S－N曲线（应力-寿命曲线）（S—NcurveorStress-lifecurve）

通过测定一组（10根左右）承受不同最大应力光滑小试样的疲劳寿命,以最大应力max

为纵坐标,疲劳寿命N为横坐标,即可绘出材料在交变应力下的应力—疲劳寿命曲线,即S-N曲线.

循环应力只要不超过某个“最大限度”,构件就可以经历无数次循环而不发生疲劳破坏,这个限度值称为持久极限或"疲劳极限",用r

表示.

交变应力的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异,故表征材料抵抗交变应力破坏能力的强度指标也不同.

当最大应力降低至某一值后,S-N

曲线趋一水平,表示材料可经历无限次应力循环而不发生破坏,相应的最大应力值max称为材料的疲劳极限或持久极限.用r

表示.-1max，1N11max，2N22NmaxⅢ、测定方法(Testmeasures)

将材料加工成最小直径为7～10mm,表面磨光的试件,每组试验包括6

～10根试件.在纯弯曲变形下,测定对称循环的持久极限技术上较简单.

对于铝合金等有色金属,S-N曲线通常没有明显的水平部分,通常规定一个循环基数，一般规定疲劳寿命N0=108时的最大应力值为“条件”疲劳极限

.FFFFaa第二根试件第一根试件N1N2略小于-1max，1max，2N1N212Nmaxr表示循环特征如-1表示对称循环材料的疲劳极限.Fa六、影响构件持久极限的因素(Theeffectivefactorsofendurancelimit)

Ⅰ、构件外形的影响（Theeffectofmemberfigure）

若构件上有螺纹、键槽、轴肩等,其持久极限要比同样尺寸的光滑试件有所降低.其影响程度用有效应力集中系数表示.和都大于1若以（σ-1）d表示无应力集中光滑试件的持久极限，以（σ-1）k表示有应力集中光滑试件的持久极限，则

从下表可以看出：1.静载抗拉强度越高，有效应力集中系素越大，即对应力集中越敏感。2.对于给定的直径，倒角越小，有效应力集中系素越大，因而其持久极限的降低显著。1.001.201.401.601.802.002.202.402.600.020.040.060.040.160.180MMRdD（a）6007008009001.201.401.601.802.002.202.402.602.80（b）3.003.200.020.040.060.040.160.180MMRdD600700900800（c）MMRdD0.020.040.060.040.160.1808009007006001.201.401.601.802.002.202.402.602.803.003.203.40RdD8000.020.040.060.040.160.1801.201.401.601.802.002.202.401.00（d）900（e）0.020.040.060.040.160.180RdD1.201.401.601.802.002.202.401.002.602.80800900Ⅱ、构件尺寸的影响(Theeffectofmembersides)光滑大试件的持久极限光滑小试件的持久极限大试件的持久极限比小试件的持久极限要低。这是因为大试样处于高应力状态的晶粒要比小试样多，所以形成裂纹的机会就多。

尺寸对持久极限的影响程度,用尺寸系数表示高应力区σ尺寸系数是一个小于1的数值。

右边表格给出了在弯,扭的对称应力循环时的尺寸系数.

直径d(mm)碳钢合金钢

各种钢

>20～30

0.91

0.83

0.89

>30～40

0.88

0.77

0.81

>40～50

0.84

0.73

0.78

>50～60

0.81

0.70

0.76

>60～70

0.78

0.68

0.74

>70～80

0.75

0.66

0.73

>80～100

0.73

0.64

0.72

>100～120

0.70

0.62

0.70

>120～150

0.68

0.60

0.68

>150～500

0.60

0.54

0.60

表11-1尺寸系数Ⅲ、构件表面质量的影响（Theeffectofmembersurfacestate）

若构件表面经过淬火,氮化,渗碳等强化处理,其持久极限也就得到提高.

表面质量对持久极限的影响用表面状态系数β表示其他加工情况的构件的持久极限表面磨光的试件的持久极限实际构件表面的加工质量对持久极限也有影响,这是因为不同的加工精度在表面上造成的刀痕将呈现不同程度的应力集中综合考虑上述三种影响因素,构件在对称循环下的持久极限b为表面状态系数为有效应力集中系数为尺寸系数为表面磨光的光滑小试件的持久极限

如果循环应力为切应力,将上述公式中的正应力换为切应力即可.

对称循环下,r=-1.上述各系数均可查表而得.

七、对称循环下构件的疲劳强度计算(Calculationofthefatiguestrengthofthememberundersymmetriccycles)

Ⅰ、对称循环的疲劳许用应力（Thepermissiblestressoffatigueundersymmetriccycles）Ⅱ、对称循环的疲劳强度条件（Thestrengthconditionoffatigueundersymmetriccycles）同理nσ为工作安全系数例题4阶梯轴如图,材料为铬镍合金钢,b=920MPa,–1=420MPa,–1=250MPa,分别求出弯曲和扭转时的有效应力集中系数和尺寸系数.解:（1）弯曲时的有效应力集中系数和尺寸系数由图表查有效应力集中系数:f50f40r=5由表查尺寸系数当

时,

当

时,

当

时,

（2）扭转时的有效应力集中因数和尺寸因数

由图表查有效应力集中因数当

时,

当

时,

应用直线插值法得当时,

由表查尺寸因数

例题5旋转碳钢轴上,作用一不变的力偶M=0.8kN·m,轴表面经过精车,b=600MPa,–1=250MPa,规定n=1.9,试校核轴的强度.解:（1）确定危险点应力及循环特征MMf50f40r=5为对称循环（3）强度校核（2）查图表求各影响因数,计算构件持久限.

求K

求

查图得

求

表面精车:=0.93所以安全

查图得八、不对称循环下构件的疲劳强度计算