第10章第10课时正态分布

第十章计数原理和概率第10课时正态分布1．了解正态分布在实际生活中的意义和作用．2．了解正态分布的定义，正态曲线的特征，会求服从正态分布的随机变量的概率．3．记住正态总体在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)上取值的概率，并能在一些简单的实际问题中应用该原则．请注意正态分布的考查为客观题，考查正态分布曲线的特点，3σ原则，难度不大．1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义．(2)正态曲线的特点．①曲线位于x轴

与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线

对称；④曲线与x轴之间的面积为

；⑤当σ一定时，曲线随着

的变化而沿着x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ

，曲线越“高瘦”，σ

，曲线越“矮胖”．上方x＝μx＝μ

1μ越小越大2．正态分布(1)正态分布的定义及表示．若对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝

，则称X的分布为正态分布，记作

．X～N(μ，σ2)(2)正态分布的三个常用数据．①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝

；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝

；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝

.0.68260.95440.99741．(课本习题改编)把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(

)A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2答案C解析只改变均值，不改变方差，所以选C.答案A解析∵f(x)图像的对称轴为x＝μ，∴由图像知选项A适合．3．(2015·皖南十校联考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(

)A．0.6

B．0.4C．0.3 D．0.2答案C解析由P(ξ<4)＝0.8知P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.4．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(

)A．10% B．20%C．30% D．40%答案D5．(2015·邯郸一中期末)某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．题型一正态分布的性质探究1解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．思考题1A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3

，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3【答案】

D

例2

(1)(2014·广州调研)已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5<x<6)等于(

)A．0.1358

B．0.1359C．0.2716 D．0.2718题型二服从正态分布的概率计算【答案】

B

(2)设X～N(5,1)，求P(6<X<7)．【解析】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4<X<6)＝0.6826，P(3<X<7)＝0.9544，∴P(3<X<4)＋P(6<X<7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得P(3<X<4)＝P(6<X<7)．【答案】

0.1359

探究2关于正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (1)(2015·湖北八校联考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.954 B．0.977C．0.488 D．0.477【解析】由随机变量X服从正态分布N(0，σ2)可知正态密度曲线关于y轴对称，而P(X>2)＝0.023，则P(X<－2)＝0.023，故P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝0.954.【答案】

A思考题2(2)设X～N(1,22)，试求：①P(－1<X≤3)；②P(3<X≤5)；③P(X≥5)．【解析】

∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.①P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.【答案】①0.6826②0.1359③0.0228例3

(2014·新课标全国Ⅰ理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：题型三正态分布的应用(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.探究3正态分布的特点可结合图像记忆，并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图像，特别地，当μ＝0时，图像关于y轴对称．

设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．【思路】要求及格的人数，即求出P(90≤X≤150)，而求出概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．思考题3【答案】及格45人，130分以上9人3．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.4．在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)与已知概率值进行联系求解．1．(2015·湖南长沙模拟)设随机变量X～N(2,32)，若P(X<c)＝P(X>c)，则c等于(

)A．0

B．1C．2 D．3答案C解析由正态分布的性质及图像关于x＝μ对称可知c＝2.2．(2015·山东文登统考)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，则“P(－2≤ξ≤2)＝0.9”是“P(ξ>2)>0.04”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A答案C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.4．灯泡厂生产的白炽灯寿命为X(单位：h)，已知X～N(1000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.74%，问灯泡的最低使用寿命应控制在________h以上．答案910解析因为灯泡寿命X～N(1000,302)，故X在(1000－3×30,1000