第2章远期和期货定价和估值

金融工程学张玉新第二章

远期和期货的定价和估值主要内容： 讨论远期价格和期货价格与其标的资产价格之间的相互关系。（1）分别对无收益的投资资产、提供已知现金收益的投资资产、提供已知红利收益率的投资资产的远期合约给出定价公式（2）利用得出的公式对股票指数期货、外汇期货和黄金白银的期货合约进行理论定价说明：因为当同一资产的远期和期货两种合约的到期日相同时，该资产的远期价格和期货价格是非常近似的，所以本章将以分析相对容易一些的远期合约为研究对象，得到的结论也适用于期货价格。2. 本章将明确区分两类资产：一是投资者仅为了进行投资而持有的资产；二是为了进行消费而持有的资产。复习连续复利假设数额A以年利率R投资了n年。

如果利率按每一年计一次复利计算（年复利），则以上投资的终值为：如果每年计m次利息，则终值为：复习连续复利当m趋于无穷大时，则称为连续复利（continuouscompounding）终值为：

通常认为连续复利与每天计复利等价连续复利与年计m次复利的转换解得：复习远期合约远期合约是一个在确定的将来时刻按确定的价格购买或出售某项资产的协议。远期合约中购买标的资产的一方称为多头，出售标的资产的一方称为空头。交割价格（deliveryprice）

远期合约中指定的价格称为交割价格

交割价格的选择在远期合约签署的时候，所选择的交割价格应该使得远期合约的价值对双方都为0

远期价格（forwardprice）某个远期合约的远期价格就是期初设定的交割价格远期价格是使得期初该合约价值为零的交割价格远期价格是有时间属性的，我们只能说某一远期合约在特定时间的远期价格远期价格随时间变化某一时刻t

的远期价格等于，t

时刻新签约合约的交割价格任意时刻远期合约的价值当前的远期价格和期初的远期价格的差，即是当前远期合约的价值。远期合约远期合约对冲的主要作用是锁定价格（lockaprice）远期合约的重要性质期初没有现金流发生Nomoneychangeshandsatthestart远期合约的交割和结算两种方式交割现金结算注意事项履约方式并不是在到期日才选择的，而是在期初就确定了的。当交割很困难的情况下，大多选择现金结算。违约风险远期合约的结构决定了只有应付额较大的一方才可能违约远期合约的种类按照标的资产的不同来区分远期合约证券远期（equityforward）单个股票的远期合约股票组合的远期合约股票指数远期合约

债券和利率远期（固定收益证券的远期）实物远期红利的影响远期合约不对股票的红利给与补偿区分定价（pricing）和估值（valuation）

估值（valuation）价值（value）是购买或出售远期合约所获得的收益远期合约的价值大致等于，远期价格与交割价格的差值定价（pricing）远期合约的价格是合约预先确定的、在到期日的价格或汇率一般称为远期价格（forwardprice）或者远期汇率（forwardrate）定价就是要确定这种价格或者汇率确定期初的交割价格定价方法本章将利用无套利方法进行定价基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值也一定相等，不然的话，就存在套利机会假设条件

无交易费用；所有的交易净利润使用同一税率；市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。再回购利率期货和远期市场中所使用的无风险利率再回购利率（reporate）再回购协议（repoorrepurchaseagreement）证券的出售方承诺在规定的未来时刻按照规定的价格重新购回该证券相当于债券的购买者向出售者提供了短期贷款根据贷款的利息成本、出售价格和回购期，可以计算出隐含利率，这种隐含利率称作再回购利率（reporate）利用再回购协议融资的优势是利率比银行借款低符号说明T：远期和期货合约到期的时刻，单位为年S：标的资产的即期价格K：远期合约中的交割价格f：当前远期合约多头的价值F：当前时刻远期合约和期货合约中标的资产 的远期价格和期货价格，分别简称为远 期价格和期货价格r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连 续复利计算的无风险利率。远期价格F完全不同于远期合约的价值f

任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价格（相当于重新签订新的远期合约）合约开始生效时，F=K且f=0

随着时间的变化，f和F都在变化第一节远期和期货定价一、不支付收益的投资资产的远期价格最容易定价的远期合约是基于不支付收益的投资资产的远期合约不支付红利的股票和贴现债券（无息票利息的债券）就是诸如此类的投资资产例1考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3个月后到期。假设现在股价为40元，3个月期无风险利率为年利率5%。如何确定这份远期合约现在的价格？极端情况下的套利策略假定远期价格偏高为43元，套利者可以以5%的无风险利率借入40元，买一只股票，并在远期市场上作空头

用来归还贷款的总数额为

40e0.05×3/12=40.50收益：43－40.5=2.50表3-1表3-1

当不付红利股票的远期价格太高时的套利机会市场情况3个月后交割的股票远期价格为43元，3个月期无风险利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。套利机会远期价格相对于当前股价偏高，套利者可以1、借40元即期购买股票2、持有3个月后卖出股票的远期合约（空头）3个月后，套利者交割股票收到43元，偿还贷款所需40e0.05×3/12=40.50元。所以套利者在3个月后的盈利为43元－40.5元=2.50元极端情况下的套利策略假定远期价格偏低为39元。套利者可以卖空股票，将所得收入购买3个月期的远期合约卖空股票3个月后所得收益为：3个月末，套利者支付39元（远期价格），交割远期合约规定的股票，再将其送到股票市场平仓净收益为：40.5元－39.00元=1.50元表3-2不付红利股票的远期价格太低时的套利机会市场情况期限为3个月的股票远期合约的远期价格为39元，3个月期无风险利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。套利机会远期价格相对于当前股价偏低，套利者可以1、即期卖空股票，将收益作3个月期的无风险投资2、持有3个月期远期合约的多头收益3个月后，卖空股票所得的收益增加到元。套利者根据远期合约条款以39元买入股票，用来在股票市场上平仓。所以，3个月后套利者的净盈利为40.5元－39元=1.50元推论表3-1策略只有当远期价格高于40.5元时才会赢利表3-2策略只有在远期价格低于40.5元时才会盈利在无套利的前提下，价格一定是精确的40.50元一般结论我们考虑一个不支付收益的投资资产的远期合约，资产即期价格为

S

T是远期合约到期的时刻r

是以连续复利计算的无风险年利率F是远期价格套利策略即期买入1单位资产卖出一张远期合约

现金流分析远期合约开仓时价值为0，所以该策略的起始成本为S

远期合约规定的标的资产在时刻T以远期价格成交，资产提供的收益为0（无红利）投资者当前付出了S，在未来T时刻得到无风险收益F

F必须等于如果将S进行无风险投资而得到的收益远期合约定价的一般性方法分析的目的确定远期价格：远期合约的价值：分析过程期初的现金流选择远期合约定价公式二、支付已知现金收益的投资资产的远期价格远期合约的标的资产将为持有者提供可完全预测的现金收益例如支付已知红利的股票和支付息票的债券远期合约不对股票的红利给予补偿例2考虑购买一份付息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元。假定远期合约期限为一年，债券在5年后到期，该远期合约实际上是相当于一份一年之后购买4年期债券的合约。我们假设6个月和12个月后，债券会支付40元的利息其中第二次付息日恰好是远期合约交割日的前一天。6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别是9%和10%。套利策略首先假设当前远期价格偏高，例如为930元。一个套利者可以借900元，购买债券，卖空远期合约。现金流分析首次付息的现值为40e-0.09×0.5=38.24元。在900元中，有38.24元可以以9%的年利率借入6个月，在第一次付息日偿还。剩下的861.76元以10%的年利率借入1年，年底所支付的本息和为861.76e0.1×1=952.39元第二次付息可收到40元以远期合约规定价格卖出债券可获得930元净盈利为：40元+930元－952.39元=17.61元表3-3附息票债券的远期价格偏高时的套利机会市场情况一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930元。债券的即期价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。套利机会远期价格相对偏高，套利者可以：1、即期借900元，买一份债券2、卖空一份债券的远期合约表3-3附息票债券的远期价格偏高时的套利机会收益分析在即期所借得的900元中，其中40e-0.09×0.5=38.24元以9%的年利率借入6个月，另外861.76元以10%的年利率借入1年。首次利息支付所收到的40元利息正好用来偿还6个月期38.24元贷款的本金和利息。一年之后，收到了第二次付息的40元，根据远期合约条款卖出债券收到930元。861.76元的贷款到期共需偿还本金和利息861.76e0.1×1=952.39元。该策略的净盈利为：40元+930元-952.39元=17.61元表3-4附息票债券的远期价格偏低时的套利机会

市场情况1年后交割的附息票债券远期合约的价格为905元。债券的即期价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。套利机会远期价格相对偏低，套利者可以：1、卖出一份债券。(卖空债券需要承担支付利息的义务)2、签署一年后购买一份债券的远期合约。表3-4附息票债券的远期价格偏低时的套利机会现金流分析卖出债券得到900元，其中38.24元做6个月无风险投资，861.76元做一年期无风险投资。此策略在6个月和12个月后分别产生40元和952.39远的现金流入。前面的40元用来支付6个月后的债券利息；后面952.39元中的40元用来支付1年后的债券利息，905元用来根据远期合约条款购回债券。即期出售债权而远期将该债券购回的策略所产生的净收益为：952.39元－40元－905.00元=7.39元推论表3-3中的策略表明，当F>912.39元时，投资者会产生净收益。表3-4种的策略表明，当F<912.39元时，投资者会产生净收益。只有当远期价格等于912.39元时，才不存在套利机会一般结论考虑一个投资资产的远期合约，该投资资产给出的收入现值为I（收益）。投资者可采取如下策略：1、即期买入该项资产2、持有远期合约空头现金流分析开仓时，远期合约价值为0，所以该策略的即期成本是资产的即期价格S。投资者在即期得到现值为I的资产，T时期得到等于远期价格为F的收益。初始现金流出等于T期的现金流入：与持有标的资产相比，持有远期合约无法从红利的支付中获益例子考虑一个股价为50元的股票的10个月期远期合约。我们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年利率8%。同时我们假设在3个月、6个月以及9个月后都会有每股0.75元的红利付出。问远期合约的价格是多少

计算首先计算红利的现值远期价格三、支付已知红利率投资资产的远期合约货币和股票指数是提供已知红利收益率的投资资产已知的红利收益率意味着表示为资产价格百分比的收益是已知的我们假设红利收益率按照年率q连续支付投资者的套利策略即期买入价值为Se–qT，且收益还可以再投资的资产卖空远期合约现金流分析此项资产以比率q

增长，在T时刻资产价格为Se–qT×eqT，恰好等于S

单位资产在时间T

以F的价格卖出该资产初始现金流出为Se-qT

T期现金流入为F

流入和流出的现值应该相等Se-qT=Fe-rT

F=Se(r-q)T

例子考虑一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率为4%的连续红利收益率。无风险利率（连续复利）为每年10%。股价为25元。此时，S=25，r=0.10，T=0.5，q=0.04。F=25e(0.10-0.04)×0.5=25.76元4、远期合约的价值远期合约价值：

f=(F－K)e-rT

其中K为最初议定的交割价格，F是当前的远期价格

推导过程将交割价格为F

的远期合约多头与交割价格为K的远期合约多头进行对比分析两者唯一的差别就是T期购买标的资产所付出的金额不同第一份合约为F

第二份合约为K

T时期（F－K）的现金流出之差的现值为（F－K）e-rT

推导过程交割价格为F

的合约价值和交割价格为K

的合约价值的关系：交割价格为F的合约价值等于交割价格为K

的合约价值减去（F－K）e-rT

交割价格为F

的合约价值等于零f-（F－K）e-rT=0交割价格为K的合约价值就等于

（F－K）e-rT

远期合约的估值远期合约估值公式两个公式的比较远期合约估值公式（1）远期合约估值公式（2）例题当一种不支付红利股票价格为40元时，签订一份一年期的基于该股票的远期合约，无风险年利率为10%（连续复利计息）（1）远期价格为多少？远期合约的初始价值为多少？（2）假定6个月后，股票价格为45元，无风险利率仍为10%。远期价格为多少？远期合约价值为多少？解答（1）（2）衍生公式不支付收益的投资资产的远期合约价值

f=S－Ke-rT

（F=SerT）

已知收益的现值为I的投资资产远期合约的价值f=S－I－Ke-rT

得到已知红利率为q的投资资产远期合约的价值f=Se-qT－Ke-rT

5、远期价格和期货价格的关系当无风险利率恒定时，且对所有到期日都不变时，两个交割日相同的远期合约和期货合约有着相同的价格利率变化无法预测时

但当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格从理论上讲就不一样了

结算方式不同举例说明标的资产价格S与利率高度正相关当S上升时，一个持有期货多头头寸的投资者会因每日结算而立即获利由于S的上涨几乎与利率的上涨同时出现，获得的利润可以以高于平均利率水平的利率进行投资当S下跌时，投资者立即亏损。但亏损可以以低于平均利率水平的利率融资结论当S与利率正相关性很强时，期货价格要比远期价格高当S与利率的负相关性很强时，远期价格比期货价格高远期合约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是可以忽略不计的6、股票指数的期货价格大多数的股票指数可以看成是支付红利的投资资产投资资产就是用来计算指数的股票组合投资资产所支付的红利就是该组合的持有人收到的红利股票指数的期货价格F=Se(r-q)T

q为红利收益率对红利收益率的说明q值应该代表合约有效期内的平均红利年收益率用来估计q

的红利应是那些除息日在期货合约有效期之内的股票的红利也可以估计指数中股票组合将要收到的红利金额总数及其时间分布

这时股票指数可以被看成是提供已知收入的投资资产例子假设无风险年利率为9%（连续复利计息），某股票指数的红利支付率在年内经常发生变化。在2月份、5月份及11月份红利年支付率为5%，其他年份红利年支付率为2%。假设1997年7月31日的指数价值为300。那么1997年12月31日交割的期货合约的期货价格为多少？答：计算平均年红利支付率：（2%*4+5%）/5=2.6%指数套利（indexarbitrage）F>Se(r-q)T

情况购买指数中的成分股票，卖空指数期货合约指数套利操作则通常由拥有短期资金的投资公司来进行F<Se(r-q)T

情况卖空指数中的成分股票，买进指数期货合约指数套利通常由拥有指数成分股票组合的养老基金来进行7、货币的远期和期货价格变量S代表以本币表示的一单位外汇的即期价格外汇的持有人能获得货币发行国的无风险利率的收益我们设r

f为外汇的无风险利率，连续计复利

套利策略购买单位的即期外汇卖空1单位外汇的一个远期合约现金流分析：期初现金流出为期末现金流入为F

流入和流出的现值相等说明货币的远期定价公式实际上也是国际金融中的利率平价关系外汇与支付已知红利收益率的投资资产是一样的外汇的无风险收益率也可看作是“红利收益率”

可以用代替q外汇汇率与本国汇率的关系外汇的利率大于本国利率时F始终小于S

随着合约到期日T的增加，F值减小当外汇的利率小于本国利率时F始终大于S

8、商品期货为投资目的而持有的商品得出准确的期货价格为消费目的所持有的商品只能给出期货价格的上限投资资产（黄金和白银）

S

是黄金或白银当前的现货价格黄金和白银类不提供收益如果不考虑存储成本如果考虑存储成本（设U为期货合约有效期间所有存储成本的现值）,存储成本可看作负收益

投资资产（黄金和白银）若任何时刻的存储成本与商品价格呈一定比例，存储成本可看作是负的红利收益率

假定u是每年的存储成本与现货价格的比例

例子考虑黄金的一年期货合约。假设黄金的存储成本是每年每盎司2美元，在年底支付。假设现价为450美元，无风险利率始终是每年7%。r=0.07，S=450，T=1

8.2 消费资产持有的主要目的不是为了投资的商品如石油、铜等推导假定前推导的定价公式不成立有以下两种情形第一种情形的套利策略套利策略：以无风险利率借金额为S+U

的资金，用来购买一单位的商品和支付存储成本卖出一单位商品的期货合约时刻T时获利：结论：不成立第二种情形的套利策略如果投资者持有的目的仅仅是为了投资套利策略：卖出商品，节约存储成本，以无风险利率将所得收入进行投资购买期货合约到期日的无风险利润：结论：不成立第二种情形的套利策略对于持有目的主要不是投资的商品个人或公司保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货合约不能消费

可以长期存在

不可以长期存在便利收益：持有商品比持有期货具有的好处从暂时的当地商品短缺中获利或者具有维持生产线运行的能力便利收益y

满足便利收益（convenienceyield）便利收益的意义消费性商品的价格上限是便利收益简单地衡量了不等式左边小于右边的程度便利收益反映了市场对未来商品可获得性的预期持有成本（costofcarry）描述总结了期货价格与现货价格之间的关系定义：包括存储成本加上融资购买资产所支付的利息，再减去该资产的收益用c

来表示持有成本投资性资产的持有成本不支付收益的投资资产：c=r股票指数：c=r–q货币资产：c=r-rf投资性商品：c=r+u持有成本投资性资产消费性资产交割选择远期合约正式规定交割的具体的特定日期期货合约允许空头方选择在一个特定的时间段里的任何一天进行交割期货合约的到期日应是交割期的开始，中间还是末尾呢？交割选择根据消费性资产期货定价公式c>y，期货价格为到期时间的增函数由持有资产所获得的好处（包括便利收益和净存储成本）小于无风险利率空头方越早交割越有利，因为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处期货价格的计算应以交割发生在交割期的开始时刻为基准风险和收益一项投资的风险越高，投资者要求的期望收益将越高系统风险和非系统风险非系统风险可以通过持有高度分散化的组合来消除投资者承担非系统风险不应要求更高的收益投资者承担系统风险系统风险不能通过分散化消除由特定资产的投资收益与股票市场整体收益的相关性决定若承担的系统风险为正值，投资者通常要求高于无风险利率的收益若承担的系统风险为负值，投资者也会接受低于无风险利率的收益期货头寸的风险考虑一个做期货多头的投机者他希望在到期日时资产的现货价格能高于期货价格套利策略：将期货价格的现值在当前时刻以无风险利率投资；同时买入期货合约无风险投资的所得将在交割日用来购买资产，然后立即以市场价格将该资产卖掉现金流分析时刻0：时刻T：系统性风险和收益K值取决于投资的系统风险若ST

与股票市场整体不相关

投资的系统风险为0，只能获得无风险收益率k=r

，可知F=E(ST)

若ST与股票市场整体水平正相关

该投资的系统风险为正k>r，可知F<E(ST)

若ST与股票市场整体水平负相关该投资的系统风险为负k<r，可知F>E(ST)

F=E(ST)

长期持有期货合约多头头寸的平均利润应为0F<E(ST)

系统风险为正值由于在合约到期时，期货价格和现货价格应该相等期货价格应该上涨期货合约多头头寸将会带来正的利润F>E(ST)

交易者长期持有期货合约空头头寸将带来正的利润投资的现值为：k为与此项投资相对应的贴现率E代表期望值证券市场上所有的投资机会的净现值均为0：期货价格和预期未来现货价格之间的关系

取决于现货价格与股票市场总体水平是正相关还是负相关正相关的关系将使得期货价格低于预期未来现货价格负相关将使得期货价格高于预期未来现货价格当相关性为0时，理论上的期货价格等于预测的未来现货价格合约方程原始工具与有关的合成工具之间的等价关系外汇远期实例外汇远期的例子在t0

时刻购买一份外汇远期，远期合约规定在到期时刻t1

，可以按照价格F购买美元实务角度分析的角度合成步骤画出现金流图现金流的分解

复制技术的关键根据已知条件来加上或减去新的现金流，使其成为市场中可交易的金融工具

确保在合并现金流之后，新加入的现金流能被抵消掉，能还原为原来的现金流获得本币贷款将美元存入银行利用人民币买入美元现货合成过程外汇远期合约的合成过程如下：获得本币贷款利用人民币买入美元现货将美元存入银行这一组合的现金流与外汇远期完全一致，所以是对外汇远期的复制。合约方程外汇远期用人民币购买美元=贷款期初借入人民币现汇交易即期买入美元++存款期初存入美元案例1：合成贷款随着北海道Takushoku银行的倒闭，上周出现了“日本溢价”，即日本银行在欧洲美元市场融资的附加成本突然增加。在美元贷款市场，据说日本银行现在对美元贷款相对要多支付大约40个基点，而一周前还不到30个基点。面对较高的美元融资成本，日本银行试图寻找一种