第2章数制和编码

本章主要问题：

掌握二、十、八、十六进制数及相互转换；掌握二进制数的原码、反码和补码表示及其加减运算；补码加减运算中溢出的判断方法？引用补码的意义？掌握常用的几种编码。参考书目：《编码的奥秘》机械工业出版社第2章数制与编码2/2/20231习题

1、自学本章未讲授的部分。2、思考反码运算时的循环进位问题。3、完成练习11,12,20,22,24,46。（3E）4、小论文:进位记数制。第2章数制与编码（续）2/2/20232

进位计数制2.1进位计数制十进制数的表示位置计数法--不同位置的数码其大小不同例：223.34读作：二百二十三点三四按权展开式例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2

基与基数--用来表示数的数码的集合称为基，集合的大小称为基数。权--在十进制数中，10的整幂次方(0,1,10,100,1000,,,)称为十进制数的权。二进制数的表示对于任意一个二进制数N,用位置记数法可表示为:(N)2=(an-1

an-2…a1

a0.a-1

a-2…a-m)22/2/20233上面两式中，ai=0或1,n为整数部分的位数,m为小数部分的位数。

用权展开式可表示为：(N)2=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020+a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m2.1进位计数制（续）任意进制数（>1）的表示：请参考教材p17。

二进制数的特点只有两个数码,很容易用物理器件来实现。运算规则简单。可使用逻辑代数这一数学工具。2/2/20234二进制数和十进制数之间的转换2.2数制转换

二进制数十进制数：按权展开式在十进制数域中计算例如：十进制数二进制数整数部分：除2取余法例：将(58)10转换成二进制形式解:2/2/20235等式两边同时除2，有得a0=0得a1=1等式两边再同时除2，有……则

(58)10=(111010)22.2数制转换（续）2/2/20236等式两边同时乘2，有得a-1=1等式两边的小数部分再同时乘2，有得a-2=0小数部分：乘2取整法例：将(0.625)10转换成二进制形式解:2.2数制转换（续）2/2/20237等式两边的小数部分再同时乘2，有得a-3=1则：注意不能进行精确转换的情况八进制数、十六进制数与二进制数的转换按位分组法例：八进制：

257

0554

二进制：010101111000101101100

十六进制：

AF

1

6C

因此，(257.0554)8=(10101111.0001011011)2=(AF.16C)162.2数制转换（续）2/2/202382.2数制转换（续）2/2/20239真值与机器数2.3带符号数的代码表示真值：直接用“+”和“–”表示符号的二进制数，它不能在机器中使用。机器数：将符号数值化了的二进制数，可在机器中使用。

例：

+101101011；-101111011原码：正数符号位为0；负数符号位为1，其余各位表示数的绝对值。例：

N1=+10011 N2=–01010

[N1]原=010011 [N2]原=101010特点：真值0有两种原码表示形式，即[+0]原=00…0，[–0]原=10…0。4位原码

1111111011011100101110101001100000000001001000110100010101100111

-7-6-5-4-3-2-1-0+0+1+2+3+4+5+6+72/2/202310例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]反=010011 [N2]反=110101反码：对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码数值按位求反。2.3带符号数的代码表示（续）

一个r进制数字d（无符号）的反码是r-1-d。

当r为2的整幂次方且用2进制表示时，电路中可由反相器来实现求反运算。特点：真值0有两种反码表示形式，即[+0]反=00…0，[–0]反=11…1。4位反码

1000100110101011110011011110

111100000001001000110100010101100111

-7-6-5-4-3-2-1

-0

+0+1+2+3+4+5+6+72/2/2023112.3带符号数的代码表示（续）2/2/202312例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]补=010011 [N2]补=110110补码：对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是在反码数值的末位加“1”。2.3带符号数的代码表示（续）特点：真值0只有一种表示形式，即[+0]补=[-0]补=00…0。[+0]补=00…0,[–0]补=100…0=00…0（模2n）

n位n+1位n位4位补码

1000100110101011110011011110111100000001001000110100010101100111

-8-7-6-5-4-3-2-1

0+1+2+3+4+5+6+72/2/2023132.3带符号数的代码表示（续）求“反数”的补码（又称“变补”）2/2/202314

原码加减运算2.4机器数的加法和减法符号位不参与运算，单独处理。设A、B表示绝对值，有下列两类八种情况。(+A)+(+B)=(+A)-(-B)(-A)+(-B)=(-A)-(+B)同号数相加或异号数相减运算规则为绝对值相加，取被加(减)数的符号。(+A)-(+B)=(+A)+(-B)(-A)-(-B)=(-A)+(+B)同号数相减或异号数相加运算规则为绝对值相减，取绝大值较大者的符号。2/2/202315例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]原和[N1－N2]原。解：[N1]原＝10011，[N2]原＝01011

求[N1+N2]原，绝对值相减，有1011－)00111000结果取N2的符号，即：[N1+N2]原＝01000，真值为：N1+N2＝+1000

求[N1-N2]原，绝对值相加，有0011+)10111110结果取N1的符号，即：[N1-N2]原＝11110，真值为：N1-N2＝-11102.4机器数的加法和减法（续）2/2/2023162.4机器数的加法和减法（续）

钟表对时（补码加减运算原理）2/2/2023172.4机器数的加法和减法（续）2/2/202318

补码加减运算2.4机器数的加法和减法（续）可以证明有如下补码加、减运算规则：[N1+N2]补＝[N1]补+[N2]补，[N1－N2]补＝[N1]补+[－N2]补此规则说明补码的符号位应参与运算。例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]补和[N1－N2]补。解：[N1]补＝11101，[N2]补＝01011,[－N2]补＝10101

[N1+N2]补=11101+01011=0100011101+)01011丢弃1

01000真值为：N1+N2=+10002/2/202319

[N1－N2]补=11101+10101=1001011101+)10101丢弃1

10010真值为：N1－N2=－11102.4机器数的加法和减法（续）反码加减运算可以证明有如下反码加、减运算规则：[N1+N2]反＝[N1]反+[N2]反，[N1－N2]反＝[N1]反+[－N2]反

当符号位有进位时，应在结果的最低位再加“1”。（？）2/2/2023202.4机器数的加法和减法（续）例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]反和[N1－N2]反。解：[N1]反＝11100，[N2]反＝01011,[－N2]反＝10100

[N1+N2]反=11100+0101111100＋)01011

100111＋)101000真值为：N1+N2=+1000

[N1－N2]反＝11100+10100真值为：N1－N2=－111011100+)10100

110000+)1100012/2/2023212.4机器数的加法和减法（续）溢出：如果加法操作产生的结果超出了数制定义的范围，就说发生了溢出（overflow）。溢出判断补码：CinCout

CinCout=1

无符号数：CMSB=12/2/2023222.4机器数的加法和减法（续）2/2/202323原码、反码、补码、移码之间的关系[X]补[X]原[X]反符号位保留，各位变反再加1[X]移符号位保留，各位变反符号位连同各位变反再加1[X]原[X]补[+X]补[-X]补符号位变反，各位保留(X<0)(X<0)(X<0)2/2/2023242.5十进制数的二进制编码（续）二进制数最适于数字系统的内部计算，但多数人喜欢用十进制数。用二进制位串表示十进制数，不同位串组合代表不同的十进制数。用于表示不同的数或事件的一组二进制码的集合称为一种编码。一个含义确切的特定组合，称为一个码字。使用

n位二进制码的编码，并不一定需要包含有全部2n个码字。2/2/2023252.5十进制数的二进制编码（续）

BCD码加法结果校正

BCD码调整指令2/2/2023262.6葛莱（格雷）码2/2/2023272.6葛莱（格雷）码（续）2/2/2023282.6葛莱（格雷）码（续）2/2/2023292.7字符编码数字0,1,…,9与字符0,1,…,9是不同的.2/2/2023302.8动作、条件和状态的编码

编码宽度线较少2/2/2023312.8动作、条件和状态的编码（续）

选中信号0或1

n中选m码（8B10B码，用在802.3z千兆以太网标准中）选择电路简单2/2/2023322.10检错码和纠错码

数字电路中的错误很可能是灾难性的。

码距为1的编码不能检查出错误，更不能纠正错误。000，001，010，011，100，101，110，111奇偶校验码

由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中1的个数事先约定为奇数或偶数。000，101，110，011，非码：001，010，100，111码距为2。

可发现奇数位错误，但不能发现偶数位错误。

一般可以假定数字系统中的差错是独立的。2/2/2023332.10检错码和纠错码（续）

纠错码与多重检错码（码距>2）。2/2/2023342.10检错码和纠错码（续）一般来说，若码距d>1，则如果用来检查错误，可以发现d–1位错；如果用来纠正错误，则d为奇数时，可以纠正（d-1）/2位错；为偶数时，可以纠正（d/2-1）位错。2/2/202335123456712345672.11海明校验码将信息位分为多个组，每一个组增添一个