第十五章+机械波

机械波mechanicalwave机械波基本内容1行波,简谐波的形成过程2简谐波的波函数3波的能量4惠更斯原理与波的反射和折射5波的叠加驻波6*声波7多普勒效应基本要求一掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；二理解机械波产生的条件，掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法，理解波函数的物理意义，了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念；三了解惠更斯原理和波的叠加原理.能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；

四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；五了解机械波的多普勒效应及其产生的原因，在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移.产生条件机械波的产生及描述机械波的产生及描述振动的传播过程称为波动。机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源作机械振动的物体；媒质能够传播机械振动的弹性媒质。一、机械波的产生波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。横波与纵波二、横波与纵波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。注意振动是描写一个质点振动。波动是描写一系列质点在作振动。5.振动与波动的区别：1.质元并未“随波逐流”，波的传播不是介质质元的传播。2.“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。3.

某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-----波是振动状态的传播。4.

同相位点-----质元的振动状态相同。传播方向t后的波形图6.判断质点振动方向几何描述三、波的几何描述波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。波的物理量波传播方向四、描述波动的物理量l波速u周期T波形移过一个波长所需的时间。频率n周期的倒数n1T波速u单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质以及波的类型。ulTnl或luT波长l振动状态完全相同的相邻两质点（相位差为）之间的距离；即一个完整波形的长度。即单位时间内波动传播的完整波的数目①周期、频率与介质无关，与波源的相同。波长、波速与介质有关。③波在不同介质中频率不变。②不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质和波型！声音在空气中传播速度*震中家中的震感声音在水中传播速度声音在铁轨中传播速度声音在混凝土中传播速度

思考：如果发生地震，你在家中会有怎样的震感?知道？？？平面简谐波平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程由简谐振动的传播所形成的波动。简谐波对于机械波，若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波，则为简谐机械波。

简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。一、平面简谐波简谐波的一个重要模型是平面简谐波。平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波列足够长，各质点振动的振幅恒定。二平面简谐波的波函数（波动方程）的建立

简谐波在介质中传播时，各质元都在做简谐运动，其位移随时间变化。由于各质元开始振动的时刻不同，各质元的简谐运动并不同步，即在同一时刻各质元的位移随它们位置的不同而不同。各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置介质中任一质点（坐标为

x）相对其平衡位置的位移（坐标为

y）随时间的变化关系，即称为简谐波的波函数（波动方程）。以速度u

沿x轴正向传播的简谐波.令原点O

的初相为零，其振动方程：位于原点的质元的振动方程在时刻t位于x处的质元的振动方程？？？由于波

沿x轴正向传播，所以在x>0的各质点将依次较晚开始振动。分析点O

的振动状态点Pt时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动得：点P振动方程（波动方程）1.时间推迟方法P*O点O振动方程

二平面简谐波的波函数（波动方程）的建立点P

比点O落后的相位得：点P振动方程（波动方程）P*O2.相位落后法二平面简谐波的波函数（波动方程）的建立O注意：如果原点的初相位不为零点O

的振动方程：

波函数

u沿X轴正向

u沿X轴负向沿

X轴正向传播的平面简谐波动方程的拓展式:cos()yAwtj+ux波动方程常用周期T波长l或频率n的形式表达得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)wT2pn2puTl,由消去波速uT和l1~单位时间和单位长度与时间变量和空间变量对应tx1由波动方程:二平面简谐波的波函数（波动方程）的建立质点的振动速度，加速度波方程意义三、波动方程的物理意义cos()yAwtj+ux若给定，波动方程即为距原点处的质点振动方程xxcos()yAwtj+x2pl距原点处质点振动的初相x若给定，波动方程表示所给定的时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。ttcos()yAwtj+x2plXYO续9t+rtt+rt若和都是变量，即是和的函数，这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。txytxcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)正向波XOY同一时刻，沿X轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。tu波沿X轴正向传播反向波cos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)++YXO同一时刻，沿X轴正向，波线上各质点的振动相位依次超前。tu波沿X轴反向传播例一65llu已知例1PXOYA2A某正向余弦波时的波形图如下t0则此时点的运动方向，振动相位。PFP解法提要正向波，沿轴正向微移原波形图判断出点此时向下运动。并判断出原点处质点从Y

=A向平衡点运动，即初相。PXj0FPwt()xPu+jT)2ptlj+)xPtj0,0,由图可知xP65l代入得FP-123p例二已知求例2wcost+yjPA()P波动方程一平面简谐波以波速沿X轴正向传播。axu位于处的P点的振动方程为YuXOaP解法提要得波动方程ycosAw(t)+jPxB设B

点距原点为xP

点振动传到B

点需时uax即

B

点时刻的振动状态与P

点时刻的振动状态相同ttuaxuaxcosAw(t)+jPaux(w)u例三已知求例3波动方程y=0.05cosp(5x

–100t)(SI)此波是正向还是反向，并求：A、n、T、u、l；x=2

m处质点的振动方程及初相；x1=0.2

m及x2

=0.35

m处两质点的振动相位差。x=2

m处y0.05cosp(5×2–100t)

0.05cos(100p

t–10p

)

初相为–10p

y0.05cosp(5x

–100t)

cosa

=

cos(-a)0.05cos100p(t–

)

x2020m·s

-1u,100pw,0.02sT1n,与比较得Awcos)txj+)uy0.05mA,luT0.4mnw500Hz2p,解法提要而且得知：原点（x=0)处质点振动初相j0正向波x1=0.2

m处的振动相位比原点处的振动相位落后x2=0.35

m处的振动相位比原点处的振动相位落后w1xuw2xu两者的相位差为w()2x1xu100p0.15200.75p例四已知例4一正向余弦波时刻t波线上两质点振动情况如图求XOYPPxAl0Px

10mlPx此时的等于几米波形图解法提要wAcos)tj+)xuy正向余弦波方程AAcoswtj+O质点AcosF0解得F0p+一个周期内可取F0pFPF0wPxuwt)uPx)j+wtj+2p-1pFPF02-3plwu7.5(m)2pPx23p23p43l7.5

(m)Px0Px的P点位置为u2.5

7.5

YOPA波形图X(m)

10ml质点

P0Acoswt)uPx)j+AcosFP或FP32p2p解得旋转矢量法2p-1?FP2p3?波的能量波的能量波的能量现象：若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速最小v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt在波动中，各体积元产生不同程度的

弹性形变，具有

弹性势能pEr未起振的体积元各体积元以变化的振动速率上下振动，具有振动动能vEkr理论证明（略），当媒质中有行波传播时，媒质中一个体积元在作周期性振动的过程中，其弹性势能和振动动能同时增大、同时减小，而且其量值相等，即pErEkr后面我们将直接应用这一结论。pErEkr。能量密度一、能量密度（单位体积媒质中波的能量）

可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程。振动速度veetysinAww()tux体积元的动能2Ekr21mrv21rVrsinAww()tux222EkrpEr势能Ekr总量能ErpEr+rVrsinAww()tux222设一平面简谐波cosyA()wtux媒质密度rx处取体积元rV,体积元的质量mrrVr在能量密度0limwrVErrVrsinAww()tux222平均能量密度Tt0d1TwwrAw2221w是w在一周期内的时间平均值。单位：焦耳米3（J·m–3

）续16T1t0dTw该处的能量密度(随时间变化)sinw()tu2rAw22xPwwOtrAw22rAw2221wtTOcosyA()wtux简谐平面波处的振动方程某点

xPcosA()wtuxPyP在密度为的均匀媒质中传播rtyPOA借助图线理解w和wT该处的平均能量密度wrAw2221（时间平均值）能流、能流密度二、能流和能流密度平均能流一周期内垂直通过某截面积的能量的平均值ssuPw单位：瓦(W

)平均能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流IPswurAw2221u单位：瓦·米-2(W·m–2)振动状态以波速在媒质中传播

体积元的能量取决于其振动状态u能量以波速在媒质中传播u能流单位时间内垂直通过某截面积的能量sPwsuusudtSwrAw2221例五1.3kg·m-3已知求例一频率为1000Hz波强为3×10

-2W·m–2330m·s-1此声波的振幅的声波在空气中传播波速为空气密度为解法提要波强IwurAw2221upn2w则A1pn2I2ru×3×10

-21.3×3302000p121.8×10–6(m)

因在空气中传播的声波是纵波，此振幅值表示媒质各体积元作振动时，在波线方向上相对于各自平衡位置的最大位移。声波声波声波声波

一般意义上的声波，是指能引起人的听觉、在声学中，声波的频率范围包括

10

-4~1012Hz

的机械波。频率在

20~20000Hz

的机械波。又称声音或声。10

-4~20Hz次声20~20000Hz可听声20000~5×108

Hz5×108~1012Hz超声特超声

频率低，波长长，衰减小。用于探矿、预测风暴、监视地震和核爆炸等。次声与人体器官（如心脏）的振动频率相近，对人体有害。

除与人类生活息息相关外，该频段在民用和军用的声呐（声导航与定位）、水下目标测距及识别等亦常使用

频率高，波长短，能量大，穿透力强。在检测、加工处理、医疗等领域有广泛应用。

该频段的超声频率，已高到可与电磁波的微波频率相比拟，而具有超声自身的许多优越特性，在固体物理领域中已得到广泛应用。该频段的低端，在现代电子技术、激光技术、信息处理和集成光学等领域有重要的应用。频率高于1012Hz的特超声的波长已可与晶格尺寸相比拟，是研究物质结构的一种重要的新手段。声速声波在理想气体中的传播速度umTgR气体的摩尔质量mg气体的比热容比T气体的温度（K）R气体常量

对同种气体、在同一状态下，各种不同频率的声波传播速度相同。标准状态下空气中的声速u29×10-31.4×8.31×273331

(m·s–1)常温下（20℃)空气中的声速u344

(m·s–1)常温下某些媒质中的声速铅1300

海水1510铁5000玻璃6000(m·s–1)媒质声速声速声波在媒质中传播的速度。声速与媒质的特性和媒质的温度有关。声强、声强级声强声强级与声强

I瓦·米–2

(W·m–2)单位：平均能流密度声波的在最佳音频（约1000~4000Hz）条件下I0弱到刚能听闻强到失去听觉只有痛觉称标准声强

10-12100（痛阈）（闻阈）(W·m–2)10-6听觉强度范围听觉强度范围甚宽，实用上需要以更方便的单位来表示声强级L人对声强的主观感觉即响度,用声强级数表示。单位:分贝(dB)LII0lg贝(B)10II0lg分贝(dB)1贝(B)=10分贝(dB),好比1米(m)=10分米(dm)。常用分贝(dB)为单位附表闻阈10-120痛阈1120伤害人体10130正常呼吸10-1110悄悄话10-1020摇滚乐0.3115电动切草机10-2100重型卡车10-390大声喊叫10-480室内正常谈话3×10-665声音

声强(W·m–2)声强级(dB)几种声音的声强及声强级数LII0L10lgII0分贝(dB)，()10lg23声强上的倍相当于声强级的分贝23噪声噪声噪声有两种意义：1、物理上指不规则的、间歇的或随机的声振动。2、指任何难听的、不和谐的声或干扰。噪声是由不同频率、不同振幅的声音无规则地组合在一起而出现的。广义上说，任何不需要的声音都属噪声；狭义上说，噪声是指大于90dB以上，对人的工作、健康有影响的声音。

强烈的噪声（160dB以上）不仅可损坏建筑物，而且还会使发声体本身因疲劳而受到破坏。噪声污染问题引起人们广泛关注。大于90dB的声响，将导致噪声污染。0limwrVErrVrsinAww()tux222Tt0d1TwwrAw2221suPw单位：瓦(W

)能量密度平均能量密度问题测试：平均能流一周期内垂直通过某截面积的能量的平均值s平均能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流IPswurAw2221u单位：瓦·米-2(W·m–2)波的干涉波的干涉波的干涉

一入射波传播到带有小孔的屏时，不论入射波的波阵面是什么形状，通过小孔时，在小孔的另一侧都产生以小孔作为点波源的前进波，可将其抽象为从小孔处发出的一种次波或子波，其频率与入射波频率相同。一、惠更斯原理惠更斯原理

媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。惠更斯原理1Rtus1()+r2Rtuts2Os1s2rut媒质1媒质2波的反射和折射1.波的反射(略)2.波的折射用作图法求出折射波的传播方向BC=u1(t2-t1)

AE=u2(t2-t1)折射波传播方向i1i2t1时刻波面ACBEt2时刻波面i1--入射角,

i2--折射角折射定律n21=折射角有可能大于1当，此时不存在折射光线，入射光全部反射——全反射现象全反射的临界角令，则光纤通讯原理：光密媒质光疏媒质光疏媒质光速较大光速较小

波的衍射

水波通过狭缝后的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.波的衍射波的叠加原理二、波的叠加原理两波在空间某点相遇，相遇处质点的振动是各列波到达该点所引起振动的叠加；相遇后各波仍保持其各自特性（如频率、波长、振动方向等），继续沿原方向传播。通常波强不太强的波相遇，满足叠原理，称为线性波。波强强到不满足叠加原理的波，称为非线性波。波的叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.相干波三、波的干涉波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象若有两个波源振动

频率相同振动

方向相同振动

相位差恒定它们发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动始终加强，某些质点的振动始终减弱或完全相消。该现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波称为相干波其波源称为相干波源

频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.波的干涉相干振动合成分别引起

P点的振动y1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振动

y

y1+y2

Acos(wt+j)AA12A22A1A2cos2j2j12p++()r2r1ljarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosA2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)两相干波源的振动方程21ss合成振幅公式jarctanj12pr1l)(A1sin+j22pr2l)(A2sinj12pr1l)(A1cos+j22pr2l)(A2cosp21rljwt()+1p2rljwt()+22jr分别引起

P

点的振动y1

A1coswt+(j1)y2

A2coswt+(j22pr1l2pr2l)合振动

y

y1+y2

Acos(wt+j)A2()A1()A()Pr1r2y10

A10cos(wt+j1)y20

A20cos(wt+j2)两相干波源的振动方程21ssAA12A22A1A2cos2++j2j12p()r2r1l空间每一点的合成振幅A保持恒定。jrP点给定，则恒定。y1y2

两振动的相位差相长与相消干涉AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l+2pkjrr2r12plj2j1（0,1,2,)k...当时合成振动的振幅最大maxA12A+Ajrr2r12plj2j1当（0,1,2,)k...时+2pk()+1合成振动的振幅最小minA12AA波程差表达式AA12A22A1A2cos2++(j2j12p)r2r1l若j2j1即两分振动具有相同的初相位则取决于两波源到P点的路程差，称为波程差djr12rrdr2r12pl+2pkjr（0,1,2,)k...当时则合成振动的振幅最大maxA12A+A即d12rr+kl

波程差为零或为波长的整数倍时，各质点的振幅最大，干涉相长r2r12pl+pjr（0,1,2,)k...当时则合成振动的振幅最小即2k()+12d12rr+l2k()+1minA12AA

波程差为半波长的奇数倍时，各质点的振幅最小，干涉相消例6求2r

P点发生相消干涉；在P点发生相长干涉当满足什么条件时已知例两相干波源1s2s同初相，l2m振动方向垂直纸面1r2r1s2sP1s到定点P的距离1r50m,,解法提要（

0,1,2,

)k...12rr+kl相消干涉12rr2+l2k()+12r+2k()+150（m）相长干涉2s可位于纸面内以P为圆心,以满足下述条件的为半径的一系列圆周上。2r2r2k+50（m）（

0,1,2,

)k...例2如图，原点O是波源，振动方向垂直纸面，波长是λ，AB为波的反射平面，反射时无半波损失。O点位于A点的正上方，AO=h，OX轴平行于AB，求OX轴上干涉加强点的坐标（限x≥0)hOAxB解：沿ox轴传播的波与从AB面上P点反射来的波在坐标x处相遇，两波的波程差为：xhOABP（当x=0时由4h2-k22=0可得k=2h/)弦驻波演示实验L弦长弦的驻波视觉现象示意l变波长调频率改弦的驻波条件2lLm)(m213,,,m1反射器振源振源续41弦的驻波条件2lLm)(m213,,,2m反射器振源振源l变波长调频率改L弦长弦的驻波视觉现象示意振源振源续42弦的驻波条件2lLm)(m213,,,3m反射器振源振源l变波长调频率改L弦长弦的驻波视觉现象示意振源振源驻波四、驻波1.波干涉是特定条件下的波叠加，驻波是特定条件下的波干涉条件：两列相干波振幅相等相向传播发生干涉现象：uAl正向行波uAl反向行波干涉区域中形成的驻波各质点的振幅分布规律恒定形成一种非定向传播的波动现象2AAmaxAmin0l2波腹波节,2.驻波形成动态驻波形成图解t=

0t=

T

/

8t=

T

/

4t=

3T

/

8t=

T

/

2t=

5T

/

8t=

3T

/

4t=

7T

/

8t=

T

YOXAXA2OY3.驻波的形成图解定性分析在同一坐标系XOY中正向波反向波+)驻波1yy2y点击鼠标，观察在一个周期T中不同时刻各波波形图。点击一次，T8时间步进正向波cos()Awtj+uxy11反向波cos()2yAwtj+ux2合成驻波y12yy+驻波方程为简明起见，j1j20,设改写原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+4.驻波方程数学描述y12yy+驻波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函数关系ab2coscoscos(a+b(((+cosab(2Acos2pxl(cos2ptn得y驻波方程波腹、波节位置为简明起见，j1j20,设改写原式得并用wn2plwu2py1cosA2p()txln2y+cosA2p()txln由正向波反向波cos()Awt+uxy1cos()2yAwt+uxj1j2+驻波方程数学描述y12yy+驻波cosA2p()xltn+cosA2p()tn+xl注意到三角函数关系ab2coscoscos(a+b(((+cosab得(2Acos2pxl(cos2ptny驻波方程(2Acos2pxl(cos2ptny驻波方程n驻波中各质点均以同一频率简谐振动。谐振动因子OXY2l2l波节波腹振幅分布因子它的绝对值表示位于坐标x

处的振动质点的振幅。即描述振幅沿

X

轴的分布规律。波腹处振幅最大波节处振幅最小cos2pxl1,cos2pxl0,xk2l+xk21()l4++k12(),...0,,k12(),...0,,相邻波腹（节）间距

相邻波腹和波节间距相位、能量特点同一时刻，相邻两波节之间各质点振动相位相同；波节两侧的各质点的振动相位相反。驻波不是振动相位的传播过程，驻波波形不发生定向传播。5.驻波的相位特点6.驻波的能量特点波节体积元不动，动能Ek0其它各质点同时到达最大位移时波腹及其它质点的动能Ek0波节处形变最大势能Ep最大,波腹附近各点速度最大其它各质点同时通过平衡位置时Ek最大波节及其它点无形变Ep0

驻波能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生

??？的相位跃变（与行波不同，无相位的传播）反、入射产生驻波声源水空气声源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时7.由入射波与反射波产生驻波“半波损失”与8相位跃变（半波损失）

当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.波密介质较大波疏介质较小

当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.半波损失驻波驻波入射波入射波反射波反射波波疏媒质波密媒质XOY由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。入射波入射波驻波驻波反射波反射波波密媒质波疏媒质2l2lXYO由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射，在界面处，反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，即差了，形成驻波时，总出现波节。p位相差了相当于波程差了，称为p2l“半波损失”。例7例已知求入﹑反射波在弦上的弦的驻波实验中，当振源的振动n频率为时，弦上出现驻波的波腹数为m弦长为,L一端接振源,另一端固定,波速波长lu解法提要弦的驻波条件lL2m

()m

...1,2,l2Lm

luTunulnn2Lm

例8已知求例下图坐标系中，XOY波密m1入射反射Py=0.2cosp(t–4x)入垂直波密界面的入射波反射波方程两波形成的驻波方程m()解法提要由y知入wp,u41m()s,0j1、反射波方程应折算到以O为原点的振动；2、波疏到波密反射波相位变；p3、反射波相位沿X轴负向依次落后。与y相对照，可直写出y：入反4x)y=0.2cosp(t反PO2++pu=0.2cospt–8p+4xp+p=0.2cosp(t+

4x)

+py=入y+反y=0.4cos(4px+)cos(pt+)2p2p=0.4sin4pxsinpt额外：振动的简正模式应满足，由此频率两端固定的弦线形成驻波时，波长和弦线长决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.频率

波速基频

谐频解：弦两端为固定点，是波节.千斤码子

如图二胡弦长，张力钢丝密度讨论.求弦所发的声音的基频和谐频.发射频率接收频率

接收频率——单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？讨论只有波源与观察者相对静止时才相等.多普勒效应五多普勒效应多普勒效应多普勒效应五多普勒效应当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为多普勒效应。以机械波为例，在静止媒质中：设观察者和波源在同一直线上运动波源振动频率（恒定）n波在媒质中的传播速率（取决于媒质的性质，与波源运动无关）uvs观察者相对于媒质的运动速率v波源相对于媒质的运动速率n观察者测得的频率分别讨论下述四种情况观察者所测得的n静发静收1.波源和观察者均相对于媒质静止。v0vs0s波源的振动频率n观察者测得的频率nul两个相邻等相位面之间的距离是一个波长lTuun观察者测得的频率，是单位时间内连续通过接收器的等相位面的数目，亦即单位时间内连续通过接收器的完整的波的个数。nnluTuunT1观察者测得的频率就是波源振动频率。2波源不动，观察者相对介质以速度运动观察者接收的频率观察者每秒接收到的整波数，即观察者测得的频率为nlTuu+vu+vn1()+uv观察者测得的频率是波源的振动频率的倍。1()+uv如果波源静止观察者背离波源运动，观察者测得的频率为nn1()uv动发静收2132131323.观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动。一列等间距小石子，等时先后落入水中，先看一个普通现象波阵面分布是一系列偏心圆。它们所激起的水波的激励的移动方向波面间距较窄波面间距较宽若在空气中有一个振动频率恒定的定向运动声源，它所激起的声波的波阵面分布，则是一系列偏心球面。3观察者不动，波源相对介质以速度运动续49波源的振动频率n3.观察者静止，波源（相对于媒质）向观察者运动。波速取决于媒质的性质，与波源是否运动无关。u波源振动一周，波阵球面向外传播一个波长，波源同时向右移动，lvsT在运动方向上波阵面分布变密，相当于波长变短，其等效值vsTvsTllll。位于右方的观察者每秒接收到的整波数，即观察者测得的频率为nluTulvsTuvsTun()uvsu如果波源以速度离开观察者，观察者测得的频率为nvsn()uvsu+观察者测得的频率nA动发动收4.观察者和波源同时相对于媒质运动。vvssuvsTvsTllll波源的振动频率n观察者测得的频率n当波源和观察者同时相背运动时nn()uvsu+v这时观察者每秒接收到的整波数，由观察者的运动和波源运动当波源和观察者同时相向运动时nul+vTulvsTvsTu+vu+vn()uvsu+v两种因素同时决定，观察者测得的频率为结果归纳vvssnuv0vssun多普勒效应nnnn()uvsu+nn()uvsu+v+背向()+uvnnuvvs0sunv0vs0snu波源的振动频率n观察者测得的频率n驻波方程相邻波腹（节）间距相邻波腹和波节间距v0vssunvvssnunn()uvsu+nn