第十章相似原理和因次分析

量纲分析及相似理论第九章概述

对于大多数粘性流体流动的工程问题难以用微分方程加以描述，或者即使能够建立微分方程式，由于初始条件和边界条件不能用数学方法给定，目前还不能求得精确解，只能作出一些假设和推断求得近似解，这些近似解是否合理，只能依靠试验验证。但这些结果只能应用于与试验条件相同的流动现象，有很大的局限性。一.相似理论的提出1.对流动规律的试验结果的推广如何做模型试验？思考：飞机图例大坝图例2.流体力学的模型实验随着工业的发展，涉及流体动力学的整机和部件都很大，很复杂。比如，飞机的设计，大坝的设计等。这些设计方法都要依赖于试验，但这些试验又无法在实物上进行只能通过模型试验进行。二.模型试验要解决的问题

1.如何根据实物正确的设计和布置模型实验，例如：模型尺寸如何确定？介质如何选取?２.怎样整理模型试验的结果并将整理的结果还原到实物，并进行应用推广？第一节力学相似的原理两流动的相似是指：

一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两流动相似。

相似的流动应遵从同一数学物理方程。

具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动力相似三个条件。

一.几何相似几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比例，且对应的特征角度相等。长度比例系数：面积比例系数：体积比例系数：

二.运动相似（时间相似）运动相似是指：模型与原型的流场所有对应点上对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比例相等，即它们速度场相似。速度场相似时间比例系数：加速度比例系数：速度比例系数：

三.动力相似动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在流体微团上的各种同名力彼此方向相同，且它们大小的比例相等，即它们的动力场相似。力比例系数：

综上所述：要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。

其中：

运动相似是流体流动相似的表现；

几何相似是流体流动相似的前提条件；

动力相似是流体流动相似的保证。第三节动力相似的准则(模型率)

相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足。但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问题：有什么其它办法能保证两个流动相似呢？

有相似准则一.相似准则的提出

二.相似准则的推导流体的运动必须符合牛顿第二律，对模型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：也可写成：令：Ne称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。

Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值，是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必相等。注：作用在流体微团上的力有各种性质的力，如重力、粘滞力、压力、弹性力等。但不论何种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。由此可导出单项力相似的准则。在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。1.粘滞力相似准则代入

如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，采用模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中流速为多少？算一算：解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺数应相等：所以：由题意知：因为：在重力作用下相似的流动，其重力场相似。

2.重力相似准则Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。代入A：0.01B：1000C：10D：10000答案:c设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s?

想一想在压力作用下相似的流动，其压力场相似。代入Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。3.压力相似准则4.其它的相似准则数弹性力相似准则对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。（Ca——柯西数Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值）。非定常相似准则对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。（Sr——斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。

表面力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。（We——韦伯数，惯性力与张力的比值）。三.完全相似和不完全相似

动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。例如：粘滞力相似：由得重力相似：由得由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。一、因次分析的概念和原理第四节因此分析法1、因次因次是物理量的性质和类别，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。单位除表示物理量的性质外还表示物理量的大小。因次又称为量纲。如：s单位：km，m，cm，mm等t单位：hour，min，second等s-----具有长度的量纲[L]t-----具有时间的量纲[T]V-----具有速度的量纲同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]，[L]，[T]等。导出量纲-----由基本量纲导出,如一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相同。2、方程因此一致性-----方程两端具有相同量纲量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。二、因次分析法

（一）瑞利法1.定义：根据量纲量一致性原则，确定相关量的函数关系。假定物理量y是x1、x2等的函数。则关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确定各个x的指数。2.举例：三角堰

（二）π定理由于方程量纲一致性，用其中任意一项去除方程两端，都可将有量纲函数式变成无量纲函数式。但这些无量纲函数式可以互相推导：它们所包含的独立无量纲量数目（不能相互推导）是多少？共有两个，它们可以表示为：为什么？与匀变速运动有关物理量的量纲指数：设四个物理量组成的函数形式：如果是无量纲量→其基本量纲指数为零。------只有那些线性无关的解组（基础解系）才能组成彼此独立的无量纲量。当当解向量解向量独立无量纲量(m)=与问题有关的物理量(n)-量纲指数矩阵秩(r)柏金汉（Buckingham）π定理：如果与某一物理问题有关的物理量有n个，这n个量的量纲指数矩阵的秩为r，则表达这一问题规律性的n个量之间的函数关系，可以用这n个量组成的n-r个独立无量纲量的函数式