数学中考专题复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练

九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．2．如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．（1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形；（2）求证：D，F，E三点共线；（3）当BG＝2EG时，求tan∠AEB的值．3．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD⊥BE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；（3）如果点M（a，b）是△ABC内部的一点，则经过上述两次变换后，在△A2B2C2内部的对应点M2的坐标是；（4）在y轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．5．【问题背景】如图1，点P是菱形ABCD内一点，∠ABC＝60°，PA＝1，PB＝2，PC＝，求∠APB的度数．小明通过分析，思考，形成如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，从而求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△CP'B，连接PP'，从而求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝4，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．6．如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点E、F．AG⊥EF于点G．（1）当∠EAF绕点A旋转到BE＝DF时，请你写出线段AG与AB的数量关系，并证明．（2）当∠EAF绕点A旋转到BE≠DF时，问（1）中线段AG与AB的数量关系还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，说明理由．7．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）如图1，直接写出线段BD与AC的位置关系和数量关系．（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，上题结论是否发生变化，若变化，请写出新的结论；若不变，请说明理由；8．一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝，PB＝1，PC＝，求∠APB的度数．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从A出发，沿AC以每秒3个单位长度的速度向终点C匀速运动，点D为AB的中点，当点P不与A、C重合时，连结PD，以直线PD为对称轴作△APD的轴对称图形△PED，连结AE，动点P的运动时间为t秒．（1）线段AB的长为．（2）当直线AE与BC垂直时，求t的值．（3）当△ADE是钝角三角形时，求t的取值范围．10．如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．（1）观察猜想：△PMN的形状是．（2）探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？请说明理由．（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AB＝3，AD＝1，请直接写出△PMN周长的最大值．11．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，连接EA，EC．（1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB＝4，则∠AEC＝°，四边形ABCE的面积为；（2）当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．12．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．13．如图，在△ABC中，，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．14．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．（1）如图1，点D在线段BC上，补全图形，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；（2）如果∠α＝60°，①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．15．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且．（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF．①∠DAF＝；②求证：DF＝DE；（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．16．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，把△ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点．（1）如图1，当点D在线段CE上时，求证：BD＝CD+AD；（2）若AB＝2，AD＝1，①如图2，当点E在BA延长线上时，求PC的长；②在旋转过程中，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值．17．如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD；（2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF；（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长．18．综合与探究我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B＝90°，AB＝6，BC＝8）并进行探究：（1）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处．①若∠1＝40°，∠C＝37°，则∠2的度数为．②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为．（2）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；（3）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．19．【操作发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F．①的值为；②∠BFC的度数为°；【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，连接CE交BD的延长线于点F．计算的值及∠BFC的度数；【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE＝1，AC＝，请直接写出当点D与点F重合时BD的长．20．在△ABC中，AB＝AC，点D为平面内一点，（1）观察猜想：如图1，当∠BAC＝90°，点D在BC上时，探究BD2、DC2与AD2之间的数量关系，我们可以把△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系：；（2）类比探究：如图2，当∠BAC＝60°时，点D为△ABC外一点，将△ABD顺时针旋转后得到△BCE，若D、E、C三点在一直线上，求∠ADB的度数；（3）拓展应用：如图3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的长．参考答案1．解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P为AE的中点，∴DP⊥AE；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＝45°，AD＝ED，∵P为AE的中点，∴∠ADP＝∠EDP＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，∴∠BAE＝∠ACP；②BF＝DF．证明：如图3，延长CP至G，使PG＝DP连接AG，BG，∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝DE，∠DAE＝45°，∵P为AE的中点，∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∠ADP＝45°，∴△APG≌△APD（SAS），∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，∴∠GAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠CAD，∵AG＝AD，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（SAS），∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，∴∠BGC＝∠APG，∴PF∥BG，∴＝＝1，∴BF＝DF．2．证明：（1）连接DF，如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BCD绕点B逆时针旋转至△BAF，∴∠FBD＝∠ABC＝60°，BF＝BD，∴△BDF是等边三角形，（2）连接DE，如图，∵△BDF是等边三角形，∴∠BDF＝60°，∵CD平移得到BE，（其中点B和C对应），∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠BDE＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF，∴点F在DE上，即D，E，F三点共线，解：（3）延长AG，CB交于点H，如图，∵EF∥BC，∴∠GEF＝∠GBH，∠GFE＝∠GHB，∴△GEF∽△GBH，∴．∵BG＝2EG，∴BH＝2EF，∵ED＝BC＝AB，DF＝BD，∴EF＝AD，设AB＝a，BD＝b，∴EF＝AD＝a﹣b，∴BH＝2a﹣2b．∵DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴，即，解得a1＝2b，＜b（舍去），∴AB＝2b，即D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，∴，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CDB＝90°，在Rt△ABE中，．3．解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∴AD⊥BE．（3）AD⊥BE不发生变化．理由：如图（2），∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．4．解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1见下图；（2）△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2见上图；（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，∴AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，对应A2C2上的点M2的坐标是（a+4，﹣b），故答案为：（a+4，﹣b）；（4）如下图：若使PA+PB的值最小，作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，∵A（﹣3，5），∴A′（3，5），又B（﹣2，1），∴A′B的解析式为：y＝x+，令x＝0得y＝，∴P（0，），故答案为：（0，）．5．【问题背景】解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝60°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝，∴△BPP'是等边三角形，∴∠BPP'＝60°，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+4＝5，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+60°＝150°．【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝4，∴AP2+PP'2＝16+2＝18，∵AP'2＝（3）2＝18，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．6．解；（1）结论AG＝AB．理由：如图①中，∵AB＝AD，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∵AG⊥EF，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠EAG＝22.5°，∵AE＝AE，∠B＝∠AGE＝90°，∴△ABE≌△AGE（ASA），∴AB＝AG．故答案为AG＝AB．（2）成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM＝DF．∵AB＝AD，BM＝DF，∠ABM＝∠D＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE+∠BAM＝45°，即∠EAM＝∠EAF，又AE＝AE，AM＝AF，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴，∴AB＝AG．7．解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（2）结论不发生变化，理由是：设AC与DE相交于点O，∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC．8．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP′＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二，将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，∴P'B＝PB＝2，P'C＝AP＝1，∠P'BP＝90°，∠APB＝∠BP'C，∴∠BP'P＝45°，P'P＝＝＝2，∵PC＝3，P'C＝1，∴P'C2+PP'2＝PC2，∴∠PP'C＝90°，∴∠BP'C＝∠BP'P+∠PP'C＝45°+90°＝135°，∴∠APB＝∠BP'C＝135°；（2）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝，∴AP2+P'P2＝5+2＝7，又∵＝7，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．9．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，故答案为：10；（2）当直线AE与BC垂直时，如图，∵AE⊥BC，DP⊥AE，∴DP∥BC，∵D为AB的中点，∴P为AC的中点，∴AP＝3，∴3t＝3，∴t＝1；（3）如图，∵以直线PD为对称轴作△APD的轴对称图形△PED，∴△ADE为等腰三角形，且AD＝DE，则△ADE是钝角三角形时，只能是∠ADE为钝角当∠ADE＝90°时，则∠ADP＝∠PDE＝45°，过点P作PF⊥AD于点F，则PF＝DF，∵sinA＝，∴，∴PF＝，∵cosA＝，∴，∴AF＝t，∵AD＝AF+DF＝5，∴＝5，∴t＝，故当t＞时，△ADE是钝角三角形，但P在AC上，不与A，C重合，故P运动的时间t＜＝2（秒），即s＜t＜2s．10．解：（1）如图1，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥AD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCA＝60°，∠CPN＝∠CBA＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM＝CE，PN∥AD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCE，∠CPN＝∠CBD，∴∠BPM+∠CPN＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN＝BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大，∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号），∴BD的最大值为1+3＝4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．11．解：（1）∵将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB＝∠CEB，∴∠AEC＝∠AEB+∠CEB＝180°﹣45°＝135°；过点A作AF⊥BE于点F，如图1，∵AB＝4，∴AF＝AB＝2，∴S△ABE＝BE•AF＝＝4，∴四边形ABCE的面积＝2S△ABE＝8，故答案为：135°，8；（2）①补全图形如图2，∵将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，∴BE＝BA＝BC，∠ABC＝90°，∠ABE＝α，∴∠BEA＝∠BAE＝90°﹣，∠BEC＝∠BCE＝45°﹣，∴∠AEC＝∠BEA﹣∠BEC＝45°；②FB＝2FC﹣AE．证明：过点B作BH∥EC交FC的延长线于点H，如图3，∵BE＝BC，BF平分∠EBC，∴BF垂直平分EC，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，由①知，∠AEC＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴∠GFC＝45°，∵BH∥EC，∵∠FBH＝∠FGC＝90°，∠H＝∠FCG＝45°，∴BF＝BH•tan45°＝BH，FH＝FB，∵∠ABF＝90°﹣∠FBC，∠CBH＝90°﹣∠FBC，∴∠ABF＝∠CBH，∵AB＝CB，∴△ABF≌△CBH（SAS），∴AF＝CH，∵FH＝FC+CH＝FC+AF＝FC+FE﹣AE＝2CF﹣AE，∴FB＝2FC﹣AE．12．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．13．（1）证明：如图1，连接AF，∵，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴，AF⊥BC，∴，∴；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，∵，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴，∴四边形CDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，，∴，∵，∴，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴，Rt△GED中，，Rt△AGD中，，∴，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴，∴，∵△DNF∽△DME，∴，∴．14．解：（1）补全图形如下，连接AE，CE，∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，设∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABCα．∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α，∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝x+α，∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；（2）①AF＝BF+CF．延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG，∵AB＝AC，∴∠ABC＝α＝60°，∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，由（1）知∠AFB＝α＝60°，∴△AFG为等边三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAB＝∠FAC，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（SAS），∴BG＝CF，∴CF+BF＝BG+BF＝GF，∵GF＝AF，∴AF＝BF+CF；②结论为：CF＝AF+BF．连接AE．∵点E为点C关于AD的对称点，∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，设∠EAD＝∠CAD＝x，∴∠CAE＝2x，∵AB＝AC＝AE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠DAB＝x﹣60°，∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x，∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG，∴△AFG为等边三角形，∴AG＝AF，∠GAF＝60°，∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，在△AGE与△AFB中，，∴△AGE≌△AFB（SAS），∴BF＝EG，∴EF＝EG+FG＝BF+AF，∴CF＝EF＝BF+AF．15．（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，故答案为：30°；②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，∵AB＝AC，∴△DAF≌△DAE（SAS），∴DF＝DE；（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，∴DF2＝BD2+CE2，同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．16．（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BD＝CD+DE，又∵△ADE是等腰直角三角形，∴ED＝AD，∴BD＝CD+AD；（2）解：①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ADB＝∠PDC，∴△ABD∽△PCD，∴，又∵AB＝2，AD＝1，∠BAC＝90°，∴CD＝AC﹣AD＝AB﹣AD＝1，BD＝＝，∴，∴PC＝；②当四边形ADPE为正方形时，点P在线段BD上，∵∠ADB＝90°，AD＝1，AB＝2，∴BD＝＝＝，∴PB＝﹣1；如图，当点P在线段BD的延长线上时，同理PB＝BD+PD＝+1．综上所述可得PB的长为+1或﹣1．17．（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°，∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD，AE＝AF，在△AEC与△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（SAS），（2）CE+CO＝CF，如图，过点O作OH∥BC，交CF于H，∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°，∴△COH是等边三角形，∴OC＝CH＝OH，∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°，∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC，在△OHF与△OCE中，，∴△OHF≌△OCE（ASA），∴CE＝FH，∵CF＝CH+FH，∴CF＝CO+CE；（3）作BH⊥AC于H，∵AB＝6，AH＝CH＝3，∴BH＝AH＝3，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，∵OB＝2，∴OH＝＝1，∴OC＝3+1＝4，过点O作ON∥AB，交BC于N，∴△ONC是等边三角形，∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF，∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF，在△ONE与△OCF中，，∴△ONE≌△OCF（ASA），∴CF＝NE，∴CO＝CE+CF，∵OC＝4，CF＝1，∴CE＝3，∴BE＝6﹣3＝3，当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同法可证：OC＝CE+CF，∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，∴CE＝1，∴BE＝6﹣1＝5，综上所述，满足条件的BE的值为：3或5．18．解：（1）①由折叠性质可得∠C＝∠C′＝3