文稿分析教案

微积分B(1)第十次习题课参考答案（第十四周教学目的：本周习题课练习的是广义积分、瑕积分的有关内容，希望掌握被积函数的广义积分的Abel与Dirichlet判别法，掌握广义积分、瑕积分的Cauchy收敛准则，会计ln

ln（1）. dx(p0) （2）. dx(p0) x x（3）.ln(1x)dx(p0) （4）.ln(x1)pdx(p0) x 1 1x（5． )dx 2

lnsin dx； ． 3x(x2)2(x3x(x2)2(x1

|p1|x

|cos(ln （9．

1 dx （10．

(1 )dxxxln 1ln ln 1ln（２．ln

dxx

0x

dx

x

dx．

x xln(1 1ln(1 ln(1 1ln(1

x dx

x dx

x dx． x

dx的敛散性与1 ln(1 0x

dx一致

dx的敛散性与

dx一致．综上可知，当1p2x x1 （４． )dx1ln(1 ) 1x 1x2 2)pdx )pdx1 1x 2 1x1xparctan xparctan

2

I2

2I1x0时q0

xparctan2

x

xparctan2

x

arctanx同阶，故只当p1q1pq2I2x

xparctan2

q0

xparctan2

x

同阶，故只当p1p1I2q0且2pq xparctan综上所述，当

dx或q0且q2p

2

limx2lnsinx0， dx收敛，所1x x02lnsinxdx收敛 2 dx，瑕点x ．因为 且 dx(a)发散，所20lnsin

xlnsin 0x 2 20lnsin

dx发散 00

dxx0,x2,x4 x3(x2)3(x4)1411

11，所以 dx 0

3x(x3x(x2)2(x

5x3(x2)3(x4)33x(x2)2(x

|xa|p1|x

， I0

f(x)dx，Ii

ai2ai1

f

(i

1

f(x)dxa则f(x)dx

I1

n

a1 I0

|xa|p1|x

pn在pi1时收敛，在pi1

Ii(i12,n有唯一奇点ai，其在ai1时收敛，在ai1 与I0类似，In1a1 pn pi1时收敛，在pi1发散n|xa1||x

n（9cos(lnxdxcos 1 01

etdt 2n 12n因为lim 1，所以当n充分大时，有 2 tetdt 2costdt1．根t1

2n21

22n（101 sin

12 1o(u4 u u4u !

o(u4

u44)24 所以1 sin2x24x2o(x2)由

x2(1cos1sin1)

（1）.x3ex2dx 0 xln（3）.0(1x2

xdx ．0 x tx21

1

（1）

x3

dx

2

tedt2

etdt] e

arctanxdx1arctanx

(1

1 1

x(1x2 4 1 xln xln xln（3） (1x2)2dx0(1x2)2dx (1x2)2dx xln

xt1 xt1

tln2 20(1x2

+(11t

(t2)dt

(1

)2dt xln dx xln dx xln (1x2 0(1x2 (1x2 tln dt xln dx (1t2 (1x2由 2lnsinxdx2ln2 dx2ln2dx2ln dx2ln ln22ln

dx2lncos ln2

2lnsin

dxln

x ln2lnsinx ln22lnsintdt2 22lnsinxdx ln2 f(x)dx敛散与

f(x之间的关系

f(x)dx 1

Nf(x1nxnn21 1

f

lim1limf(x)0n

N

f(x在[a,f(x)dx收敛，则

f(x)0 如果将非负条件去掉，是否仍然有

f(x0反证：若

f(x)0不成立，则存在某个正数b，以及一个趋向于正无穷的点列{xnf(xn2bx1a1xn1xn2f(xbf(x)dxxnf(x)dxxkf(x)dx

2b2nb(当n k1xk k因此 f(x)dx发散

f(x)dx

f(x)=0

f(x)b0,若极限小于零,则考虑f(xXax f(x)2，因此有af(x)dxaf(x)dxXf(x)dx

f(x)dx (xX2x，得 f(x)dx发散 f(x)dxf(x在[a

)上单调，证明：

f(x)=0 f(x在[af(x0（x0[af(x00xx0f(xf(x00x f x

f(x)dx

f(x)dxf(x0)(xXf(x)dx 令x，得 f(x)dx发散

3

f(x)=0f(x)dxf(x在[a

limxf(x)=0 f(x在[af(x0 f(x)dx收敛，则0Xax2X时，|xf(t)dt|，即xf(t)dt 又f(x)[a)上单调递减，有

22f(x)2

f(t)dt0xf(x2limxf(x)=0f(x在[a上连续可微，f(x)dx，f(x)dxlimf(x)=0 证明：由xf(x)dxf(xf(a，以及f(x)dxlimf(x 由于

f(x)dx