2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.2平面与平面垂直的判定5作业含解析新人教版必修220220226144

PAGEPAGE7平面与平面垂直的判定[基础巩固]1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案：D2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2).∴tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).答案：C3．(2016·日照高一)已知A是锐二面角α­l­β中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝eq\r(3)，点A到l的距离为2，则二面角α­l­β的平面角的大小为________．解析：过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由于AB⊥β，则△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角α­l­β的平面角．sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2)，因此∠ACB＝60°，即二面角α­l­β的平面角是60°.答案：60°[能力提升]1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四种说法：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，β⊥α，则a∥β；③若a⊥β，β⊥α，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则β⊥α.其中正确的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①中可能b∥α或b⊂α；②中可能有a∥β，a⊂β或a与β相交；③中可能a∥α，或a⊂α；④正确．答案：B2．(2016·吉林一中)在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析：过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.答案：A3．已知α­l­β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B∉l，设直线AB与α、β所成的角分别为θ1，θ2，则()A．θ1＋θ2＝90° B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90° D．θ1＋θ2<90°解析：如图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.答案：C4．如图，在三棱锥P­ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：平面PAB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．答案：D5．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(4)解析：命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α，但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m，不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β，但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面．答案：D6.(2016·江西省南昌三中月考)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)解析：由题意可知PA在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥PA，又OM不在平面PAC内，所以MO∥平面PAC，②正确；当OC与AB不垂直时，推不出OC⊥平面PAB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.答案：②④7．三棱锥P­ABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝eq\r(2)a.则平面ABC与平面PAC的位置关系是________．解析：如图，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，PO＝eq\f(\r(2),2)a，PB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC.答案：垂直8.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝eq\r(3)BC，将Rt△ABE沿BE边折起，点A在平面BCDE上的射影为点D，在翻折后的几何体中有如下结论：①AB与DE所成角的正切值是eq\r(2)；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直线BA与平面ADE所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).其中正确的结论有________．(填序号)解析：由题意可得翻折后的几何体如图所示．对于①，因为BC∥DE，所以∠ABC即为AB与DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝eq\r(2)a，BC＝a，所以tan∠ABC＝eq\r(2)，故①正确；②明显错误；对于③，因为AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因为DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正确；对于④，易知∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝eq\r(3)a，BE＝a，所以sin∠BAE＝eq\f(\r(3),3)，故④正确．答案：①③④9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥证明：(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C所以A1F⊥B1C因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1所以CC1⊥A1F又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C所以A1F⊥平面BCC1B1由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥又AD⊂平面ADE，A1F⊄所以A1F∥10．(2015·山东节选)如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．解：作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NH.由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC，又FC∩AC＝C，所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH，所以∠MNH即为所求的角．在△BGC中，MH∥BG，MH＝eq\f(1,2