2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.2平面与平面垂直的判定1作业含解析新人教版必修220220226140

PAGEPAGE8平面与平面垂直的判定基础巩固一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②[答案]B[解析]对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．[点评]根据二面角的相关概念进行分析判定．2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有1个 B．有2个C．有无数个 D．不存在[答案]C[解析]经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．3．以下三个命题中，正确的命题有()①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]B[解析]仅②正确．4．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．5．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°[答案]D[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.6．(2015·福建泉州质量检测)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC[答案]C[解析]可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．二、填空题7．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．[答案]3[解析]∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证：平面PAB⊥平面PAC．8．如下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1[答案]1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∴C1F⊥EF，CF⊥∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.三、解答题9．(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.[分析]本题可以根据已知条件证明AB⊥平EFG，然后利用MN∥AB得到平面EFG⊥平面EMN.[证明]因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD．又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△PDO中，tan∠POD＝eq\f(PD,OD)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).能力提升一、选择题1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直[答案]B[解析]由题意，m与α斜交，令其在α内的射影为m′，则在α内可作无数条与m′垂直的直线，它们都与m垂直，A错；如图示(1)，在α外，可作与α内直线l平行的直线，C错；如图(2)，m⊂β，α⊥β.可作β的平行平面γ，则m∥γ且γ⊥α，D错．2．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是()A．正三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形[答案]A[解析]设正方形边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(CO2＋AO2)＝eq\r(\f(\r(2),2)2＋\f(\r(2),2)2)＝1，则△ABC是正三角形．3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A．相等 B．互补C．互余 D．无法确定[答案]B[解析]如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面[答案]A[解析]由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．二、填空题5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq\r(3)，则二面角P－AB－C的大小为________.[答案]60°[解析]取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.6．(1)若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是________.(2)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角大小关系为________.[答案](1)相等或互补(2)不定[解析](2)易误答相等或互补，想象门的开关，构造符合题意的模型即可．三、解答题7．(2015·湖南卷)(本小题满分12分)如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1[答案](Ⅰ)略；(Ⅱ)eq\f(\r(6),12)[分析](Ⅰ)首先证明AE⊥BB1，AE⊥BC，得到AE⊥平面B1BCC1，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)设AB的中点为D，证明角∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1[解析](Ⅰ)如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.(Ⅱ)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA所以A1D＝CD＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)，在Rt△AA1D中，AA1＝eq\r(A1D2－AD2)＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，所以FC＝eq\f(1,2)AA1＝eq\f(\r(2),2)，故三棱锥F－AEC的体积V＝eq\f(1,3)SAEC×FC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),12).8．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝eq\r(3).(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A－BE－P的大小．[解析](1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是C