2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.1直线与平面垂直的判定1作业含解析新人教版必修220220226135

PAGEPAGE8直线与平面垂直的判定基础巩固一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个C．4个 D．5个[答案]C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．(0°，90°) B．[0°，90°]C．(0°，90°] D．[0°，180°][答案]B[解析]由线面角的定义知B正确．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1A．1 B．2C．3 D．6[答案]B[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA14．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40° B．50°C．90° D．150°[答案]B[解析]根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.5．(2015·江西新余一中高一月考)给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D[解析]设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．二、填空题7．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________.[答案]垂直[解析]取AC中点E，连BE、DE.由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．因此，AC⊥BD．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________.[答案]45°[解析]如图，设C在平面α内的射影为O点，连结AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝eq\r(2)，∴CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2).∴sinCMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMO＝45°.三、解答题9.如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD．[分析]要证AH⊥平面BCD，只需证AH垂直于平面BCD内两条相交直线即可．当条件中有线段相等时，证明线线垂直可以考虑等腰三角形的性质．[证明]取AB的中点F，连接CF、DF.∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB．∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD．又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD．[点评]垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线线垂直，要证线线垂直，可证线面垂直．关键是在平面内找出(或作出)与已知直线垂直的直线，利用等腰三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法．10.如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．(1)求证：PM⊥平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．[解析](1)证明：∵PA＝PC，M为AC的中点，∴PM⊥AC．①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AM＝MC＝MB＝eq\f(1,2)AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5.PM＝eq\r(PC2－MC2)＝eq\r(132－52)＝12.∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB．②由①②可知PM⊥平面ABC．(2)解：∵PM⊥平面ABC，∴MB为BP在平面ABC内的射影，∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝eq\f(PM,MB)＝eq\f(12,5).能力提升一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1A．ACB．BDC．A1D1D．A1[答案]B[解析]∵BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A＝A，∴BD⊥平面ACC1又∵CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE为直线AD与平面BB1C设各棱长为a，则AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心 B．内心C．垂心 D．重心[答案]C[解析]∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．4．如图，ABCD－A1B1C1D1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°[答案]D[解析]∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角．又△B1BC为等腰直角三角形，故∠BCB1＝45°.即异面直线AD与CB1所成的角为45°.二、填空题5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________.[答案]菱形[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC．又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC．又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．6．(2013·山东)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________.[答案]eq\f(π,3)[分析]作出PA与平面ABC所成的角，再求解即可．[解析]设三棱柱的高为h，则eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×h＝eq\f(9,4)，解得h＝eq\r(3).设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝eq\r(3)，AQ＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝eq\r(3)，所以∠PAQ＝eq\f(π,3).三、解答题7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3eq\r(3)，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．[解析](1)证明：∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′.又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．(2)如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E.∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE.又∵BC′∩C′D＝C′，∴AE⊥平面BC′D．连接BE，则BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直线AB与平面BC′D所成的角．∵DA⊥AB，DA⊥BC′，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′.在Rt△AC′B中，AC′＝eq\r(AB2－BC2)＝3eq\r(2).在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3eq\r(3).在Rt△C′AD中，由面积关系，得AE＝eq\f(AC′·AD,C′D)＝eq\f(3\r(2)×3,3\r(3))＝eq\r(6).∴在Rt△AEB中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(6),3\r(3))＝eq\f(\r(2),3)，即直线AB与平面BC′D所成角的正弦值为eq\f(\r(2),3).8．(2015·江西月考)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、eq\f(1,2)，AP＝2，E、F依次是PB、PC的中点．(1)求证：PB⊥平面AEFD；(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．[解析](1)证明：∵PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、eq\f(1,2)，AP＝2，且PA⊥平面ABCD，∴AB＝2，AD＝4.∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB．∵E是PB的中点，AP＝AB，∴AE⊥PB．又AE，AD⊂平面AEFD，AE∩AD＝A，∴PB⊥平面AEFD．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，取PA的中点G，CD的中点H