2参数方程知识讲解及典型例题

参数方程一、定义：在取定的坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x、y都是某个参数xf(t)t的函数，即yf(t)，此中，t为参数，而且关于t每一个同意值，由方程组所确立的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接表现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别表现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：xrcos特别：圆心是（0,0），半径为r的圆：rsiny一般：圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：xx0rcosyy0rsin（为参数，的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：22（1）x+y的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+1t21y=3siny=cosy=t+t2总结：参数方程化为一般方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：xacos（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）ybsin注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个齐心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：xx0acosyy0bsinx2y2Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。36203、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在xasec（为参数，代表离心角），x轴上的双曲线：btany中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：xx0asecyy0btan4、抛物线的参数方程：极点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x2pt2y2pt（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联马上可获得。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点

P0（x0，y0），倾角为

的直线，

P是直线上随意一点，设

P0P=t，P0P

叫点P到定点

P0

的有向距离，在

P0双侧

t

的符号相反，直线的参数方程xx0

tcosyy0

tsin（t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：①t的符号相关于点P0，正负在P0点双侧②｜P0P｜=｜t｜直线参数方程的变式：xx0at，但此时t的几何意义不是有向距离，只有yy0bt当t前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，因此，将上式进行整理，得xx0a(a2b2t)a2b2，让a2b2t作为t，则此时t的几何意义是有yy0b(a2b2t)a2b2向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4t，求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为x12t(t为参数)，则直线的斜率为（）y23tA．2B．2C．3D．333222．以下在曲线xsin2(为参数)上的点是（）ycossinA．(1,2)B．(3,1)C．(2,3)D．(1,3)2423．将参数方程x2sin2为参数)化为一般方程为（）ysin2(A．yx2B．yx2C．yx2(2x3)D．yx2(0y1)4．化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（）A．x2y20或y1B．x1C．x2y20或x1D．y15．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A．(2,)B．(2,)C．(2,2)D．(2,2k),(kZ)33336．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题x34t(t为参数)的斜率为______________________。1．直线45ty2．参数方程xetet(t为参数)的一般方程为__________________。y2(etet)3．已知直线l1:x13t4y5订交于点B，又点A(1,2)，则y2(t为参数)与直线l2:2x4tAB_______________。x21t4．直线2(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为______________。11t2三、解答题1．已知点P(x,y)是圆x2y22y上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若xya0恒建立，务实数a的取值范围。x1t2．求直线l1:(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，及点Py53t与Q(1,5)的距离。3．在椭圆x2y21上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。1612[综合训练B组]一、选择题1．直线l的参数方程为xa(t为参数)lP1对应的参数是t1，则点P1与P(a,b)t，上的点ybt之间的距离是（）A．t1B．2t1C．2t12D．t122．参数方程为xt1t(t为参数)表示的曲线是（）y2A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线x11t3．直线2(t为参数)和圆x2y216交于A,B两点，y333t2则AB的中点坐标为（）A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)4．圆5cos53sin的圆心坐标是（）A．(5,4)B．(5,3)C．(5,)D．(5,5)3335．与参数方程为xt(t为参数)等价的一般方程为（）y21tA．x2y21B．x2y21(0x1)44C．x2y21(0y2)D．x2y21(0x1,0y2)446．直线x2t(t为参数)被圆(x3)2(y1)225所截得的弦长为（）y1tA．98B．401C．82D．93434二、填空题1．曲线的参数方程是x11为参数,t0，则它的一般方程为__________________。t(t)y1t2x3at2．直线1(t为参数)过定点_____________。y4t3．点P(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点，则x2y的最大值为___________。4．曲线的极坐标方程为tan1，则曲线的直角坐标方程为________________。cos5．设ytx(t为参数)则圆x2y24y0的参数方程为__________________________。三、解答题1．点P在椭圆x2y21上，求点P到直线3x4y24的最大距离和最小距离。1692．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，6（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆x2y24订交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。极坐标与参数方程练习题答案[基础训练A组]一、选择题1．D2．B3．C4．C5．C6．C二、填空题1．5x2y22)354．142．41,(x．4162三、解答题1．解：（1）512xy51；（2）a212．433．455[综合训练B组]一、选择题1．C2．D3．D4．A5．D6．C二、填空题1．yx(x2)2(x1)2．(3,1)3．224．x2y(x1)