清华大学电路原理课件-19

第19章非线性电路简介19.1非线性电阻的伏安特性19.2非线性电阻的串联、并联电路19.4小信号分析方法19.3非线性电阻电路的方程19.6非线性电阻电路方程的数值求解方法——牛顿‒拉夫逊法19.5非线性电阻电路解答的存在与唯一性19.7用友网络模型求解非线性电阻电路本章重点19.8非线性动态电路元件19.9二阶非线性动态电路的状态方程19.10非线性动态电路方程的数值求解方法本章重点

非线性电阻电路的方程非线性电阻的伏安特性

小信号分析方法返回目录非线性动态电路的方程

非线性动态元件的伏安特性非线性动态电路的数值求解19.1非线性电阻的伏安特性一、线性电阻元件（linearresistor）二、非线性电阻元件（nonlinearresistor）+-ui电路符号

u=f(i)i=g(u)伏安特性（Volt-amperecharacteristic）iuPuiuiR+-例1隧道二极管+_uiiu0给定一个电压，有一个对应的电流；而给定一个电流，最多可有3个对应的电压值。即i=f(u)。称为“压控型”或“N型”。例2充气二极管+_ui例3整流二极管+_ui-ISui伏安特性给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压，最多可有3个对应的电流值。即u=f(i)。称为“流控型”或“S型”。b>0IS>0b：与电荷、温度有关IS：反向饱和电流式中ui0伏安特性iu三、非线性电阻的静态电阻RS和动态电阻Rd静态电阻（staticresistance）动态电阻（dynamicresistance）iuP0

（1）静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点位置不同时，RS与Rd均变化。（2）RS反映了某一点时u与i的关系，而Rd反映了在某一点u的变化与i的变化的关系，即u对i的变化率。（3）对“S”型、“N”型非线性电阻，下倾段Rd为负，因此，动态电阻具有“负电阻”性质。ui0ui0说明含有非线性电阻的电路都是非线性电路。KCL和KVL对非线性电路都适用。注意：叠加定理对非线性电路是不成立的。返回目录19.2非线性电阻的串联、并联电路一、非线性电阻的串联在每一个i下，图解法求u，得一个交点，将一系列交点连成曲线即得串联等效电阻的伏安特性（仍为非线性）。ui0i1i+

+

---+

ui2串联电路电流相等，总电压等于各分电压之和。二、非线性电阻的并联同一电压下将电流相加可得并联等效电阻的伏安特性。iuoi+

+

---+

ui1i2u1u2并联电路电压相等，总电流等于各分电流之和。u=f

(i)P工作点（operatingpoint）三、含有一个非线性电阻元件电路的求解用图解法求解非线性电路（nonlinearcircuit）uS→P→I0→u1u2I0uSu1=iR1u2=f2(i)u2u1u1=iR1，u2=f2(i)→u=

f(i)ui0+u1_+_u2i+_uSR1R2+_u其特性为一直线。线性含源电阻网络i+-u2ab也可先用戴维南等效电路化简，再用图解法求解。两曲线交点Q即为所求解答，u1则可由下式求得：ai+-u2bR1+US--+u1uiUSu2=f(i)0返回目录建电路方程元件性能非线性电路的连接KCL，KVL

例1已知i1=u1,i2=u25,i3=u33，求

u。i1+i2+i3=0u1+u25+u33=0u-2+(u-1)5+(u-4)

3=0u19.3非线性电阻电路的方程非线性电阻是压控电阻，列KCL非线性代数方程+_2V+_1V+_4VR1R2R3+_u1+_u2+_u3i1i2i3u例2G1和G2为线性电导，非线性电阻为压控电阻。列节点方程。解++++----则节点方程为++++----i3=il2u3=u例3已知u3=20i31/3,

求节点电压

u。+++-R1u1i1R2u2--i2i3il1il2u非线性电阻为流控型电阻，则列KVL方程。也可以先将线性部分做戴维南等效其中U0=US

R2/(R1+R2),R=R1R2/(R1+R2)由此得U0=Ri3+20i31/3i3u3=uR1R2R3US+_u3i3RR3U0+_u3i3u3=20i31/3返回目录已知图中Us为直流电源，us(t)为交流小信号电源，Rs为线性电阻，任何时刻US>>|uS(t)|。非线性电阻的伏安特性为i=g(u)。求u(t)和i(t)。19.4小信号分析（small-signalanalysis）方法由KVL得方程-++iuRSuS(t)Us-分析：第一步：不考虑uS(t)，即uS(t)=0，US作用。P点称为静态工作点，表示电路没有小信号时的工作情况。I0，U0同时满足i=g(u)US=

RSi+uI0=g(U0)US=

RSI0+U0即用图解法求u(t)和i(t)。iui=g(u)I0U0USUS/RSPORSRUS+_ui第二步：US0，uS(t)0∵|uS(t)|<<US∴u(t)和i(t)必定在工作点附近。可以写成u(t)=U0+u(t)i(t)=I0+i(t)（u(t)和i(t)为信号电压引起的偏差，相对于U0和I0是很小的量）几何意义：用过P点的切线代替曲线。由i=g(u)∵I0=g(U0)得泰勒（Taylor）级数展开，取线性项。

US+uS(t)=

RS[I0+i(t)

]+U0+u(t)得US=

RSI0+U0直流工作状态上式表示工作点处由小信号产生的电压和电流的关系。代入方程将u(t)=U0+u(t)i(t)=I0+i(t)u(t)=uS(t)•Rd/(RS+Rd)i(t)=uS(t)/(RS+Rd)即可求出工作点处由小信号产生的电压和电流。，画小信号工作等效电路。据式+_uS(t)RS+_u

(t)i(t)得第三步：电路中总的电压和电流是两种情况下的代数和。u(t)=U0+u(t)i(t)=I0+

i(t)讨论：分析时分两步①uS(t)=0，US0②US0，uS(t)0叠加结论：非线性电路叠加原理不适用。例已知e(t)=7+EmsinwtV，w=100rad/s，Em<<7V，R1=2。r2:u2=i2+2i23r3

:u3=2i3+i33求电压u2和电流i1，

i2，

i3。+_e(t)r2r3+_u2+_u3i2i3R1i1第一步:直流电压单独作用，求解静态工作电压，电流。2i10+u20=7u20=

Uu302(i20+i30)+i20+2i203=7i20+2i203=2i30+i303

解得

i20=i30=1Ai10=2A

u20=u30=3V+_7VR2R3+_u20+_u30i20i30R1i10第二步：求直流工作点下两个非线性电阻的动态电阻。第三步：画出小信号工作等效电路，求u，

i。+_Emsinwt75+_u2+_u3i2i32i1i1=Emsinwt/(2+5//7)=0.2033EmsinwtA

i2=i15/12=0.0847EmsinwtA

i3=i17/12=0.1186EmsinwtA

所求的电流，电压:i1=2+0.2033EmsinwtA

i2=1+0.0847EmsinwtA

i3=1+0.1186EmsinwtA

u2=3+R2di2=3+0.5932EmsinwtA

返回目录19.5非线性电阻电路解答的存在与唯一性线性电路一般有唯一解。非线性电阻电路可以有多个解或没有解。例1i+-ud+-USRRi+ud

=USi=f(ud)USRUSiu0i=f(ud)ABC有3组解,每一组表示电路的一个工作点解例2i+-uDIS-I0uiPIS1IS2当IS>-

I0时有唯一解当IS<-I0时无解非线性电阻电路可以有多个解或没有解，这意味着给定的电路模型不足以确定其唯一的工作点或模型中存在有互相矛盾的假设。严格渐增电阻特性的定义(u2-

u1)(

i2-i1)>C>0u=f(i)伏安特性严格渐增非线性电阻电路有唯一解的一个定理（1）电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的，且每个电阻的电压u

时，电流分别趋于

。（2）电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅由独立电流源构成的割集。u1u2i1i2ui0返回目录19.6非线性电阻电路方程的数值求解方法——牛顿-拉夫逊法（Newton-RaphsonAlgorithm）一、具有一个未知量的非线性代数方程求解0xf(x)设方程f(x)=0解为x*，则f(x*)=0。x*为f(x)与

x轴交点。基本思路：线性化。具体做法：有指导的猜试、迭代。设

x0f(x0)=0x0就是解设

x1f(x1)=0x1就是解•••f(xk)<停止实际处理:xk

－

xk-1<

xk

就是解。利用牛顿-拉夫逊法求x*步骤如下。（1）选取一个合理值x0，称为迭代初值。此时x0一般与x*不等。（2）迭代。取x1=x0+x0作为第一次修正值，x0充分小。将f(x0+x0)在x0附近展开成台劳级数：（3）若xk+1－

xk

<则xk+1就是方程的解x*。•••迭代公式几何解释：将f(x)在x0处线性化。取线性部分，并令xk+1-

xk

<k=k+1k=0x0NoYesx*=xk+1程序流程0xf(x)叠代过程的几何解释：收敛性：与函数本身有关，与初值有关。切线解：列节点方程例+IS1UnI3U3R2取，迭代结果如下表。k012340-20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001经四次迭代后，得注意：初估值选择不好会产生振荡（迭代不收敛）。二、具有多个未知量的非线性方程组的求解设n个未知量一般表示为设第k次迭代时若，则即为所求的一组解答。下面分析每次修正值xj(j=1，2，，n)的计算对先选一组初估值进行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。若，则进行修正，寻找将在xik附近展成台劳级数，取线性部分，并令其等于零，得简记为：

J称为雅可比矩阵得方程组的解Xk+1写成矩阵形式为：返回目录19.7用友网络模型求解非线性电阻电路基本思想：

找出由k次迭代值求第k+1次迭代值的线性化模型。i=f(u)令uk，uk+1分别为第k次和第k+1次的电压初值，其对应的电流分别为+ui与牛顿法的区别：

牛顿法：对非线性方程不断线性化。友网络：对非线性电阻伏安特性不断线性化。把在处展开成台劳级数，取线性部分，即将非线性电阻在处线性化，式中为非线性电阻在点处的动态电导。得得将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型代替，就可得到和原电路对应的“友网络模型”。逐次迭代计算，即可得到所要求的解。非线性电阻在第k+1次迭代时的“线性化”模型。+-在进行第k+1次迭代时，是已知的。上述关系可用如下等效电路来描述：解

画出友网络模型。+-unk+1例+-IS1UnI3U3R2列节点方程（k+1次迭代时）：将上述关系代入前式，得已知u2i22几何解释ui0u0i00u1i11P切线小结（1）友网络是非线性电阻电路第k+1次迭代计算时的线性化模型，是线性电路。（2）友网络模型和非线性电阻电路具有相同的拓扑结构，每次迭代时拓扑结构不变，仅需改变非线性电阻线性化参数值。返回目录19.8非线性动态电路元件一、非线性电容:q与u的关系不成正比压控电容

q=f(u)q可以用u的单值函数表示，b.荷控电容

u

=h(q)u可以用q的单值函数表示，c.

单调型ui+-q1.分类2.非线性电容的静态电容CS和动态电容Cduquq库伏特性p静态电容动态电容3.压控电容q=f(u)的u、i关系Cd为动态电容，是电压u的函数

4.非线性电容的储能0quQ5.非线性电容示例LRCU0+_uS非线性电容特性改变工作点U0即可改变Cd以达到谐振。二、非线性电感:与i的关系不成正比流控电感

=h(i)

可以用i的单值函数表示，b.链控电感i

=f(

)i可以用的单值函数表示，c.

单调型ui+-1.分类2.非线性电容的静态电容CS和动态电容Cdii链流特性p静态电感动态电感3.流控电感=f(i)的u、i关系Ld

为动态电感，是电流i的函数

4.非线性电感的储能0i返回目录一、动态电路的状态方程19.9非线性动态电路的状态方程若方程右端函数项不显含时间变量t上述方程称为自治方程，对应电路称为自治电路（autonomouscircuit）。自治(autonomous)方程：凡电路元件参数不随时间变化，在恒定激励或零输入情况下电路的状态方程都是自治方程。非自治(nonauton