条件异方差模型-9

1第六章条件异方差模型

EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。2

§6.1自回归条件异方差模型自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。

ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？

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恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。

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从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻

t的ut的方差(=t2

)依赖于时刻(t1)的扰动项平方的大小，即依赖于

ût2-1

。

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6.1.1ARCH模型

为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(6.1.1)

如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：

(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。6

在这个模型中，变量yt的条件方差为

（6.1.3）其中：var(ytYt-1)表示基于(t-1)时刻的信息集合Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}的yt的条件方差，

假设在时刻

(t1)

所有信息已知的条件下，扰动项

ut的条件分布是：

~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。7

由于(6.1.7)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：通常用极大似然估计得到参数0,1,2,,k,0,1的有效估计。

容易加以推广，ARCH

(p)过程可以写为：

(6.1.8)这时方差方程中的(p+1)个参数0,1,2,,p也要和回归模型中的参数0,1,2,,k一样，利用极大似然估计法进行估计。8

如果扰动项方差中没有自相关，就会有

H0：这时

从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，ût表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。9

在ARCH(p)过程中，由于ut是随机的，ut2不可能为负，所以对于{ut}的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使ut2协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果i（i=1,2,…,p）都非负，式（6.1.9）等价于1+2+…+p1。106.1.2ARCH的检验

下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCHLM检验和残差平方相关图检验。

1.ARCHLM检验

Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。11ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：

式中ût是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2统计量是Engle’sLM检验统计量，它是观测值个数T乘以回归检验的R2

；12

普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustomTestWizard…图6.4普通方程的ARCH检验列表132.残差平方相关图

显示直到所定义的滞后阶数的残差平方ût2的自相关系数和偏自相关系数，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关系数应为0，且Q统计量应不显著。可适用于LS，TSLS，非线性LS方程。在图6.4中选择ResidualsTests/CorrelogramSquaredResiduals项，它是对方程进行残差平方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，单击OK按钮，得到检验结果。

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例6.1沪市股票价格指数波动的ARCH检验

为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1996年1月1日至2006年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{ln(sp)}作为因变量进行估计。15

由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（RandomWalk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：

(6.1.12)

首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(6.1.13)

(2.35)(951)

R2=0.997

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可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。17

图6.1

股票价格指数方程回归残差

观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。18

因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCHLM检验结果如下。此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。

可以计算式（6.1.26）的残差平方ût2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。19

例6.2中国CPI模型的ARCH检验本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月～2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对cpit和m1rt进行了调整，结果如下：

t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)

R2=0.99对数似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12

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这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。21

从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=1时的ARCHLM检验结果：

因此计算残差平方ût2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：

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从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型（6.1.14），结果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99对数似然值

=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。23

再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的残差序列的条件异方差性。式（6.1.15）的残差平方相关图的检验结果为：

自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。

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6.1.3

GARCH模型

扰动项ut的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。因此必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

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在标准化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：

(6.1.18)其中：xt是

(k+1)×1维外生变量向量，是(k+1)×1维系数向量。

(6.1.17)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，式（6.1.18）也被称作条件方差方程。26

(6.1.18)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：

1．常数项（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。

3．上一期的预测方差：

t2-1

（GARCH项）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。

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在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t

时期的对数似然函数为：(6.1.19)

其中(6.1.20)

这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。28

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：

1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.18）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：

（6.1.21）我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。29

2．设vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：

（6.1.22）因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是

加

的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。30

方差方程的回归因子

方程(6.1.18)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：

（6.1.23）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：31

高阶GARCH(p,q)模型

高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(q,p)。其方差表示为：（6.1.24）

这里，q是GARCH项的阶数，p是ARCH项的阶数，p>0并且,

(L)和(L)是滞后算子多项式。

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为了使GARCH(q,p)模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH(∞)模型（6.1.25）的所有系数都必须是正数。只要(L)和(L)没有相同的根并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1,1)模型

（6.1.26）这些条件要求所有的3个参数都是非负数。336.1.4IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的参数和等于1，并且去掉常数项：（6.1.27）其中（6.1.28）这就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的单整GARCH模型（IntergratedGARCHModel，IGARCH）。346.1.5约束及回推

1．约束在估计一个GARCH模型时，有两种方式对GARCH模型的参数进行约束（restrictions）。一个选择是IGARCH方法，它将模型的方差方程中的所有参数之和限定为1。另一个就是方差目标（variancetarget）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常数项设定为GARCH模型的参数和无条件方差的方程：（6.1.29）这里的是残差的无条件方差。352．回推在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子（6.1.30）其中：ût

是来自均值方程的残差，是无条件方差