2022年湖南省益阳市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年湖南省益阳市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

4.设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)

5.图示悬臂梁，若已知截面B的挠度和转角分别为vB和θB，则C端挠度为()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

6.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

7.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

8.

9.

10.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.211.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

12.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

13.

14.A.A.1/3B.3/4C.4/3D.315.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关16.若f(x)为[a，b]上的连续函数，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不确定

17.

18.

19.

20.设函数y=f(x)的导函数，满足f'(-1)=0，当x＜-1时，f'(x)＜0；x＞-1时，f'(x)＞0．则下列结论肯定正确的是()．A.A.x=-1是驻点，但不是极值点B.x=-1不是驻点C.x=-1为极小值点D.x=-1为极大值点二、填空题(20题)21.

22.设，则y'=______。23.24.25.26.27.28.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.

29.

30.设，将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=______.

31.32.

33.

34.

35.36.37.设z=sin(x2y)，则=________。

38.

39.

40.三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

44.

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.求微分方程的通解．

47.

48.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．49.50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.52.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．53.

54.

55.

56.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．57.证明：58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.

62.

63.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

64.

65.

66.

67.设y=3x+lnx，求y'．

68.

69.某厂要生产容积为Vo的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

70.

五、高等数学(0题)71.极限

=__________.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B

2.B解析：

3.C

4.A

5.C

6.B如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

7.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

8.A

9.B解析：

10.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

11.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

12.C

13.B

14.B

15.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

16.C

17.B

18.C

19.D

20.C本题考查的知识点为极值的第一充分条件．

由f'(-1)=0，可知x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞1，由极值的第一充分条件可知x=-1为f(x)的极小值点，故应选C．

21.-2-2解析：22.本题考查的知识点为导数的运算。23.－24．

本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

24.

本题考查的知识点为定积分的换元法．

解法1

解法2

令t＝1＋x2，则dt＝2xdx．

当x＝1时，t＝2；当x＝2时，t＝5．

这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化．

25.解析：

26.27.e；本题考查的知识点为极限的运算．

注意：可以变形，化为形式的极限．但所给极限通常可以先变形：

28.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x＜-2时,f'(x)＞0；当-2＜x＜2时,f'(x)＜0;当x＞2时,f’(x)＞0,因此x=2是极小值点，

29.

30.

31.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

32.

33.x

34.

35.

本题考查的知识点为不定积分的换元积分法．

36.1/6

本题考查的知识点为计算二重积分．

37.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

38.ln2

39.11解析：

40.1本题考查了一阶导数的知识点。

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％42.函数的定义域为

注意

43.

44.

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

53.

则

54.

55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.

57.

58.

列表：

说明

59.由二重积分物理意义知

60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表