离散数学第五章第一节

第五章代数系统

人们在研究现实世界中的现象或过程时，常常要将它们抽象为一定的数学模型。选择适当的数学结构在建立数学模型中占有重要的地位。本章讨论的代数系统是集合S上定义了关系R而形成的简单关系结构<S,R>的推广。它首先把关系R限制为集合S上的一个函数f，进而再推广到S上两个(或更多个)函数f,g所形成的结构<S,f,g>。考察这些函数f,g在S上的运算性质和联系，就形成了各类代数系统。1第五章目录第5-1讲代数系统的概念第5-2讲半群和群第5-3讲阿贝尔群和循环群第5-4讲陪集与拉格郎日定理第5-5讲同态与同构第5-6讲环和域简介2第5-1讲代数系统1.n元运算2.代数系统的概念3.二元运算的性质4.二元运算的特异元素5.课堂练习6.第5-1讲作业31、n元运算

为定义代数系统，先引入运算的概念。

例如f：NNN，f(<x,y>)=x＋y（这里＋表示普通的加法运算）就是自然数集合N上的二元运算。而普通的减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得负数，而负数不是自然数。这时称N对减法运算不封闭。定义1对集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该运算是封闭的。验证一个运算是否为集合A上的n元运算主要考虑两点：（1）A中任意n个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。（2）A中任意n个元素的运算结果都属于A，即A对该运算是封闭的。

42、代数系统的概念例1

设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下：xy=(xy)mod5,x,yS则<S,>构成一个代数系统。运算还可用表格的形式来定义，称为运算表：定义2一个非空集合A及定义在A上的k个运算f1，f2，...fk所组成的系统就称为一个代数系统，。记作<A，f1，f2，...fk>。从表中可以看出，运算在S上是封闭的，且满足交换律和结合律。有类似性质的代数系统如<I,+>,<I,*>,<(S),>等，这里I表示整数集合，(S)表示集合S的幂集。而+、*表示通常的加、乘运算。表示并运算。53、二元运算的性质（1）定义4设*为A上的二元运算，如果对任意x,yA,都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。

例如，实数集合上的加法和乘法是可交换的，但减法不可交换。幂集P(A)上的、、都是可交换的，但是相对补运算不可交换。定义3设*是定义在集合A上的二元运算，如果对任意x,yA，都有x*yA，则称运算*在A上封闭。定义5设*为A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称运算*在A上是可结合的。

例如普通的加法和乘法在自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C上都是可结合的。63、二元运算的性质（2）定义6设和*是集合A上的两个二元运算，如果对任意的x,y,zA,有x*(yz)=(x*y)(x*z)(yz)*x=(y*x)(z*x)则称运算*对是可分配的。

例如，实数集R上的乘法对加法是可分配的，而在幂集P（S）上和是互相可分配的。定义7设和*是A上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,yA都有x*(xy)＝x；x(x*y)＝x则称和*满足吸收律。

例如幂集P(A)上的和运算满足吸收律。73、二元运算的性质（3）定义8设为A上的二元运算，如果对于任意的xA都有xx=x，则称该运算适合等幂律。

例如，任何集合A上的并和交运算适合等幂律。如果s中的某些x满足xx=x，则称x为运算的等幂元。

例如，普通数的加法和乘法不适合等幂律，但0是加法的幂等元，0和1是乘法的等幂元。84、二元运算的特异元素（1）定义9设为A上的二元运算，如果存在el(er)A,使得对任意xA都有elx=x（xer=x）则称el(er)是A中关于运算的一个左幺元（右幺元）。若eA关于运算既是左幺元又是右幺元，则称e为A上关于运算的幺元。在自然数集N上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。练习指出幂集P(S)上，运算和运算的幺元。解：

运算的幺元是，运算的幺元是S94、二元运算的特异元素（2）定理1设为A上的二元运算，el,er分别为运算的左幺元和右幺元，则el=er=e，且e为A上关于运算的唯一的幺元。证：因（er为右幺元）el=eler=er（el为左幺元）所以el＝er。令el＝er=e，则e是A中的幺元。假设e’是A中的另一个幺元，则有e‘＝ee’＝e，所以e是A中关于运算的唯一的幺元。练习设S={,,,}，*运算由下表定义,指出*运算是否有左右幺元?解：

和都是S中关于*运算的左幺元,*运算没有右幺元。104、二元运算的特异元素（3）定义10设为A上的二元运算，若存在元素θl（θr）A使得对于任意xA有θlx=θl(x

θr

=θr)则称θl（θr）是A上关于运算的左零元（右零元）。若θA关于运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算的零元。例如自然数集合上0是普通乘法的零元，而加法没有零元。练习指出幂集P(S)上，运算和运算的零元。解：

运算的零元是S，运算的零元是。114、二元运算的特异元素（4）定理2设为A上的二元运算，θl和θr分别为运算的左零元和右零元，则有θl=θr=θ，且θ是A上关于运算的唯一零元。证：设θl和θr分别为运算的左零元和右零元，所以θl=θlθr=θr令θl=θr=θ，则θ是A上关于运算的零元。

假设θ'也是A中的零元，则有θ'＝θθ'＝θ，所以θ是A中关于运算的唯一的零元。定理3设为A上的二元运算，e和θ分别为运算的幺元和零元，如果A至少有两个元素，则eθ。证：用反证法。假设e=θ，则对xA有x=xe=xθ=θ,此式说明A中只有唯一的元素θ,与A中至少含有两个元素矛盾。124、二元运算的特异元素（5）定义11设为A上的二元运算，eA为运算的幺元，对于xA，如果存在yl（yr）使得ylx=e（xyr=e）,则称yl（yr）是x的左逆元（右逆元）。若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。例如，在整数集合Z上加法的幺元是0。对任何整数，它的加法逆元都存在，即它的相反数-x。对于给定的集合和二元运算来说，逆元与幺元及零元不同，如果幺元或零元存在，一定是唯一的。而逆元能否存在，与元素有关。有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素对应着不同的逆元。134、二元运算的特异元素（6）定理4设为A上可结合的二元运算，e为该运算的幺元，对于xA，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y，且y是x的唯一的逆元。证：设yl和yr是x的左右逆元,由ylx=e和xyr=e，得yl=yle=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr令yl=yr=y，则y是x的逆元。假若y'A也是x的逆元，则y'=y'e=y'(xy)=(y'x)y=ey=y所以y是x唯一的逆元。145、课堂练习（1）练习1设代数系统<A,*>，其中A={a,b,c}，A上的二元运算*定义如下表：解：有些运算性质可直接从运算表看出：*运算是封闭的，因为表中每个元素都属于A。*运算可交换，因运算表关于主对角线对称。*运算不等幂，因运算表主对角线有的元素与所在行列表头元素不同。*运算有零元c，因为c所在行列中的元素都是与它相同。*运算有幺元a，因为a所在行列中的元素依次与表头行列一致。a和b均以自身为逆元，因为a、b所在行和列交汇处的元素为幺元。

试分析*运算的封闭性、交换性、等幂性。A中关于*是否有幺元和零元？如有幺元，每个元素是否有逆元？如有，求出逆元。155、课堂练习（2）练习2设Nk={0,1,2,…k-1},在Nk定义运算+k如下：对任意x,yNk解：因为对任意xNk,x+0=x<k,所以x+k0=0+kx=x+0=x，故0是幺元。对任意xNk，令x+