概率论与数理统计习题课2

概率论与数理统计习题课（二）基本内容与重要结论：1.随机变量及其分布函数、分布函数的性质。

2.离散型随机变量及其分布律，几种常见的离散型随机变量及其分布律。3.连续型随机变量及其概率密度，几种常见的连续型随机变量及其概率密度。概率密度的性质，1一般要学会做三类习题：①利用某些已知条件求出随机变量的分布律或密度函数；②利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；③利用分布律或密度函数，求出分布函数。4.二维随机变量及其联合分布函数；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维连续型随机变量及其联合概率密度。5.二维随机变量的边缘分布和条件分布。6.随机变量的相互独立性。7.随机变量函数的分布。2例1.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布。若，则解：从而3

例2.假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1:2。今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律。

分析:根据题意X所有可能的取值为0,1,2,•••,n,而在每个路口遇到绿灯的概率为2/3,并且在不同路口出现红灯或绿灯是相互独立的,因此它与几何分布的随机变量相似。只是当X=n时,表示该汽车在每个路口所遇到的都是绿灯。解:表示汽车在前k个路口均遇到绿灯，而在第k+1个路口遇到红灯，所以事件而4评注：本题求解的一种常见错误是：而可见,为验证分布律是否正确,判断是说明结果有误的一种简便方法。5例3.设随机变量X的绝对值不大于1,P(X=-1)=1/8,P(X=1)=1/4,在事件出现的条件下,X在(-1,1)内任何子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X的分布函数，X取负值的概率。分析：本题给的随机变量X在-1和1两点具有正概率,从该角度看它是离散型的;而在区间(-1,1)内又服从均匀分布,又像是连续的。所以它既非离散也非连续。解:根据假设6再根据乘法法则,即得于是7例4设随机变量X与Y同分布,X的概率密度为又已知事件相互独立,且求常数解依题设,有都不符合题设。8同理,又事件A与B独立,从而所以,评注:最后一步也可直接用加法公式.9例5实验器皿中产生甲、乙两种细菌的机会是相等的,且产生的细菌数X服从参数为的泊松分布.试求:产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率.解:设事件Ak={产生了k个细菌}B={产生了细菌但没有乙类细菌}。10评注：①泊松分布下重温全概率公式.②全概率公式也适于无限划分.11例6在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,据生命表这类人在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参保人在1月1日需交1200元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取20万元赔偿金.求:①保险公司亏本的概率;②保险公司获利不少于100万元的概率.解①以年为单位考虑,保险公司年初总收入为25001200=300万元.12②点评:保险业是概率论的生长点和重要应用领域之一.本例为简化起见,不计利息与管理费.13例7设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。解设随机变量Y是3次独立观测中观测值大于3的次数,则由题意知X的概率密度为本题的知识点是均匀分布与二项分布的结合。14例8某种电子元件在电源电压不超过200伏,200伏至240伏,及超过240伏3种情况下,损坏率依次为0.1,0.001及0.2,设电源电压①此种元件的损坏率;②此种元件损坏时,电源电压在200~240伏的概率.解①设15②注：正态分布下重温全概率公式及贝叶斯公式.此例是研究生入学试题。16例9设顾客到银行窗口等待服务的时间服从指数分布,其密度函数为某顾客在窗口等待服务,如超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,求Y的分布律.解Y的取值为0,1,2,3,4,5.且故Y的分布律为指数分布与二项分布结合17练习某仪器装了3支独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,密度函数试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一支电子元件损坏的概率.答案:1-e-1.

在指数分布下重温独立事件之和的概率的求法.

注:此题也是历史上研究生入学试题.18例10设随机变量(X,Y)的联合分布律为XY-1012a求：①

a值；②(X,Y)的联合分布函数F(x,y);③(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数.19例11设随机变量X的概率密度函数为F(x)是X的分布函数,求Y=F(X)的分布函数.例12在长为a的线段的中点的两边随机地选取两点，求两点间的距离小于a/3的概率。20例13设X和Y

是相互独立的随机变量,X在[0,1]上服从均匀分布,Y的概率密度为①求X

与Y的联合概率密度;②设有a

的二次方程a2+2Xa+Y=0,求方程有实根的概率.例14设随机变量(X,Y)的概率密度为求Z=X-Y的概率密度函数.21例15已知随机变量X1和X