四川大学自动控制原理课件第二章

第二章控制系统的数学描述引言（数学模型的概念和意义）输入输出描述法

数学模型的分类，传递函数，典型环节，

系统的相似性，线性化结构图（方块图）及其等效变换反馈控制系统的传递函数

闭环传递函数，特征多项式与特征方程12.1引言数学模型的定义:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识）类型：动态模型、静态模型动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等系统u(t)y(t)白箱法黑箱法灰箱法+2为何要建立数学模型？例1：椅子问题椅子在不平的地面上是否一定可以放稳？2个简单的静态模型例子：3设地面光滑，椅子腿为A、B、C、D，腿长相等;椅子转动的角度为θ,并定义f(θ)：腿A、C与地面距离之和g(θ)：腿B、D与地面距离之和θADCBADCB∵起码三腿着地，∴必有f(θ)=0或g(θ)=0令h(θ)=f(θ)-g(θ)椅子转动的数学模型，输入θ，输出h，问题：是否有h(θ)=0？设f(0)=0，g(0)≠0，则当θ=0时，h(0)＜0;4结论：即使地面不平，只要地面的曲面是连续变化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。5例2：帆船推力问题航向和风向已知，如何调整风帆角度以获得最大推力？6作用在帆上的力为帆船的数学模型，输入β，输出F2，问题：β=？时F2最大结论：帆与船的夹角=风向与船的夹角的一半时推力最大作用在船上的推力为对F2求导可得αβ风力FF1F2帆思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？7为何要建立控制系统的数学模型？控制装置受控对象检测环节给定信号扰动－反馈信号控制量误差被控量根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控制装置；分析反馈控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校正、综合等。8动态模型例:R-L-C串联网络的数学模型问题：求输入u(t)与输出uc(t)之间的关系。9线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式:系统u(t)y(t)实际系统不可能出现m>n的情况，或者讲系统在物理上不可实现102.2输入输出描述法数学模型的分类:111.传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,

G(s)=Y(s)/U(s)。对于n阶线性定常系统，设初始条件为零，经拉氏变换后注意系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)结构图12∴n阶线性定常系统的输入输出传递函数为根轨迹增益系统增益zi、pi分别为传递函数的零点和极点（zi≠pi）零极点表达形式时间常数表达形式13G(s)U(s)Y(s)传递函数G(s)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应；2.关于传递函数的几点说明是复变量s的真有理分式；只取决于系统或元件的结构和参数，

与输入量无关；与微分方程可相互转换；只适用于线性定常系统反映系统零初始状态下的响应；无零极点相消时传递函数是系统的一种完全描述。14例:R-L-C串联网络的传递函数输入u(t)，输出uc(t)，求传递函数?由输入输出微分方程G(s)U(s)UC(s)153.系统的相似性及非线性系统的线性化例1：RC电路uoui

RC输入输出传递函数为G(s)Ui(s)Uo(s)16例2：小车速度与推力的关系设小车速度为v(t)，推力为F，属于非线性方程，忽略风阻则为线性方程非线性方程的线性化：mFfv17输入输出传递函数为G(s)mFfv18例3：水箱系统H设水箱横截面积为A，则有属于非线性方程非线性方程的线性化：19H输入输出传递函数为G(s)Qi(s)H(s)20结论同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统，这些系统具有相同的输入输出特性；对于不同的实际系统，只要其数学描述相同，则分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。注：上述例子采用的是机理建模方法，但很多实际系统是无法进行机理建模的，而必须借助于“系统辨识”，即通过采集输入输出的实验或运行数据，用一个最接近这些数据的数学方程来代表系统的模型，系统辨识可以离线或在线进行。212.2.3典型环节的传递函数σjω0×××××××××s复平面上

零极点的分布典型环节的零极点主要分布在虚轴及其以左

的复平面上22动态方程：y(t)=Ku(t)传递函数：G(s)=K1、比例（放大）环节比例系数Ku(t)y(t)KU(s)Y(s)G(s)uouiR1++－R0RbF1F2杠杆系统例：其他如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。23比例（P）控制作用误差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式；即时是恒值控制系统，调节过程结束、系统达到稳态后仍有误差（稳态误差≠0）。比例控制受控对象检测环节给定信号扰动－反馈信号控制量误差被控量242、惯性环节

惯性环节u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)很多实际系统都可近似看作惯性环节，如RC电路、炉温系统、水箱系统、汽车的加减速过程等。K=1时的单位阶跃响应曲线T1T2T=2T1=T20.6321.0t0y(t)斜率1/TT=T1特点：T越大，响应速度越慢。253、积分环节积分环节u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)例：特点：只要输入不为零，输出就会变化，输入为零后，输出不再变化；常用来消除跟踪误差。水箱系统hquouiC++－R0Rb26比例+积分（PI）控制作用比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；对于恒值控制系统，积分控制可使误差最终为零，即稳态误差=0。积分控制受控对象检测环节给定信号扰动－反馈信号控制量误差被控量比例控制274、微分环节①理想微分②一阶微分③二阶微分环节uouiR++－CRb特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能注：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常加惯性环节28比例+积分+微分（PID）控制作用

Proportional-Integrel-DerivativeControl

比例控制提供最基本的控制作用；积分控制用来消除稳态误差；微分控制反应误差变化率，具有“超前”或“预测”作用，可抑制被控量的变化。积分控制受控对象检测环节给定信号扰动－反馈信号控制量误差被控量比例控制微分控制295、振荡环节ζ称为阻尼比，

ζ<1时传递函数有一对共轭复数极点，响应为衰减振荡型。ζ：决定振荡幅度

T：决定响应快慢uiuoRLCRLC串联电路单位阶跃响应0tK例：（复阻抗法）继续仿真图30MATLAB仿真结构图31振荡环节的单位阶跃响应（K=1,T=1）ytimeζ=0.1ζ=0.4ζ=0.6ζ=132振荡环节的单位阶跃响应（K=1,ζ=0.6）ytimeT=0.5T=1T=2返回336、纯滞后环节u(t)y(t)τt滞后环节u(t)y(t)例：温控开关期望温度测温元件冷水热水电加热器水箱水温控制系统电功率与温度检测此外如计算机控制、测控卫星、网络控制、过程控制等。滞后时间越大，控制难度越大轧辊厚度检测钢板轧制过程燃气热水器进气与水温冷水热水进气34练习：

B2.9（2），（3）；

B2.12；

B2.14(c)35实验1：典型环节的电模拟（3学时）联系：李亚力老师电气信息学院专业实验楼40385466288→8216，1333096180236例：RC电路的结构图Uo(s)相加点或综合点引出点2.3.1结构图（方块图）及其等效变换uiuoCiRUi(s)I(s)Uo(s)37i1R1U1R2C1C2uouii2例：两级RC网络的结构图

Uo---UiU1I1I2注意：两级RC≠2个单级RC的串联，∵有“负载效应”38串联连接并联连接结构图的等效变换G1(s)+G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)·G2(s)G1(s)G2(s)39反馈连接（重要，很常用）前向通道传递函数开环传递函数G

(s)H

(s)40综合点前移后移引出点后移前移相邻引出点的移动交换或合并相加点相邻引出点之间或综合点之间可任意交换或合并41注意例：化简下面结构图引出点和综合点之间不能交换!G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A42A点后移G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A1/G4G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A43Y(s)G1G2G3G41+G3G4G5G6/G4-G7-R(s)Y(s)G1G2G3G41+G3G4G51+G6G3G4G2G4(1+G3G4G5)-G7Y(s)R(s)反馈公式反馈公式反馈公式Y(s)G1G2G3G4G6/G4-G5-G7-R(s)44课堂练习：通过结构图化简求两级RC网络的输入输出传递函数，并与单级RC网络进行比较。45解：46比较：单级RC网络的传递函数为练习：B2.15(a),(c)472.3.4反馈控制系统的传递函数R(s)：参考输入Y(s)：输出信号B(s)：反馈信号E(s)：跟踪误差G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道传递函数闭环传递函数:Y(s)/R(s),Y(s)/D(s)，E(s)/R(s)等H(s)：反馈支路的传递函数G(s)H(s)：开环传递函数G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)B(s)术语介绍：D(s)：扰动输入48输入信号作用下的闭环传递函数：2.3.4反馈控制系统的传递函数运用反馈公式分母为1+开环传递函数G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-49扰动作用下的闭环传递函数：G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-分母同样为

1+开环传函50闭环系统的误差传递函数：分母同样为

1+开环传函G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)51G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-F(s)复合控制系统的