应用举例（第1课时）解直角三角形的简单应用【知识精讲+高效备课】 九年级数学下册 课件（人教版）

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2.2应用举例第1课时解直角三角形的简单应用学习目标1.会根据切线的性质结合直角三角形的知识解决实际问题.2.能从实际问题中构造直角三角形，进而转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：(1)三边之间的关系：a2+b2=c2

上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.直角三角形五个元素之间的关系：复习回顾“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号成功对接新课引入“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能看到的地球表面最远点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？如图所示，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为1cm，PB＝1cm，则∠AOB＝_____，

＝______OAPB(1)圆的切线有什么性质？(2)在△PAO中，怎样求锐角∠AOB的度数？(3)弧长公式是什么？60°切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径在直角三角形中，已知一锐角，可以求另一锐角度数；已知任意两边，通过边与角的关系，利用锐角三角函数求出一锐角度数.知识联系例：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能看到的地球表面最远点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？利用圆的有关知识解直角三角形典例分析分析：

组合体地球看视线是切线最远点是切点

解：设∠POQ

＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∴弧

PQ的长为：

当飞船在P点正上方时，最远点距离P点约2051km.∵∴α≈18.36°·OCBA1.“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗？（设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，=500km，地球的半径为6370km，cos4.5°=0.997）针对训练解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，∴AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m.这是不存在的.

·OCBA在Rt△OCB中，∠O2.

如图是一个匀速旋转的摩天轮示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80m，最低点C离地面6m，旋转一周所用的时间为6min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2min后，小明离地面的高度是多少米？解：过E作EG垂直于CO的延长线于点G，∠COE=2

×=120°，∴∠GOE=60°.∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）∴小明离地面的高度是：OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.3.如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m60°0.5m3mABCDE60°分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知：DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴CD=AD－AC=1.5m，∴CE=CD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.4.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）G解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴(米).G∴CD=CG+DG=(+1.5)(米)，∴(米).利用解直角三角形解决实物模型问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形问题)；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.归纳小结1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米，那么旗杆的高度约是（）A.12米B.米

C.24米

D.米B当堂巩固2.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A．0组B.1组C．2组D.3组D3.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）BDCAA.100米B.米C.米D.50米B4.一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点B到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面BC的夹角为45°，则这棵大树高是

米.ACB4米45°5.

如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为

m(结果用带根号的数的形式表示).

解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.∴

∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m，设AB′=xm.D′AB′BDC′CFEA30°15m1.(1)小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高；北ABDC20m15mEF南解：过点E作EF∥BC，∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为∴巩固提升(2)小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC长至少应为多少米?AB20m？m北DC南答案：BC至少为1.（8分）（2021•安徽17/23）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．【分析】由四边形AEFD为矩形，可得AD∥EF，则∠BAD＝∠EBA，又AB＝10cm，结合三角函数值可求出AE与BE的长度，又∠ABC是90°，在Rt△BCF中，结合三角函数值可求出BF，CF的长度，由零件的截面面积＝矩形AEFD的面积﹣△ABE的面积﹣△BCF的面积，即可得出结论．感受中考【解答】解：如图，∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10，∠EBA＝53°，∴sin∠EBA=≈0.80，cos∠EBA=≈0.60，∴AE＝8，BE＝6，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，∴sin∠BCF=≈0.80，cos∠BCF=≈0.60，∴BF=，FC

=，∴EF＝6+=，∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×=

，S△ABE＝

，S△BCF＝

，∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝

（cm2）2.（6分）（2021•陕西21/26）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）【分析】本题设AD＝x，在等腰直角三角形ADC中表示出CD，从而可以表示出BD，再在Rt△ABD中利用三角函数即可求出x的长，进而即可求出AB的长度．感受中考【解答】解：在△ADC中，设AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x（16+x），解得：x＝

，∴AB＝2AD＝2×（

）=，∴钢索AB的长度约为（

）m．3.（10分）（2021•青海24/25）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，

≈1.4）【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，则EM＝BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CE，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cos∠A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD•sin∠D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD•cos∠D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝EM，∴四边形BEMC是平行四边形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM≈1.4．答：B与C之间的距离约为1.4米．4.（8分）（2021•江西20/23）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，

≈1.414）【解答】解：