第四章位移计算

第四章结构位移计算§4.1概述一结构的位移在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移以上位移统称位移△，△为广义位移θAθBABA′B′△A△BθABAA′AA′△AθA△Ax△Ay二位移计算的目的1验算结构的刚度结构变形不得超过容许值

2结构设计、制作、养护过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施3位移计算是超静定结构计算的基础超静定结构计算要同时满足平衡条件和变形连续条件三位移计算中的基本假定１材料处于弹性阶段，应力与应变之间成正比（物理线性）２结构变形微小，不影响力的作用（几何线性）可用结构原尺寸计算力的作用与位移３体系所有约束为理想约束，即位移过程中体系约束力不作功即本章讨论的是线性变形体系的位移计算问题，体系位移与荷载呈线性关系，位移计算可以应用叠加原理FP§4.2刚体体系虚功原理及应用一实功与虚功1实功△在常力FP作用下，物体沿力的方向发生位移△，则常力FP在位移过程中作的功为:W=FP△力偶M在物体转动θ过程中作的功为:W=Mθ广义力P：作功的可以是一个集中力、一个力偶、一组集中力、一组集中力偶，统称为广义力P广义力P由于相应广义位移△作功：W=P△力在其本身引起位移中作的功(realwork)FP力在其它因素引起位移上作的功叫虚功①称虚功是为了强调作功的力与产生位移的原因无关这一特点②实功恒为正值，虚功可为正也可为负值③虚功中的力、位移两个要素互不相关，它们分别属于同一体系的两种独立无关的状态W12=P△力状态位移状态+t1+t2△+t1+t2二刚体体系的虚功原理任意平衡力系作用下的刚体体系，设体系发生任一符合约束条件的无限小的刚体位移，则体系上所有外力在位移上作的虚功总和恒等于零W12=０1虚设位移状态，求未知力应用于实际力状态与虚设位移状态间的虚功原理，称虚位移原理力状态位移状态δX=1δP=b/aFX·1-FP·b/a

=０FX=

b/aFPFXFPab２虚设力状态，求未知位移1△位移状态力状态C应用于实际位移状态与虚设力状态间的虚功原理，称虚力原理二支座移动时静定结构的位移计算1单位荷载法用虚设单位荷载求结构位移的方法单位荷载应与拟求位移对应1·Δ-

b/a·

C

=０Δ=b/aCab２计算步骤KK′ii△Kii位移状态力状态FP=1C1C2C3②虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按刚体体系虚功原理①在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载作用下的支座反力式中为支座反力在相应支座位移上所作虚功，当两者方向一致时为正

DBCA6m6mDBCA例4-1图示刚架支座发生图示位移，求Ｃ点位移1.5cm1cmDBCA解一求△CX1取虚力状态如图，求支座反力２求△CXFP=1FP=1二求△Cy12求△Cy三求△C11§4.3变形体系虚功原理一变形体虚功原理+t2+t1C任意平衡力系作用下的变形体系，给其以几何可能的变形和位移，则体系上外力所作虚功恒等于体系内力虚功W12=Wi12外力虚功内力虚功dθ=κdsFNFNFQFQdsdsdsdλ=εdsdη=γ0dsγ0ds微段dwi12=FNds+FQ0ds

+M

ds

整根杆w’i12=∫(FNds+FQ0ds

+M

ds)

变形体系wi12=∑∫(FNds+FQ0ds

+M

ds)

MMKii该式即为结构位移计算的一般公式二位移计算的一般公式+t2+t1CKK′ii△FP=1①在Ｋ点沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载作用下的支座反力及结构内力、、②虚力状态外力由于实际位移所作虚功，按变形体虚功原理1适用范围：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和非弹性体系；

③各种因素产生的位移计算2单位荷载AA′θ△AFP=1AM=1求某点线位移求某截面角位移若求结构上某截面角位移在截面处加一单位力偶ABA′B′AB求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移FP=1FP=1ABFP=1FP=1求结构上两点水平(竖向或连线方向)相对线位移，在两点沿水平(竖向或连线方向)加上两个方向相反的单位力若求结构两个截面的相对角位移在两个截面上加两个方向相反单位力偶若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力取1/d，垂直作用于杆端CM=1M=1BdAC求结构两个截面的相对角位移求AB杆的角位移式中——虚设单位荷载引起的内力

§4.４荷载作用下的位移计算一计算公式荷载作用下，微段变形由内力引起，当材料处于弹性工作阶段，其拉伸、剪切应变和弯曲曲率：式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，与截面形状有关

——实际荷载引起的内力

一计算公式１梁、刚架２桁架３组合结构４拱拱轴线与合理轴线较接近或扁平拱计算水平位移时，考虑轴向变形对位移的影响

荷载作用下，结构弹性位移计算公式例4-2求图示悬臂梁A端的竖向位移，矩形截面梁BALq解一

取虚力状态如图ABFP=1二

求单位荷载及实际荷载作用下的内力xx三

求A端的竖向位移剪切变形对深梁位移的影响不容忽视，但对一般梁可以忽略不计当时当时BALq解一取虚力状态如图二求FPFPFPFP-FP00FP=11/21/21/2-1三求结点C竖向位移dFPddddFPC例4-5计算图示桁架结点C竖向位移，设各杆EA相同一图乘法应用条件与计算公式梁和刚架在荷载作用下的位移计算式（1）杆轴为直线；（2）各段EI＝常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作§4.５图乘法GraphicMultiplicationMethod

当结构的各杆段符合下列条件时：x以杆轴为x

轴，以直线弯矩图的延长线与x

轴交点O为坐标原点ABBAMKMiyαxMiMkdx式中为微面积对y轴的面积矩

即为整个图的面积对y

轴的面积矩xcCOEI＝常数为常数根据合力矩定理，它应等于图的面积乘以其形心c到y轴的距离，即x以杆轴为x

轴，以直线弯矩图的延长线与x

轴交点O为坐标原点ABBAMKMiyαxxcCOEI＝常数为常数xCtanα=y0ABBAMKMiCOy0由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距，再除以EI。这就是图形相乘法的计算位移的方法，简称为图乘法根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点：

（2）纵距只能取自直线图形（3）与若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号（1）必须符合上述三个条件顶点lhl/2A常用的几种图形的面积和形心二次抛物线lh2l/3l/3形心Alhab（l+a)/3(l+b)/3形心AAAlh3l/4l/43l/85l/8A1A2顶点二次抛物线A例4-6用图乘法求例4-2悬臂梁A端的竖向位移BALq解一取虚力状态如图ABFP=1二作单位弯矩图及荷载弯矩图BALqABFP=1三求A端的竖向位移y2I1I2y1二图乘分段和叠加当各杆段的截面不相等时，应分段图乘再进行叠加当y０所属图形不是一段直线而是若干段直线组成时，应分段图乘，再进行叠加y1y2y31图乘分段例4-7用图乘法求图示简支梁C点竖向位移解一取虚力状态如图FP=1二作单位弯矩图及荷载弯矩图CEIl/2l/2q三求C点竖向位移竖标不是取自直线弯矩图形y1复杂的图形分解成几个简单的图形，然后将分解得简单图形分别与另一图形相乘再叠加cdy2cdy1y22图乘叠加均布荷载作用下的任何直杆段AB，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加

y0y0例4-8用图乘法求图示梁C点竖向位移解一取虚力状态如图qll/2ABCCFP=1二作单位弯矩图及荷载弯矩图l/2三求C点竖向位移例4-9用图乘法求图示刚架C点竖向位移EI/2qll/2EIEIAl/2BC解一取虚力状态如图ABCFP=1二作单位弯矩图及荷载弯矩图ABCDABCFP=1D三求C点竖向位移ABCDABCFP=1DABCDABCFP=1Dhh1h2+t1+t2+t0ds假定温度沿截面高度按直线规律变化dλ由于温度变化，微段ds变形为：dθ按变形体虚功原理§4.6温度变化时静定结构位移计算一计算公式hh1h2+t1+t2+t0dsdλdθ§4.6温度变化时静定结构位移计算一计算公式一般情况下,各杆均为等截面，Δt、t0、h沿每一杆为常量式中t0—杆轴线温度变化值

Δt—杆上下边缘温度变化差值

—单位力与温度变化引起的杆件变形方向相同时取正号

例4-10图示刚架内侧温度升高100C，求C端竖向位移

（各杆截面为矩形，截面高度为h=600mm，α=0.00001）解一取虚力状态如图+100C+100CFP=1FP=1二作、图-116m6m三求Δcy6m6mCFN§4.7线性变形体系的互等定理一功的互等定理F1状态ⅠF2状态Ⅱ在线性变形体系中，第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作虚功，等于第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作虚功δ12二位移互等定理在线性变形体系中，由第二个单位力引起的第一个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移，等于由第一个单位力引起的第二个单位力作用点沿其作用方向上的相应位移FP1=1①FP2=1②δ211这里荷载是广义荷载，位移是相应的广义位移2δ12与δ