初三二次函数常见题型及解题策略

二次函数常见题型及解题策略1、两点间的距离公式：abrf^mx^^x（x+xy+y）2、中点坐标：线段ab的中点C的坐标为：ab,a，bI2 2）3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：①用A和参数的其他要求确定参数的取值范围；②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程X2—2（m+1x+m2=0有两个整数根，m<5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线y=mx2+（3m+1x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2—3（m-1）x+2m—3=0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当m=0时，x=1；当m丰0时，A=（m—3）2>0,x=3m-'土 ,x=2一—、x=1；2m 1m2综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。第1页共7页

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线J=x2-mx+m-2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程j-x2+2=mG-x）；0，解得:J0，解得:J=-1x=1・•・抛物线总经过一个固定的点（1,—1）。（题目要求等价于：关于m的方程J-x2+2=mG-x）不论m为何值，方程恒成立）

fa=0小结：关于x的方程ax=b有无数解o1［八•• Ib=07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线11、/2，点A在12上，分别在/］、12上确定两点M、N，使得AM+MN之和最小。（2）如图,直线小l相交，两个固定点A、（2）如图,直线小l相交，两个固定点A、B，分别在l、l上确定两点M、N使得BM+MN+AN之和最小。2 1 2（3）如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段a,在直线l上确定两点E、F（E在F的左侧）,使得四边形AEFB的周长最小。第2页共7页8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法9、函数的交点问题：二次函数(J=ax2+bx+c)与一次函数(y=kx+h)Iy—ax2+bx+c(1)解方程组V 7「 可求出两个图象交点的坐标。[y=kx+h(2)解方程组[y=ax2+bx+c,即ax2+(b—k%+c—h=0,通过A可判断两个图象的交点的个数[y=kx十h有两个交点OA>0仅有一个交点OA=0没有交点OA<010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移l〃lOk=k、k=y1-y212 1 2 xi—x2平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等AB=、：(y-y%+(x-x》直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。等腰三角形全等等腰梯形AB=(y-y)+Q-x)跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等第3页共7页1、(2012西城一模第25题)平面直角坐标系xQy中，抛物线>=，%2—4g+4a+c与％轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点。，点A的坐标为(1,0)，OB=OC抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB=ZACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于/AQB的平分线的对称点为A',若QA—QB=<2,求点Q的坐标和此时△QAA1的面积。第4页共7页2、（2012东城二模第25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+2ax+c的图像与y轴交于点C（0,3），与x轴交于4、B两点，点B的坐标为Q3，0）。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时^CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。第5页共7页 八 2八八3、（2012海淀二模第24题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2—2x与x轴负半轴交于m点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。第6页共7页

4、(2012东城二模第23题)已知关于x的方程(1—m)x2+(4—m)x+34、(2012东城二模第23题)(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围;(2)若正整数m满足8—2m>2，设二次函数)=(1—m)x2+(4—m)