第四章 控制策略

第4章计算机控制系统的控制策略4.1

数字PID控制4.2

串级控制4.3

大林（Dahlin）算法4.4

数字控制器设计方法

连续生产过程DDC控制的主要任务:设计一个数字调节器，其方法是：①用经典控制理论设计模拟调节器，然后在DDC系统中，用数字方法对PID进行数字模拟；②用采样控制理论进行数字直接分析和设计（离散化系统）。方法系统分类连续系统离散系统输入量与输出量之关系微分方程差分方程数学工具拉氏变换Z

变换使用函数传递函数脉冲传递函数现代控制理论状态方程离散时间状态方程表4-1

控制系统的研究方法

4.1

数字PID控制

PID

优点：

技术成熟接受程度高

不需要求出数字模型

控制效果好4.1.1

模拟PID控制器式中u——控制器的输出；

e(t)——控制器的输入，一般为

偏差值，即e(t)=y(t)-r(t)；

Kp

——比例系数；

比例控制器的微分方程为:(4-1)1.比例控制器（P）u(t)

比例调节作用的大小，除了与偏差e(t)有关外，主要取决于比例系数KP。比例系数愈大调节作用愈强，动态特性也愈好。KP太大时会引起自激震荡。主要缺点:存在静差。

TI——积分时间常数。它表示积分速度的大小，TI越大，积分速度越慢，积分作用越弱。2.

比例积分控制器（PI）其积分方程为:

(4-2)

积分作用优点：积分作用能消除静差。

积分作用缺点：动作缓慢，不能及时克服扰动的影响，致使被调参数的动态偏差增大，调节过程增长。

对于PI调节器当有一阶跃作用时，开始瞬时有一比例输出uI。随后在同一方向，在uI的基础上输出值不断增大，这就是积分作用。

如果把比例和积分两种作用合起来，就构成PI调节器，其调节规律为：(4-3)

积分作用具有饱和作用，经过一段时间以后，PI调节器的输出趋于稳定值KIKPe(t)，其中系数K1KP是时间t→∞时的增益，称之为静态增益，用K（∞）=K1KP表示。PI控制器既克服了单纯比例控制器有静差存在的缺点，又避免了积分控制器响应慢的缺点。控制对象具有较大的惯性时，用PI控制器就无法得到很好的调节品质。

如果在控制器中加入微分作用，使偏差尽快消除。3.比例微分控制器（PD）微分方程为:式中TD

——微分时间常数微分作用的特点:微分作用不能消除静差，而只能在偏差刚刚出现的时刻产生一个很大的调节作用。同积分作用一样，微分作用一般也不能单独使用，需要与比例作用配合使用，构成PD控制器。当偏差刚出现的瞬间，PD控制器输出一个很大的阶跃信号，然后按指数规律下降，直至最后微分作用完全消失，变成一个纯比例调节。

微分作用的强弱可以通过改变微分时间常数TD来进行调节。理想的PID微分方程为:

(4-5)把比例、积分、微分三种作用组合起来，形成PID控制器PID结构

对于一个PID三作用控制器，在阶跃信号作用下，首先是比例和微分作用，使其调节作用加强，然后再进行积分，直到消除静差为止。

并非所有系统都需要使用PID调节器控制器，在工业控制系统中，PI、PD调节器也常常被人们采用。4.1.2数字PID控制器控制算法式中：u(t)——控制器的输出信号；

e(t)——控制器的偏差信号，它等于测量值

与给定值之差；

KP

——控制器的比例系数；

TI——控制器的积分时间；

TD

——控制器的微分时间。1.PID算法的数字化

由公式(4-5)可知，在模拟调节系统中PID算法的模拟表达式为：(4-6)计算机控制系统中，必须把式(4-6)离散化。(4-7)(4-8)(4-6)式中，Δt=T

——采样周期；

e(n)

——第n次采样时的偏差值；

e(n-1)

——第(n-1)次采样时的偏差值；

n

——采样序号，n=0，1，2……

将式(4-7)和式(4-8)代入式(4-6)，则可得到离散PID表达式：（4-9）

提供了执行机构在第n个采样时刻的位置U（n），其输出值U（n）与阀门开度的位置一一对应，通常把式(4-9)称为PID的位置控制算式。根据推理原理可写出(n–1)次的PID输出表达式：

用式(4-9)减去式(4-10)可得：(4-10)（4-9）（4-9）式中

——积分系数

由式(4-11)可知，要计算第n次输出值U(n)，只需知道U(n-1)，e(n)，e(n-1)，e(n-2)即可。整理后可得：(4-11)——微分系数

式(4-12)表示第n次输出的增量ΔU(n)，等于第n次与第n-1次控制器输出的差值。PID的增量控制式(4-12)

在位置控制算式中，输出的是执行机构的位置，控制算式要对E(j)进行累加；由于输出全量，计算机的任何故障都会引起U(n)大幅度变化，对生产不利。（4-9）增量式PID控制算法：例如步进电机作为系统的输出控制部件。作为一个积分元件，并兼作输出保持器，对计算机的输出增量Δu(k)进行累加，实现了u(k)=∑Δu(k)的作用。在可控硅作为执行器或对控制精度要求高的系统中，应当采用位置型算法，而在以步进电机或电动阀门作执行器的系统中，则应用增量式算法。

例题：设有一个温度控制系统，温度测量范围是0~600℃，温度采用PID控制，控制指标是(450±2)℃。已知比例系数KP=4，积分时间TI=60s，微分时间TD=15s，采样周期T=5s。当测量值c(n)=448,c(n-1)=449,c(n-2)=452时，计算增量输出Δu(n),若u(n-1)=1860,计算第n次阀位输出u(n).解：将题中给出的参数代入有关公式中计算得：由题知，给定值x=450中,将题中给出的测量值代入计算得：代入式4-12得：位置型和增量型PID程序设计。式中

——积分系数

——微分系数(4-13)2.PID算法程序设计(1)位置型PID算法的程序设计根据式(4-9)可写出第k

次采样PID表达式为:(4-12)4-11（4-9）由于KP，KI，KD有可能是小数，E(k)也可能是负数，编程时通常采用如下处理方法：①将小数或混合小数化为整数;②采用16位有符号指令运算。为了计算方便设:则式(4-13)可写为:(4-14)(4-13)①将小数或混合小数化为整数运算前通过乘以2N将其化为整数，然后把运算结果再乘以2-N。例如，设KP=3.5，将其扩大28取整数，则KP=896=380H，编程时可将其定义为符号变量，即KPEQU380H。②采用16位有符号指令运算

负数应以补码形式存放，如KP=-3.5，将其扩大28取整数，则KP=-896=FC80H，定义为符号变量为KPEQU0FC80H或

KPEQU-896即可。

根据式（4-14）编写的位置型PID程序如下：DATASEGMENTUREQU0500H;设定值=80HKPEQU0383H;KP=3.5KIEQU0040H;KI=0.25KDEQU0000H;KD=0SAMPDW?;定义A/D采样值

E0DW0;定义E(k)E1DW0;定义E(k-1)UPKDW2DUP(0);定义UP(K)UIK1DW2DUP(0);定义UI(K-1)UKDW2DUP(0);定义U(k)DATAENDSCODESEGMENTASSUMECS:CODE,DS:DATASTARTPEOCMOVAX,DATAMOVDS,AX(4-14)

PID:MOVAX,UR;取设定值

MOVBX,SAMP;取采样值

SUBAX,BX;计算E(K)MOVE0,AX;保存E(k)MOVBX,KP;计算UP(k)=KP×E(k)IMULBXMOVUPK,AXMOVDS:UPK+2,DX;存UP(k)MOVAX,E0;计算KI×E(k)MOVBX,KIIMULBXADDUIK1,AX;计算UI(k)=UI(k-1)+KI×E(k)ADCDS:UIK1+2,DXMOVAX,E0;计算UD(k)=KD(E(k)-E(k-1))MOVBX,E1SUBAX,BX

MOVBX,KDIMULBXADDAX,UIK1;计算UD(k)+UI(k)ADCDX,DS:UIK1+2ADDAX,UPK;计算UD(k)+UI(k)+UP(k)

ADCDX,DS:UPK+2MOVUK,AX;存U(k)MOVDS:UK+2,DXMOVAX,E0;E(k-1)=E(k)MOVE1,AXRETCODEENDSENDSTART

（2）增量型PID算法的程序设计根据式(4-12)可写出第k次采样增量型PID表达式为:(4-12)令：(4-15)(4-16)得：

(4-17)式中：对（4-12）加以改进：(4-12)增量式PID控制算法

此外在位置型PID算法中亦可采用增量型PID表达式计算，将式(4-11)改写为：(4-17)4.1.3数字PID控制器控制算法改进

用PID数字控制器对系统进行控制，其控制质量一般说来不如采用PID模拟控制器对系统进行控制：

①模拟控制器进行的控制是连续的，控制作用每时每刻都在进行；而数字控制器在保持器作用下，控制量在一个采样周期内是不变化的。

②由于计算机的数值运算和输入/输出需要一定的时间，控制作用在时间上有延滞。

③计算机的运算字长有限、A/D、D/A转换器的分辨率及精度而使控制有误差。

(1)积分饱和的原因及影响

假设给定值从0突变为x*。在执行器不存在极限时，偏差e大，控制量u大，y↑;e保持很大，控制量u↑;当e减小到某个值后，u不会再增加，然后开始下降;当y等于设定值x*时，e=0，控制量u仍很大，输出量y↑,输出量出现超调。1.积分饱和及其防止方法一、对积分项的改进

在e变负后，积分项开始减小，使u下降较快。在y下降到小于x*时，偏差e

→+，y↑

。u→

u*，y→

x*，达到稳定状态。

如果执行机构存在极限，在设定值从0突变为x*时：控制量u=umax，系统输出y↑。输出y=x*，e小于等于0，u仍保持较大的数值，y>x*e→-，持续τ后，使u<umax，退出饱和区，回到正常的控制状态。由于执行机构的限制和积分项的存在，引起了PID运算的饱和，称为积分饱和。控制策略：当误差较大时，取消积分作用，当被调量接近设定值时，再加入积分作用，以减小静差。即:

（2）积分饱和的抑制使用PID数字控制器使用PD数字控制器

a.

积分分离法偏差值ε：积分界限积分分离的PID控制算法的程序流程图b

变速积分的PID算法

变速积分的实质是改进的积分分离法，其基本思想是根据偏差的大小改变积分项的累加速度。偏差越大，累加速度越慢，积分作用越弱；偏差越小，累加速度越快，积分作用越强。在变速积分中，积分项前面的系数a是缓慢变化的，它对积分项采用线性控制。变速积分的PID控制算式为:(4-37)式中:Ae(k)1αAB1αe(k)变速积分则是缓慢变化积分分离的积分项采用开关控制，是突变的

遇限制削弱积分法的思想是：当控制量进入饱和区后，停止增大积分项的累加，只执行削弱积分项的累加。在计算u(k)时，先判断u(k–1)是否超过umin或umax，若已超过umax，则只累计负偏差；若小于umin，则只累计正偏差。c.遇限制削弱积分法

d.

减小积分整量化误差的方法增量式PID控制算式中的积分项为:当采样周期比较小，积分时间常数比较大，由于计算机字长的限制，其运算结果有可能小于计算机的最低有效位，在运算的时候，积分项的输出就可能被计算机取整，当作零而舍掉，积分作用消失，产生误差。由于计算机取整而产生的积分项输出误差称为积分整量化误差。例如，某字长为8位的计算机控制系统中，采用增量式PID控制器，比例系数kp=1，积分时间常数TI=10s，采样周期T=1s，当数字量偏差e(k)=0.01，对应的积分项输出为:此时积分项的输出小于计算机的最低有效位1/256，计算机会把它当作零舍去，控制器的积分环节就没起作用。例：某温度控制系统采用PID控制，温度量程为0~1500℃，A/D的分辨率为8位，并采用8位字长定点计算。已知KP=1，T=1s，TI=10s,试计算当温差达到多少时，才会有积分作用？

积分整量化误差的存在势必使系统存在静差，必须予以消除。

解：截尾量化误差：解得e(k)>58.8℃,积分环节才能起作用。通常采用两种方法来解决这个问题：

①扩大计算机的字长，增加计算机的位数，提高运算精度。。

②当积分项的输出小于计算机的最低有效位时，不要把它们当作零舍去，而是把它们一次次累加起来，直到积分项输出的数字量大于最低有效位，把整数作为积分项进行运算，小数部分作为下次累加的基数值。这种改进的PID控制算法称为防止积分整量化误差的PID控制算法，其控制算式可以写成:每次运算时，把积分项单独累加，根据累加结果，决定积分项的输出值。

(4-35)图4.14

防止积分整量化误差的PID控制算法程序流程二、数字PID控制微分作用的改进（1）数字PID控制微分作用的特点在PID控制中，微分环节加快系统的动作速度，减小调节时间，减小超调，克服振荡，扩大稳定域，改善系统的动态性能。偏差的变化率很大，微分输出很大，如果在一个采样周期内执行机构不能达到预期的位置，输出将会失真，这就产生了“微分失控饱和”。

即仅在t=T时，输出等于

，在其他采样时刻输出均为0。

为了分析数字PID的微分作用，由式(4-4)中得出微分部分的输出与偏差的关系：对应的Z变换为：当e(t)为单位阶跃输入时，所以：

标准数字PID控制器的微分作用的另一个问题是：当偏差e(k)突然变大时，控制器的输出U(k)在偏差产生的那一个采样周期内，输出的数值很大，可能使执行机构发生饱和。

在标准PID数字控制器算式中，加入一个惯性环节可构成微分先行PID数字控制器。（2）微分先行PID控制一阶惯性环节的传递函数为：标准PID控制器的传递函数为：(4-18)(4-19)设：由式(4-18)和(4-19)可得到微分先行PID调节器的传递函数：(4-20)即（4-21）

使用后向差分近似方法，利用

，由式(4-21)可得

由式(4-22)可直接得出差分方程为：（4-22）（4-21）设：可得：(4-23)

它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。

(3)不完全微分PID控制

在标准PID算法的微分环节上直接加上一个一阶惯性环节，也可克服完全微分的缺点，构成不完全微分PID控制器。传递函数为：(4-24)Kd为微分增益，一般在3～10的范围内选取。完全微分数字PID控制器中的微分作用只在第一个采样周期产生一个幅度很大的输出信号，易引起系统振荡。不完全微分数字PID微分作用在第一个采样周期里的输出幅度小得多，持续多个采样周期，信号变化比较缓慢，故不易引起振荡。3.其他PID控制方法(1)带死区的PID控制

B值太小，调节动作过于频繁，达不到稳定控制过程的目的；B值太大，又会产生很大的误差和滞后。问题的提出：有些生产过程，不希望执行机构动作过于频繁，防止由此引起的振荡。解决方案：设置死区，在死区内控制器无动作。

砰砰（Bang-Bang）控制是一种时间最优控制，又称快速控制法。它的输出只有开和关两种状态。

控制思想：在输出低于设定值时，控制为开状态（最大控制量），使输出量迅速增大。在输出预计将达到设定值的时刻，关闭控制输出，依靠系统惯性使输出达到设定值。

(2)砰砰—PID复合控制

综合砰砰与PID两种控制方式。在偏差大时，使用砰砰控制，以加快系统的响应速度。在偏差较小时，使用PID控制，以提高控制精度。即：

|ek|>Q，砰砰控制

|ek|≤Q，PID控制

4.1.4数字PID调节器的参数整定

根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数KP，积分时间TI和微分时间TD，采样周期T。

1.采样周期T的确定

香农（shannon）采样定理给出了系统采样频率的上限为fn≥2fmax，此时系统可真实地恢复到原来的连续信号。

从控制器本身来讲，大都是依靠偏差E(k)进行调节计算的。采样频率高，占用计算机工作时间长；E(k)过小，由于整量化误差的影响，此时计算机将失去调节作用。选择采样周期应综合考虑的因素1)给定值的变化频率。加到被控对象上的给定值变化频率越高，采样频率也越高，以使给定值的改变通过采样迅速得到反映。2)被控对象的特性。考虑对象变化的缓急。考虑干扰的情况。当被控对象的纯滞后比较显著时，采样周期T应取得与纯滞后时间基本相等。3)使用的算式和执行机构的类型。采样周期太小，会使积分作用、微分作用不明显。受计算机计算精度的影响，当采样周期小到一定程度时，前后两次采样的差别反映不出来，控制作用会因此而减弱。快速执行机构，选择较短的采样周期；慢速执行机构，则反之。4)测量控制的回路数。

当要求测量控制的回路较多时，相应的采样周期越长，以使每个回路的控制算法都有足够的时间来完成。控制的回路数n与采样周期T有如下关系：式中，Tj是第j个回路控制程序的执行时间和输入输出时间。

采样周期的选择方法有两种，一种是计算法，一种是经验法。

经验法是一种试凑法。即根据人们在控制工程实践中积累的经验以及被控对象的特点及参数，先选择一个采样周期T，然后送入微型机控制系统进行试验，根据被控对象的实际控制效果，再反复地改变采样周期T，知道满意为止。被测参数采样周期T（秒）备注流量1~5优先选用1~2秒压力3~10优先选用6~8秒液位6~8优先选用7s温度15~20或取纯滞后时间成分15~20优先选用18s表4-2采样周期的经验数据

简易工程整定方法之一。整定的步骤：

(1)选择一个足够短的采样周期Tmin。

(2)求出临界比例度δu和临界振荡周期Tu。具体方法是将上述的采样周期Tmin输入到计算机控制系统，并只有比例控制，逐渐加大比例系数，直到系统产生等幅振荡。此时的比例度即为临界比例度δu，振荡周期称为临界振荡周期Tu。2.扩充临界比例度法整定PID参数

(3)选择控制度。所谓控制度，就是以模拟调节器为基准，将DDC的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较，控制效果的评价函数通常采用

（误差平方积分）表示。

(4-25)

(4)根据控制度，查表4-3即可求出T、KP、TI和TD的值。

扩充临界比例度法整定参数表控制度控制规律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53δu0.88Tu—PID0.014Tu0.63δu0.49Tu0.14Tu1.2PI0.05Tu0.49δu0.91Tu—PID0.043Tu0.47δu0.47Tu0.16Tu1.5PI0.14Tu0.42δu0.99Tu—PID0.09Tu0.34δu0.43Tu0.20Tu2.0PI0.22Tu0.36δu1.05Tu—PID0.16Tu0.27δu0.40Tu0.22Tu

断开数字调节器，使系统在手动状态下工作。当系统在给定值处平衡后，给一阶跃输入（如图4-14(a)所示）。

用仪表记录下被调参数在阶跃作用下的变化过程曲线（即广义对象的飞升特性曲线），如图4-14(b)所示。

在曲线最大斜率处做切线，求得被控对象滞后时间θ，惯性时间常数τ以及它们的比值τ/θ。3.扩充响应曲线法

根据所求得的τ，θ和τ/θ的值，查表4-4即可求得控制器的T、KP、TI和TD。扩充临界比例度法和扩充响应曲线法特别适用于被控对象是一阶滞后惯性环节，如果对象为其他特性，用其他方法整定PID参数.4.归一参数整定法

RobertsP．D．在1974年提出了一种简化扩充临界比例度整定法，由于该方法只需整定一个参数，故称其为归一参数整定法。根据大量的经验和研究表明，一个动态性能好的系统，有关参数可这样选取：

式中TK为纯比例控制时的临界振荡周期，将上式代入增量式数字PID控制算式，则增量式PID控制的公式简化为:

当被控对象存在较大滞后时，可采用D.M.Bain和G.D.Martin提出的适用大滞后过程参数整定方法。已知被控对象为一阶滞后系统，即：

5.大滞后系统的参数整定(4-27)其中：K=Δy/Δu为相对增益；τ为惯性时间常数；

θ为纯滞后时间。

按下面公式计算KP、TI和TDA，B和C依表4-5的性能指标选择：表4-5性能指标的选择性能指标ABC5%超调013/2501%超调03/70最小IAE3/103/104/10(4-28)绝对误差积分(4-27)例4-1：已知某一阶滞后被控对象的参数为K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（1）按扩充响应曲线法求得，当控制度等于1.05时，PID控制器参数为：

T=2.5，KP=17.25，TI=100，TD

=22.5。例4-1：已知某一阶滞后被控对象的参数为K=1.47，τ=750秒，θ=50秒。（2）按D.M.Bain方法，当T=5秒时，按最小IAE指标选择PID控制器参数为：

最小IAE3/103/104/106.试凑法整定PID参数试凑法是观察系统的响应曲线，然后根据各个参数对系统性能的影响，反复凑试参数，直到得到满意的响应过程，从而整定出PID参数。

遵循先比例、后积分、再微分的整定步骤。

(1)

整定比例系数在纯比例作用下，将比例系数从小变大，观察系统的响应，直到得到反应快、超调小的响应曲线。

(2)

加入积分环节

如果系统存在稳态误差，就要加入积分环节。整定时，先取积分时间常数TI为一较大值，并且把第一步整定的比例系数缩小至原来的0.8，然后减小积分时间常数TI，加强积分作用，在系统动态性能满足要求的前提下，消除稳态误差。

(3)

加入微分环节

如果系统的动态响应过程不能令人满意，可以加入微分环节，构成PID控制器。整定时，先让微分时间常数TD=0，在整定比例系数和积分时间常数的基础上，逐渐增大TD，加强微分作用，同时相应改变比例系数和积分时间常数，逐步试凑，直至获得满意的响应过程。试凑法整定PID参数的步骤可总结如下：参数整定找最佳，从小到大顺序查。先是比例后积分，最后再把微分加。曲线振荡很频繁，比例度盘要放大。曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳。曲线偏离回复慢，积分时间往下降。曲线波动周期长，积分时间再加长。曲线振荡频率快，先把微分降下来。动差大来波动慢，微分时间应加长。理想曲线两个波，前高后低4比1。一看二调多分析，调节质量不会低。4.3大林（Dahlin）算法纯滞后的一阶或二阶惯性环节

这类系统的控制特点是要求其超调量为零或较小，而快速性是次要的，并且允许有较长的调整时间。

这类控制系统的被控对象连续传递函数G0(S)常用带纯滞后的一阶或二阶惯性环节描述，即：

式中，τ为滞后时间，T1、T2为时间常数，K为放大系数。或：(4-38)4.3.1

大林算法的设计原理设计原理：以大林算法设计的数字控制器，使所设计的系统闭环传递函数相当于一个带有滞后的一阶惯性环节环节，其滞后时间与被控对象G0(s)的滞后时间相同，即：

上式中Tτ为闭环系统的的时间常数，设τ=NT，T为系统采样时间。(4-39)

数字控制器D(z)的脉冲传递函数为：D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)图4-21计算机控制系统框图

计算机控制系统结构框图如图4-21所示，图中H0(s)为零阶保持器；大林算法的闭环系统脉冲传递函数为：(4-40)(4-41)因为将上式代入(4-41)式，得： 1、带纯滞后的一阶惯性环节的大林算法：(4-42)代入τ=NT，并进行Z变换：(4-43)（4-43）(4-41)将(4-46)、(4-47)、(4-48)式代入(4-41)，得：

2、带纯滞后的二阶惯性环节的大林算法（4-45）代入τ=NT，并进行Z变换：（4-46）其中：（4-47）（4-48）（4-49）(4-41)例题：已知某工业对象的传递函数为设采样周期T=1s，期望的闭环传递函数为：试按大林算法设计数字控制器。解：采样周期T=1s，延时时间τ=1s，所以N=1，Tτ=2可直接带入公式计算H(z).(4-40)同理求G(z)得：求数字控制器D(z)得：(4-43)4.3.2

振铃现象及其消除

振铃现象是指数字控制器的输出u(kT)以接近1/2采样频率（既二倍采样周期）的频率大幅度的波动。

衡量振铃现象强烈程度的量是振铃幅度RA（RingAmplitude）。它的定义是数字控制器在单位阶跃输入的作用下，第0次的输出幅度与第一次的输出幅度之差，即

RA=u(0)-u(T)

(4-50)

振零现象的产生是由于控制器输出的Z变换U(z)中含有Z平面单位圆内左半平面接近z=-1的极点。在单位阶跃作用下振铃幅度，几个有代表性的例子如下：极点在z=-1时，振铃幅度最大。右半平面的极点会削弱振铃现象。离z=-1越远则振铃幅度越小。

大林提出了一种消除振铃现象的方法，既先找出D(z)中引起振玲现象的极点的因子（z=-1附近的因子），然后令因子的z=1，这样就消除了这个极点。根据终值定理，系统的稳态输出保持不变。

U(z)中单位圆右半平面的零点会加剧振铃现象例4-4

已知被控对象的传递函数

，采样周期T=0.5s，所期望的闭环传递函数的时间常数

=0.5s，试用大林算法设计数字控制器D(z)，并分析是否产生振铃现象，若有则消除。分析：τ=2.5s，T=0.5s，N=5,Tτ=0.5(4-39) 其中

，

，

，代入上式，得：

1、求系统的广义被控对象的脉冲传递函数G(z)以T=0.5代入得：2、求系统的闭环传递函数H(z)

显然，数字控制器输出U(kT)正负上下摆动，有振铃现象。因为U(z)中有z=-0.858这个靠近z=-1的极点。3、判断是否出现振零现象4、求数字控制器D(z)上式中，令极点因子

中z=1，得：例4-5某一阶近似控制系统的大林控制器为：系统响应如图所示，看上去比较满意，但阀门控制信号u(nT)呈现出过渡的阀门位移，即出现了振铃现象。用大林消除振铃方法，令振铃因子（1+0.738z-1)中的z=1,得：系统响应y(t)及对应的阀门反应如下图所示，这样的算法基本消除了振铃，y(t)与有振铃算法的响应十分相似。例4-6已知某控制系统被控对象的传递函数为：试用大林算法设计数字控制器D(z)。设采样周期为T=0.5S，并讨论该系统是否会发生振铃现象，如发生，该如何消除。解：由题可知：τ=1，K=1,T1=1,N=τ/T=2，当被控对象与零阶保持器相连时，系统广义被控对象的传递函数为：广义对象的数字脉冲传递函数为：大林算法的设计目标是使整个闭环系统的脉冲传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，据此可设Tτ=0.1s.D(z)有三个极点，z1=1,z2，3=-0.4967±0.864j,所以引起振铃的极点是后者,应去掉D(z)中的这个因子。令中的z=1得无振铃时的d(z)为：4.4

数字控制器设计方法

数字控制系统设计是基于被控对象数学模型已知的情况下，用控制理论的方法，设计出数字控制器，使控制系统满足一定的性能指标。数字控制器数—模转换器保持器对象模—数转换器r(t)+–y(t)离散部分连续部分图4-22

计算机控制系统

计算机控制系统的设计方法分为离散化设计方法和连续化设计方法两种。

离散化设计方法是将被控对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离散控制理论的一套方法进行分析和综合，设计出满足控制指标的离散控制器，由计算机去实现。

连续化设计方法是忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后再将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实现。4.4.1连续对象的离散化方法1.冲激响应不变法

冲激响应不变法就是指离散环节G(z)的单位冲激响应h(kT)与连续环节G(s)的单位脉冲响应h(t)的采样点的值相等。(4-51)定义：模拟调节器离散化的目的就是由模拟调节器的传递函数D(S)得到数字控制器的脉冲传递函数D(z)，从而求出其差分方程。

若系统的输入r(t)=δ(t)，在连续系统的情况下，G(s)=L[h(t)]/L[δ(t)]，由于L[δ(t)]=1，所以G(s)=L[h(t)]，

在离散系统中，G(z)=Z[h(kT)]/Z[δ(kT)]，因为Z[δ(kT)]=1，所以G(z)=Z[h(kT)]，

它可以按照以下三个步骤进行：1.利用拉普拉斯反变换，计算单位脉冲响应

；2.

将h(t)按采样周期T离散化求得离散序列h(kT),简写为h(k)；3.

应用Z变换求等效的离散传递函数：(4-52)利用以上步骤求G(z)的过程通常简记为：（4-53）解：脉冲响应函数

，

对采样周期为T，得

，作为离散环节的单位冲激响应，则离散环节的Z传递函数：例4-5

设离散化连续环节，求G(z)。例4-6设图4-23中，

，试求G(z)。解：例4-7设图4-23中，

，试求G(z)。

由于冲激响应不变法实质上是Z变换法，故又称为Z变换法。

s平面与z平面的映射关系是基于z=esT，因此s平面左半平面映射到z平面单位圆内，当G(s)是稳定的，变换后的G(z)也是稳定的。解：2.

差分变换法

差分变换法也称为差分反演法。模拟调节器如果用微分方程的形式表示，其导数就可以用差分方程来近似代替，把连续校正装置的传递函数D(S)转换成差分方程，再用差分方程来近似表示这个微分方程。

差分变换法分为前向差分法和后向差分法。(1)前向差分法利用台劳级数展开，可将

写成以下形式：

(4-1)由上式可得：（4-2）把式(4-2)代入模拟调节器的传递函数D(S)中，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，得到前向差分法的计算公式（4-3）式中：T是系统的采样周期。(2)

后向差分法

利用台劳级数展开，还可将写成以下形式：(4-5)由上式可得：(4-6)把式(4-6)代入模拟调节器的传递函数D(S)中，即可求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，得到后向差分法的计算公式：(4-7)

式中：T是系统的采样周期。例4-1

已知模拟调节器的传递函数分别采用前向差分和后向差分法对其进行离散化，求出其脉冲传递函数D(z)以及所对应的差分方程。解：①前向差分法：根据其变换公式，则对应的差分方程为：②后向差分法：根据其变换公式，则:对应的差分方程为：3.零阶保持器法

在计算机控制系统中，常常需要将连续的控制对象连同保持器一起离散化，使其变成纯粹的离散系统来简化系统的分析和设计，Gh(s)是零阶保持器的传递函数。图4-24(a)中，若令：(4-54)利用冲激响应不变法，并参考式(4-54)及Z变换的性质可以求得：(4-55)例4-8试将带有零阶保持器的对象

变换成G(z)。

解：可以很容易求得从G(z)到G(s)的变换关系为：(4-57)(4-56)4.双线性变换法双线性变换法又称塔斯廷变换或称梯形积分法。

根据从G(s)到G(z)的双线性变换：例4-9试将

双线性变换成G(z)。解：例4-10试将

双线性变换成G(s)。解：例

已知模拟调节器的传递函数选择采样周期T=1s，用双线性变换法求出数字控制器的脉冲传递函数D(z)，并写出其差分方程。解：根据式(4-56)，得数字控制器的脉冲传递函数为所对应的差分方程：（1）双线性变换方法简单，容易计算，它适用于G(s)或G(z)的分子和分母已展成多项式的情形。（2）双线性变换将s左半平面映射到z平面上的单位圆内，因而没有混叠效应，而且双线性变换不改变系统的稳定性。（3）

双线性变换是基于用梯形法则对微分方程进行差分近似，因而这样的变换是近似的。但是当采样周期T足够小时，有较高的变换精度。双线性变换法的主要特点：5.零极点匹配法

(4-58)(4-59)

应用以上给出的变换规则，可以写出相应于式(4-58)的离散传递函数为：G(s)常常以零极点的形式给出，如：其中n≥m。这时获得离散等效传递函数的一个简单而有效的方法是利用

的关系，将s平面上的零点（）和极点（）一一对应地映射到z平面上的零点（）和极点（）。式(4-59)中系数的选择是使得在某个特征频率G(s)与G(z)具有同样的增益。在绝大多数控制系统的应用中，特征频率通常选为ω=0，就是使得:(4-61)(4-60)例4-11试应用上述规则，将

离散为G(z)。解：G(s)有一极点在s=-a，有一零点在s=∞。按上述规则求得：利用增益匹配原则:

根据式(4-60)的增益匹配原则:(4-62)(4-66)得:(4-63)将式(4-63)代入式(4-61)得:(4-64)(4-61)若考虑一拍的延迟，则应有:(4-65)(4-60)得

，代入式(4-65)得:(4-67)4.4.2数字控制器的离散设计方法

直接离散化设计方法--解析设计法。

若根据系统的性能要求给出适当的闭环传递函数H(z)，那么可以很容易地利用解析设计法求得所需求的控制器的传递函数D(z)。

该方法的关键不在于式(4-69)的计算，而在于如何根据性能指标的要求合适地给出闭环传递函数H(z)，同时考虑到闭环系统的稳定性及控制器的可实现性等要求。根据图4-25，可以求得从r到y的闭环传递函数为(4-68)从而解得:(4-69)最少拍系统是指如图4-25所示典型系统对某种特定输入具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。

一、最少拍有纹波控制器的设计原理与设计方法最少拍控制器设计必须从被控对象的特性出发，依据系统性能要求，运用解析的方法推得。4.4.3最少拍控制器设计一）．最小拍控制器的一般设计步骤第一步：根据性能指标要求和约束条件确定H(z)。性能指标要求和约束条件有：

(1)稳定性

(2)准确性：闭环系统对典型输入的响应误差必须是稳态误差。最少拍有纹波控制器只是在采样点上无稳态误差。

(3)快速性

(4)物理可实现性

第二步：由G(z)、H(z)确定D(z)。

第三步：根据D(z)编制控制算法的程序。从性能指标要求和约束条件的四个方面逐步讨论H(z)的确定。二）．由准确性要求确定H(z)

假定广义对象G(z)是稳定的，且不含单位圆上和圆外的零点，被控对象G0(s)不含纯滞后。根据准确性要求，系统在采样点无稳态误差，即对最少拍随动系统而言，典型的输入信号有三种，即：①单位阶跃输入②单位速度输入(单位斜坡信号)③单位加速度输入(单位抛物线信号)其中B(z)不含(1-z-1)因子写成通式：显然，要使稳态误差为零，He(z)中必须包含（1-z-1)因子，且幂次不能低于q,即：其中m≥q，F(z)是关于z-1的多项式。快速性要求闭环系统的响应能在最短时间内使采样点上的误差为零，这就要求He(z)包含z-1的幂次尽可能小。在满足准确性的前提下，令m=q，F(z)=1,此时He(z)既能满足准确性又满足快速性要求，故有：三）、由快速性要求确定H(z)

这样选择不仅可以简化数字控制器的结构，而且还可以使E(z)的项数最少，因而调节时间ts最短。对应于上述三种典型输入信号，其闭环误差脉冲传递函数应选择为：

单位阶跃输入时：单位速度输入时：单位加速度输入时：

由此可知，单位速度输入时，最少拍随动系统的调节时间ts=2T。2拍后稳态误差为零。

根据上述分析，可得不同输入时的误差序列如下：1、单位阶跃输入时(4-118)求Z反变换得e(k)=δ(k)，即：

由此可知，单位阶跃输入时，最少拍随动系统的调节时间ts=T，T为系统采样周期。1拍后稳态误差为零。2、单位速度输入时误差序列为：(4-119)3、单位加速度输入时（4-120）误差序列为：由此可知，单位加速度输入时，最少拍随动系统的调节时间ts=3T，3拍后稳态误差为零。

对于不同的典型输入，合理地选择误差脉冲传递函数He(z)才能获得最少拍响应。选定He(z)后，根据广义对象函数G(z)特性，可求得最少拍数字控制器D(z)。三种典型输入下，最少拍随动系统的调节时间ts分别为T、2T和3T。

闭环脉冲传递函数：闭环误差脉冲传递函数：二者关系：四）、由稳定性要求确定H(Z)D(z)H0(s)G0(s)c(t)+–r(t)U(z)E(z)R(z)G(z)H(z)C(z)u*(t)e*(t)由上式可知，D(z)不仅与输入信号有关，而且与广义对象G(z)有关。当G(z)含有单位圆上和圆外的零点、极点时，必定对H(z)和He(z)有更多的要求。如果广义对象G(z)中所有零、极点都在单位圆内，那么系统是稳定的，即被控量y和控制量u都是稳定的。如果广义对象G(z)含有单位圆上和圆外的零点、极点时，G(z)和U(z)含有不稳定的极点，则控制量u就是不稳定的，系统输出y也就不稳定。由上式可以看出，D(z)和G(z)总是成对出现，但不能简单地用D(z)的相关零极点去抵消G(z)的单位圆上、圆外的零极点。原因：若要抵消G(z)的单位圆上、圆外的零极点，D(z)必含单位圆上、圆外的零极点，从而使D(z)不稳定，从而控制量u不稳定。观察上式可以找到正确解决上述问题的办法：①让H(z)的零点包含G(z)单位圆上或单位圆外的零点②让He(z)的零点包含G(z)单位圆上或圆外的极点五）、由D(z)的物理可实现性要求确定H(Z)

D(z)物理可实现性就是指D(z)当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来时刻无关。数学上体现在保证D(z)分母中z-1的最低幂次不大于分子中z-1的最低幂次。例题：设被控对象的传递函数为，T=1s，初始条件为y(0)=0.试针对单位阶跃输入信号设计无稳态误差的最少拍控制系统。（e-1=0.368,e-2=0.136)解：首先将广义对象离散化分析G(z)可看到，G(z)不包括单位圆上及圆外的零极点，所以针对单位阶跃输入，闭环误差脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数取为：显然D(z)是物理可实现的。系统输出为：误差输出为：该系统在单位阶跃输入作用下，瞬态过程将在一个采样周期内结束，且在采样时刻的稳态误差为0例题：设被控对象的传递函数为，T=1s，试针对单位阶跃输入信号设计最少拍控制器D(z)解：首先将广义对象离散化因为G(z)中含有z-1项和单位圆外零点z=-2.78，故H(z)应包含z-1及（1+2.78z-1)项。G(z)中含有单位圆上极点z=1，He(z)应包含（1-z-1)项，同时考虑到He(z)和H(z)应有相同幂次，故：解方程得：系统的单位阶跃响应为：由图可见，控制量收敛，输出量稳定，系统两拍后准确跟踪输入。例题：已知系统的要求设计D(z)使系统对单位阶跃输入为无稳态误差的最少拍控制系统。某设计人员设计的D(z)满足如下差分方程：审查上述设计是否正确，如有错，请做出正确设计。解：由差分方程得：可见D(z)中有一个极点分布在z平面的单位圆外，D(z)是不稳定的，故该设计是不正确的。因为G(z)中含有单位圆外的零点和单位圆上的极点，所以H(z)必须含有（1+1.1z-1)和z-1因子，故设：b1待定He(z)应包括（1-z-1)因子，且应与H(z)同阶次，故设：a1待定由于是得：显然D(z)是稳定且物理可实现的。系统输出：偏差输出：系统两拍后准确跟踪输入，采样点上偏差为零最少拍随动系统数字控制器的设计方法步骤如下：(1)根据被控对象的数学模型，由Z变换公式求出广义对象的脉冲传递函数G(z)；(2)根据输入信号类型，查表4-7确定误差脉冲传递函数Ge(z)；(3)将G(z)，Ge(z)代入(4-113)式求得最少拍数字控制器的脉冲传递函数D(z)；(4)根据结果分析控制效果，求出输出序列并画出响应曲线。3.

设计举例例4-13

对图4-31所示的最少拍随动系统，被控对象的传递函数为

，采样周期

，试设计单位阶跃输入时的最少拍数字控制器D(z)。解：该系统中用零阶保持器，所以其广义对象的脉冲传递函数为:

上式中含有因子

和单位圆外零点z＝-1.4815，因此，闭环脉冲传递函数H(z)中应含有(

)及因子

。又因为式中含有一个极点(z＝1)在单位圆上，因此，He(z)应含有有（1-z-1)因子。由H(z)和He(z)应该是同阶次的多项式，应有比较等式两边的系数，可得式中a、b为待定系数，由上述方程组，可得:

将所得结果代入式(4-113)，可求出最少拍数字控制器的脉冲传递函数：由此可得：a=0.403，b=0.579将系数代入方程组，得：单位阶跃输入时，系统输出响应为：由此可得y(0)=0，y(1)=0.403，y(2)=y(3)=...=1单位阶跃输入时，系统偏差输出为：例如对单位速度输入：最少拍设计的局限性1、对不同输入信号的适应性差单位阶跃输入时，系统偏差输出两拍后无差。稳态误差是固定值例如对单位加速度输入：

按照某种典型输入设计的最少拍系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，输出响应不一定理想。(2)

对参数变化过于敏感

最少拍无差系统是针对被控对象的精确的数学模型来设计的。当被控对象包含不稳定的零极点时，为了保证系统的稳定性，用闭环脉冲传递函数H(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳定零点，用误差脉冲传递函数He(z)的不稳定零点去抵消G(z)的不稳定极点。但是如果被控对象的数学模型不准确或者由于环境的变化导致系统参数改变，不稳定的零极点是不可能相消的，系统的性能就会被破坏，致使系统的响应时间延长，不再满足最少拍设计的快速性要求。(3)

未考虑执行机构的饱和特性最少拍系统的设计没有对控制量做出限制，在设计中强调系统在最少拍内达到稳态，因此是时间最优系统，得到的设计结果是在假定控制量没有限制的基础上，保证系统的输出能在最少拍内准确地跟踪输入。从理论上讲，采样周期越短，调节速度就越快，调节时间也越短，但这是不切实际的。采样周期的减小，会使控制量增大。由于执行机构的饱和特性，控制量会被限制在一个有限的范围，实际控制情况与最少拍控制器输出的控制量不相符，控制效果会因此变差，最少拍设计的目标就不能实现。5.6

数字控制器的计算机算法实现方法前面几节中已经介绍了各种数字控制器的设计方法，求出数字控制器的传递函数以后，最重要的是如何去实现它的功能。数字控制器的实现方法有硬件实现和软件实现两种，用计算机软件实现数字控制器，具有灵活、方便、简单等优点，特别是当控制算式比较复杂时，更能体现其优越性。这一节主要讲述数字控制器在计算机控制系统中的实现方法。5.6.1

直接程序设计法数字控制器的脉冲传递函数D(z)的一般表达式为:(5-46)

式中：U(z)和E(z)分别是数字控制器输出的控制量序列和输入的误差序列的Z变换，为了保证数字控制器的物理可实现性，要求。式(5-46)对应的差分方程为:

(5-47)用计算机软件直接实现式(5-47)，就可很方便地实现数字控制器的功能，这种实现方法称为数字控制器的直接程序设计法，式(5-47)就是直接程序设计法所用到的控制算式。从式中可以看出，如果所有的系数都不为零，要计算一次u(k)，首先需要进行n+1次乘法运算和m次乘法运算，分别求出前面所有时刻的偏差值和控制量。然后再进行n次加法和m-1次加法，分别求出所有时刻的偏差和与控制量的和。最后再进行一次求和运算，才能求出第k个采样时刻控制器的输出值u(k)。因此需要进行n+m次加法运算，n+m+1次乘法运算和n+m次数据传送，才能计算机出一次u(k)。

直接程序设计法的算法比较简单，可大大减少计算机运算的延时，提高系统的动态性能。但是其运算量比较大，程序占用的内存容量也比较大，程序的可读性较差，调试不方便。例5-11

设数字控制器的传递函数为:试用直接程序设计法写出的差分方程。解：首先对D(z)变形，表示成式(5-46)的形式，即:式中：n=m=4，控制器物理可实现。对应的差分方程为:虽然其算法比较简单，但是控制算式比较长。因为，所以需要进行7次加法运算，8次乘法运算，7次数据传送，才能计算出u(k)。补充例题:已知某最少拍有纹波控制器为:试写出直接实现的叠代算法解:先将分式的分子分母展开为z-1的多项式:交叉相乘并移项得:求Z反变换，得差分方程为:用C语言编制的程序如下，由于偏差必须在闭环系统中得到，所以程序中定义了一个偏差数组来模拟，程序之后给出了控制量的结果，用于验证程序的正确性。#include<stdio.h>Intk=10;floate[11]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};floatu(intk){if(k<=0)return(0);elsereturn(0.282*u(k-1)+0.718u(k-2)+0.5434*e[k]-0.4716e[k-1]+0.1*e[k-2]);}Main(){floatuk;uk=u(k);printf(“u(%d)=%f\n\n”,k,uk);}测试结果如下：u(1)=0.543400u(2)=0.768439u(3)=1.393861u(4)=1.903608u(5)=2.668210u(6)=3.421626u(7)=4.354873u(8)=5.330801u(9)=7.6354195.6.2

串行