工程电磁场(高等教育出版社,冯慈章主编)

1.7镜像法与电轴法ImageMethodandElectricAxisMethod下页上页返回镜像法与电轴法的基本思想根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。1.点电荷对平面导体的镜像场分布特点：平面导体上产生负感应电荷电场为两维子午平面场下页上页返回边值问题上半空间的电位导体平面上方程相同，边界条件相同，解唯一。感应电荷产生的电位上半场域的电位和电场下页上页返回-q是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；注意镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。pr1r2下页上页返回q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3-地面上感应电荷的总量为垂直地面的电场分量试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布。解下页上页返回例应用镜像法，地面任意点地面电荷分布镜像法小结

镜像法的理论依据是：镜像法的实质是：镜像法的关键是：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。

用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；应用镜像法解题时注意：下页上页返回2.点电荷对球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外下页上页场分布特点：球面上产生负感应电荷电场为两维子午平面场边值问题导体球外（除q点）空间：下页上页确定镜像电荷的位置确定镜像电荷大小应用镜像法求解球面电位将r1,r2代入方程，得镜像电荷放在求解的场域外。联立求解得镜像电荷位置镜像电荷大小下页上页镜像电荷等于负感应电荷总量。球外任一点P的电位与电场为球外的电场分布球外的电场计算下页上页1.点电荷q对不接地金属球的镜像。边值问题思路下页上页讨论导体球外（除q点）空间：则任一点电位通量为零（大小相等）球面等位（位于球心）下页上页导体球零电位球面电位任一点场强点电荷位于不接地导体球附近的场图下页上页讨论2.点电荷q对带有电荷Q的金属球的镜像。下页上页边值问题思路导体球外（除q点）空间：+Q讨论下页上页3.点电荷q对带有电压U0的金属球的镜像。边值问题思路导体球外（除q点）空间：+Q讨论下页上页4.点电荷q在不带电的金属球壳内的镜像。边值问题思路导体球内（除q点）空间：q-q’bd3.点电荷对不同介质分界面的镜像下页上页边值问题上半空间（除q点）：下半空间：分界面：解得下页上页保证方程不变边界条件：电场分布图1中的电场由q与q’共同产生，q’等效替代极化电荷的影响。2中的电场由q”决定，q”等效替代自由电荷与极化电荷的作用。注意下页上页4.电轴法（ElectricAxisMethod）问题下页上页长直平行双传输线在传输线系统中，导线之间的静电感应作用使导线表面的电荷分布不均匀，直接求解电场分布很困难。边值问题导线以外的空间下页上页应用镜像法求解镜像电荷长直带电细导线替代感应电荷的作用镜像电荷的位置电轴法两根细导线产生的电位下页上页细导线产生的电场以

y轴为参考电位令：常数，等位线方程下页上页返回圆的方程K

取不同值时，得到一族等电位圆。圆心坐标圆半径下页上页返回右半平面。左半平面。a、h、b满足关系圆心坐标圆半径下页上页返回(以y轴为参考电位)例b)圆柱导线间的电场与电位解a)计算电轴位置下页上页返回试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。E

线方程下页上页返回根据得到Ex和Ey分量下页上页返回小结电轴法的理论基础是场的唯一性定理；电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆柱上的不均匀分布电荷的作用；电轴法用以解决一系列平行圆柱的电场注意有效区域及电位的参考点试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。下页上页返回例解已知平行传输线之间电压为U0,试求电位分布。设电轴线电荷，任一点电位下页上页返回例解计算电轴位置1.两导体的电容CapacitanceandDistributedCapacitance1.8电容和部分电容定义：单位：下页上页返回线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体的电容。-QQU+-电力电容下页上页返回电力电容下页上页返回2.两导体电容的计算电容的计算是电场的计算给出了计算电容的方式：设下页上页返回说明或设忽略边缘效应

试求平板电容器的电容。下页上页返回例解试求长圆柱形电容器的电容。例解ba设内导体的电荷密度为

，则设内导体的电荷为q，则同心球壳间的电压球形电容器的电容

试求同心球壳电容器的电容。下页上页返回同心球壳电容器例解1）当时孤立导体球的电容下页上页返回讨论2）当时平板电容器的电容设d>>a，电轴与几何轴线重合

试求两线传输线之间的电容。下页上页返回例解注意电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。3.部分（分布）电容（DistributedCapacitance)三导体静电独立系统下页上页返回对于多导体系统，每两个导体上的电压受到所有导体上电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不能仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。多导体系统静电独立系统线性系统讨论前提下页上页返回N个导体的系统，各导体的电位电位系数电位系数下页上页返回矩阵形式

ai,i

—

自有电位系数，表明导体

i上电荷对自身

电位的贡献

ai,j—互有电位系数，表示导体j

上的电荷对导体i电位的贡献电位系数的计算下页上页返回电位系数性质电位系数均为正数；电位系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关；电位系数满足互易性；自有电位系数大于互有电位系数；下页上页返回

bi,i—

自有感应系数，表示导体

i电位对自身电荷的贡献

bi,j—

互有感应系数，表示导体

j电位对导体

i电荷的贡献感应系数感应系数下页上页返回感应系数的计算自感应系数为正数；因i与qi

同号感应系数仅于导体的几何形状、相互位置及介质分布有关,且满足互易性；互感应系数总是负值，因+

总是在其他导体上产生负电荷；自有感应系数大于与其相关的互有感应系数绝对值；

感应系数性质下页上页返回部分电容矩阵形式部分电容的性质静电独立系统中n＋1个导体有个部分电容下页上页返回部分电容均为正值；部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；

部分电容可将场的概念与电路结合起来。下页上页返回部分电容与电容网络结论试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及等效电容。已知d>>a,

且a<<h。部分电容个数由对称性，得(1)下页上页返回例解电容与带电量无关，故则利用镜像法，两导体的电位(2)下页上页返回两线输电线对大地的镜像联立解得两线间的等效电容：下页上页返回所以静电屏蔽在工程上有广泛应用。静电屏蔽三导体系统的方程为：4.静电屏蔽当时，说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。下页上页返回1.9静电能量与力1.静电能量

(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce

用场源表示静电能量下页上页返回电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做功形成的。讨论前提线性系统；电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射；没有动能，只考虑位能。下页上页返回电荷增量设将dq电荷移至电场中外源做功推广2：若是带电导体系统，静电能量为推广1：若是连续分布的电荷，

下页上页返回注意上式建立在静电场是位场的基础上，只适用于静电场。推广3：若是n个点电荷的系统，静电能量为下页上页返回只含互有能固有能和相互作用能固有能把某一区域的电荷从无穷远聚拢到给定分布所需的功。互有能把各区域的电荷放置到各自给定位置所需的功。设空间有两个电荷分布区下页上页返回说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个点需要克服无穷大的斥力，需要作无穷大的功。同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电荷只研究互有能。点电荷qV11V22当

半径为a的球面带电荷Q，球心放一点电荷q，求静电能量。球面电荷的固有能下页上页返回例解qQ在球面产生的电位Q在球心建立的电位q在球面产生的电位把点电荷从移至球面电荷中心所需作的功下页上页返回

用场量表示静电能量能量矢量衡等式若用公式计算定义能量密度下页上页返回各向同性均匀媒质适用于静电场和时变场因当时，面积分为零，故

半径为a的球面带面电荷Q，球心放一点电荷q，求静电能量。下页上页返回例解q点电荷的固有能下页上页返回试求平板电容器的静电能量。例平行板电容器解带电导体系统电容能量的计算式试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量。由场量求静电能量下页上页返回例解一由场源求静电能量球内任一点的电位下页上页返回解二

原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的负电荷云-q包围，试求原子结合能。前例中当时下页上页返回原子结构模型例解2.静电力

(ElectrostaticForce)下页上页返回1）根据电场定义计算静电力注意上式使用的条件只适用于均匀介质式中的电场E不包括dq本身的贡献矢量积分多导体系统(K打开)虚位移法下页上页返回2）根据电场能量计算静电力在多导体系统中，导体p发生位移dg后,系统发生的功能过程为：外源提供能量=

静电能量增量+电场力所作功常电荷系统（K打开）取消外源后，电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现。下页上页返回表明常电位系统（K闭合）多导体系统(K闭合)p外源提供能量的增量

外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。下页上页返回表明注意

dg广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力×广义坐标=功广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩单位NN/mN/m2Nm

f广义力：企图改变某一个广义坐标的力。下页上页返回满足对应关系：广义力是代数量，根据

f的“±”号判断力的方向。广义力的正方向为广义坐标增加的方向。常电位系统试求图示平行板电容器两极板间的电场力。平行板电容器取d为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力的方向企图使广义坐标d减小，即电容增大。下页上页返回例解一常电荷系统当满足所设条件，两种计算结果相同下页上页返回解二图示一球形薄膜带电表面，半径为a，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。取体积为广义坐标f的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。N/m2下页上页返回球形薄膜例解下页上页返回根据库仑定律，点电荷q处的电场应用虚位移法图示为半径为R、接电压U0的导体球位于点电荷q的电场中，试求导体球所受的电场力。应用镜像法例解Q下页上页返回沿广义坐标增大的方向设为常电荷系统设为常电位系统虚位移法的结果不正确，因为系统不属于常电位系统，也不是常电荷系统。3）根据法拉第观点计算静电力（Farade’sreview）法拉第认为，在场中沿通量线作一通量管，沿其轴向受到电场的纵张力，垂直于轴线方向受到侧压力