工程流体力学2

第二章流体静力学

运动是绝对的，静止是相对的。流体静止，就是流体相对于地球这个惯性坐标系是静止的。因此流体静力学研究流体处于相对静止或相对平衡状态的特性，即研究流体平衡的规律。由于处在相对静止状态的流体流层之间没有相对运动，因而粘性作用反映不出，故流体静力学所讨论的内容，不论对理想流体，还是实际流体都是适用的。第二章流体静力学§2.1流体静压强及其特性§2.2流体平衡微分方程式§2.3流体静力学基本方程式§2.4液柱式测压计§2.1流体静压强及其特性

当流体处于静止或相对静止时，作用在流体上的力只有法向应力，切向应力为零。此时作用在流体上的法向应力，或流体压强称为流体静压强。即流体静压强有两个重要特性。特性一：流体静压强方向沿作用面的内法线方向。∵流体受任何微小剪切力作用都要连续变形，流体静止，没有剪切力；流体受任何拉力作用也将产生流动，流体静止，没有拉力。∴静止状态，没有剪切力，没有拉力，只有沿作用面内法线方向的压强作用。∴静止流体对容器的静压强恒垂直于器壁。(器壁对流体的压强沿器壁的内法线方向)

特性二：静止流体中任一点的流体静压强与其作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的函数。证：取微元四面体ABCD各面上的表面力px×1/2dydz，py×1/2dxdz，pz×1/2dxdy，pn×△BCD四面体质量力沿坐标轴的分力：fxρ×1/6dxdydz，fyρ×1/6dxdydz，fzρ×1/6dxdydz，微元四面体在这些表面力和质量力作用下处于平衡状态，故诸力在三坐标方向投影的代数和为零。

考虑X方向:px×1/2dydz-pn×△BCD×cos(pn^x)+fxρ×1/6dxdydz=0△BCD×cos(pn^x)是△BCD在Ayz平面上的投影面积,就等于1/2dydz，所以:(px-pn)×1/2dydz+fxρ×1/6dxdydz=0,

或px-pn+1/3fxρdx=0

当微元体以A点为极限，

dx，dy，dz趋近于零时，上式成为：px=pn同理可证：py=pn

,pz=pn∴px=py=pz=pn

因此，静止流体中任一点的流体静压强与其作用面在空间的方位无关。但空间不同点的静压强则可以是不一样的，即流体静压强是空间点的坐标的函数,

p=f(x,y,z).§2.2流体平衡微分方程式一.流体平衡微分方程式

微元平行六面体dxdydz，中心点a，a点压强为p，p=f(x,y,z)，平均密度为ρ，单位质量流体质量力的分力fx,fy,fz

。∵微元六面体处于平衡状态,各个方向所受质量力与表面力的合力为零。对X方向：即同理可得沿y轴和z轴的平衡方程各式除以六面体的质量ρdxdydz得，写成矢量形式或这就是流体的平衡微分方程式。它是Eular在1755年首先提出的。故又称Eular平衡方程式。由于流体静压强是坐标点的函数，它的全微分为：将

代入得：§2.3流体静力学基本方程式一.重力场中的流体静力学基本方程式

作用在流体上的质量力与流体所受力场的作用有关，若流体仅受重力场的作用，则作用在流体上的质量力仅为重力，自然界或工程实际中经常遇到的是此类情况。

如图，坐标系的x,y轴水平，z轴垂直向上，单位质量的质量力沿坐标轴的分力fx=0,fy=0,fz=-g代入：得：dp=-ρgdz或设流体不可压缩,ρ等于常数，则积分上式得：式中C为积分常数，由边界条件确定。

将上式应用于右图中的1，2两点，得：

上面两式称为流体静力学的基本方程式。它适用于平衡状态下的不可压缩重力流体。对于可压缩流体是不适用的。二、流体静力学基本方程式的意义1．位置水头（位势能）流体静力学基本方程式:式中gz代表单位质量流体的位势能（物理书上物体的势能为mgh，单位质量的势能为gh，与gz相当），z又是流体质点（微团）距离某基准面的高度，所以gz又称为位置高度或位置水头。

2．压强水头（压强势能）

第二项代表单位质量流体的压强势能,如图所示,当把已被抽成完全真空的闭口测压管bc连接到容器上具有压强p的a点时,容器内的液体将在压强p和完全真空之间的压差作用下在测压管中上升一定的高度。可见，在液柱上升过程中，压差克服重力作了功，从而增加了液柱的位势能。也称为压强高度，它可通过将流体静力学方程式应用于图中a，b二点得到：即单位质量流体的压强势能与一段液柱高度相当,故又称它为压强高度或压强水头。3．静水头（总势能）位置水头+压强水头=静水头位势能+压强势能=总势能∴流体静力学基本方程式的意义：在静止的不可压缩重力流体中，任意点的单位质量流体的总势能保持不变。即：它们的静水头的连线为平行于基准的水平线。称静水头线。

闭口测压管（抽真空）与开口测压管（接大气）之间相差一个与大气压强相当的液柱高度。用开口测压管测得的静水头又称为计示静水头。静水头线A′A′又称为计示静水头线。4．流体内任一点的静压强

由流体静力学基本方程式得：

淹深为h液面上∴流体内任一点的静压强由两部分组成：一部分是来自表面上的压强p0，另一部分是深度为h，密度为ρ的液柱所产生的压强ρgh。深度相等的诸点压强都相等，这便是等压面。∴在重力作用下，流体的等压面为水平面，自由表面就是一个等压面。5．帕斯卡原理

自由表面压强p0有任何变化，都会引起流体内所有流体质点压强的同样变化。对于这种压强在流体中传递的现象，法国人帕斯卡归纳为帕斯卡原理：施加在不可压缩重力流体表面上的压强将以同一数量沿各方向传递至流体中的所有流体质点。水压机、液压传动装置的设计都是以此原理为基础的。§2.4液柱式测压计一.绝对压强，相对压强，真空

与大气交界的液面上的压强就是大气压，即p0=pa∴p=pa+ρghp-pa=ρgh=pe式中的p称为流体的绝对静压强,是以完全真空为基准计量的压强。简称为绝对压强。式中的pe代表绝对静压强与大气压强之差，称为流体的相对压强（或计示压强），它是以大气压强为基准计量的压强。

当流体的绝对静压强低于大气压强，即相对压强pe为负值，便说它处于真空状态，负的相对压强——真空，用pv表示：pv=pa–p当流体的绝对压强为零时，达到完全真空。这在实际中很难办到，特别是当容量中盛有液体时，只要压强降低到液体的饱和蒸汽压，液体便要汽化，压强就不会再下降。流体压强的计量单位主要用SI制中的帕斯卡。如表2-1示。

绝对压强，大气压强，相对压强，真空的相互关系示于右图。物理学中一般用绝对压强去计量压强。工程技术中大都用相对压强去计量压强。这是由于工程技术中用以测量压强的仪表，都与大气相通，（如U形管测压计），因而实际测量的就是绝对压强与大气压强之差。二、液柱式测压计1．U形管测压计如图所示，在图中取1，2两点，由于1,2两点在同一水平面，即同一等压面上,故:p1=p2p1=p+ρ1gh1p2=pa+ρ2gh2解得：p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1其相对压强为：Pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1对图b，p<pa，是真空的情况p+ρ1gh1+ρ2gh2=papv=pa-p=ρ2gh2+ρ1gh1当被测流体是气体时，气体的ρ1很小，ρ1gh1这一项可忽略不计。

例1.如图，有一直径d=12cm的圆柱体，其重量W=520N，在力F=588N的作用下，当淹深h=0.5m处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。解：圆柱体底面上各点上所受的压强：pe=ρg（H+h）H=pe/(ρg)-h=10-0.5=9.5m

例2．如图所示的测压装置，假设容器A中水面上的相对压强pe=2.45×104N/m2,h=500mm，h1=200mm，h2=100mm，h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,乙醇的密度ρ2=800kg/m3，水银的密度ρ3=13612kg/m3，试求B容器中空气的相对压强p。解：标出如图所示的1,2，3，4四个交界面.1点的相对压强为：p1=pe+ρ1g(h+h1)2点的相对压强为：p2=p1-ρ3gh1=pe+ρ1g

(h+h1)-ρ3gh13点的相对压强为：p3=p2+ρ2g