工程力学复习

轴向拉压剪切扭转弯曲

应力变形强度条件刚度条件*1超静定的求解步骤：1）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。2）根据变形协调条件列出变形几何方程。3）根据物理关系写出补充方程。4）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。*2

轴向拉伸与压缩

基本要求：

1.轴力计算，绘轴力图；

2.横截面上的正应力计算，强度计算；

3.绘变形与位移图，变形与位移计算；

4.材料的力学性质；

5.求解简单拉压超静定问题。

难点：绘变形与位移图；求解简单拉压超静定问题。

*3例1如图a所示结构中三杆的截面和材料均相同。若F＝60kN，[σ]＝140MPa，试计算各杆所需的横截面面积。

（2）画节点A的位移图

根据内力和变形一致的原则，绘A点位移图如图c所示。

即

解这是一次超静定问题。

（1）画出A点的受力图（见图b）静力平衡方程∑Fix＝0，FN1－FN2cs30°＝0(1)∑Fiy＝0，FN3＋FN2sin30°－F＝0(2)（3）建立变形方程根据A点的位移图，变形方程为*4（4）建立补充方程由虎克定律

联立（1）、（2）、（3）式，解得各杆的轴力分别为：

FN1＝7.32kN（压）;FN2＝8.45kN（拉）;FN3＝55.8kN（拉）

代入变形方程得补充方程

得FN3＝4FN2＋3FN1

（3）*5得（5）各杆的横截面面积计算根据题意，三杆面积相同，由杆③的强度条件即A1＝A2＝A3＝398mm2FN1＝7.32kN（压）FN2＝8.45kN（拉）FN3＝55.8kN（拉）

*6列静力平衡方程变形协调方程计算1，2杆的正应力

例题图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜=2000mm2。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6℃-1；*7剪切

基本要求：1.联接件的剪切强度的计算；2.联接件的挤压强度的计算。难点：双剪的剪切、挤压强度的计算；联接件的综合计算。*8

例如图a所示拉杆接头。已知销钉直径d＝30㎜，材料的许用切应力[τ]＝60MPa，传递拉力F＝100kN，试校核销钉的剪切强度。若强度不够，则设计销钉的直径。

解

（1）受力分析

由销钉受力图（见图b）可见，销钉具有两个剪切面（m-m和n-n），剪切面上的剪力为

（2）剪切强度校核

销钉的抗剪强度不够。*9（3）设计销钉的直径由剪切强度条件

选用d＝33mm的销钉。*10

例：图示接头，受轴向力F作用。已知F=50kN，b=150mm，δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[s]=160MPa，[τ]=120MPa，[sbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。2.板的剪切强度解：1.板的拉伸强度画出板的轴力图*113.铆钉的剪切强度4.板和铆钉的挤压强度

结论：该接头强度足够。*12扭转基本要求：1.圆杆受扭时的扭矩计算和扭矩图的绘制；2.圆杆受扭时的横截面上的切应力计算和强度条件；3.圆杆受扭时的变形计算和刚度条件。难点：圆杆受扭时，扭矩正、负符号的确定；圆杆受分布扭时，扭矩图及扭转角的计算。

*13

例图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：T1＝1.5KN•m，T2＝3KN•m，T3＝9KN•m，T4＝4.5KN•m；各轮的间距为:L1＝0.8m，L2＝1.0m，L3＝1.2m；材料的[τ]＝80MPa，[θ]=0.3°/m，G＝80×109Pa。（1）设计轴的直径D；（2）轴的直径D0＝105㎜，试计算全轴的相对扭转角φD-A。

解（1）绘出扭矩图（见图b）

（2）设计轴的直径

由扭矩图可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB段和BC段，其绝对值Mn＝4.5KN•m。由强度条件

求得轴的直径为*14由刚度条件

即

得

由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由刚度条件确定，选用D＝102mm。*15

（3）扭转角фD-A计算

根据题意，轴的直径采用DO＝105㎜，其极惯性矩为

扭转角为*16弯曲内力

基本要求：

1.求指定截面上的内力；

2.建立剪力方程FS（x），弯矩方程M（x）；

3.熟练并正确地作出剪力图、弯矩图。

难点：分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系；剪力图、弯矩图的凹向、极值判定。*17

例试用q,FQ,M之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。

解（一）求支座约束力

（二）作剪力图

根据梁上受力情况，将梁分成AC、CD、DB三段。AC段：无载荷作用，即q(x)=0，故此段剪力图为一条平行于梁轴的水平线。A截面有集中力FAy=5.5KN作用,其突变FsA=FAy=5.5KN,此段剪力图即为一条Fs=5.5KN水平线。

CD段：载荷为q(x)=2KN

方向向下，故此段剪力图为递减，是一条向右下方倾斜的直线，须由两个截面上的剪力来确定该斜直线。

*18DB段：载荷为q(x)=2KN

，方向向下。故此段剪力图仍为一条向右下方倾斜的直线。因为D截面上有集中力作用（支座约束力FDy），所以此截面剪力有突变，突变值为FDy=12.5KN,故B截面有集中力作用，突变值为F=2KN

全梁的剪力图如图b所示。

*19

（三）作弯矩图AC段：q(x)=0,FQ(x)>0此段弯矩图为递增，形状是一条向右下方倾斜的直线。须定两个截面的弯矩C截面有集中力偶m0作用，故C截面弯矩有突变，其值为CD段：q(x)=2KN/m

方向向下，此段弯矩图为一条下凸的曲线。*20E截面上FQ=0故弯矩在该截面有极值，其大小为DB段:

q(x)=2KN/m，方向向下，此段弯矩仍为一条下凸的曲线，考虑到此段内无FQ=0的截面，而FQ>0，所以弯矩为递增MD=-8KN.m，MB=0,全梁的M图如图c所示。*21附录平面图形的几何性质基本要求：1．静矩和形心2．惯性矩、极惯性矩、惯性积3.平行移轴公式难点：组合图形的形心、惯性矩计算*22

弯曲应力

基本要求：1.梁弯曲时，横截面上的正应力及强度计算；2.梁弯曲时，横截面上的切应力及强度计算。

难点：梁的截面上下不对称、材料的拉压性能不同、梁的弯矩有正负时的正应力强度计算。*23

例1

有一外伸梁受力情况如图所示。其容许拉应[σt]=40MPa

，容许压应力[σc]=100MPa

。试校核梁的强度。

解（一）作梁的内力图最大正弯矩MC=10kN.m最大负弯矩MB=20kN.m

（二）确定中性轴的位置截面形心距底边为

通过截面形心与纵向对称轴垂直的形心主轴z即为中性轴(见图d）。*24

（三）截面对中性轴的惯矩（四）校核梁的强度因为梁的许用拉、压应力不同，而且梁的截面形状对中性轴不对称，所以，必须校核梁的最大正弯矩截面（C截面）和最大负弯矩截面（B截面）的强度。*25

(1)C截面强度校核

MC=10KN.m为正弯矩，故截面上边缘为最大压应力，截面下边缘为最大拉应力