工程力学5第五章弯曲应力

第五章弯曲应力主讲:符春生yzxFSMFS～τM=Mz～σ§5－1概述纯弯曲梁分析截面上正应力弯矩M作用产生什么应力?FS纯弯曲：如图CD段。剪切(横力）弯曲：如图AC段和BD段。MABCDF

aaF§5－2梁弯曲时横截面上的正应力纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零（1）横线：变形后仍为直线，但转过一角度，并与纵线仍正交。MM一.纯弯曲梁的正应力中性层与横截面的交线——中性轴z；z（2）纵线：弯成弧线，上部缩短，下部伸长,中间有一层纵线既不伸长，也不缩短——中性层。y对称轴1﹒几何关系yz横线纵线（1）平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；基本假设

（2）单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。1122MM（对称轴）z(中性轴）yyρ——变形后中性层的曲率半径。y——任一纵线到中性层的距离。dθ——1-1和2-2截面的相对转角。y中性层1122ρdθa'b'o'1

o'2ba1212o1o2dx任一条纤维的线应变为：y中性层1122ρdθa'b'o'1

o'22.物理关系:yz⊕⊖3.静力学关系:zySz=0——中性轴z通过横截面的形心。Iyz=0——梁发生平面弯曲的条件。dAzyEIz——弯曲刚度说明：(2)符号：①由M与y的符号确定σ的符号；⑴线弹性;弯曲截面系数WZ=ymaxIzzy②由弯曲变形确定。(3)①z轴为对称时：②

z轴为非对称时:二.纯弯曲正应力公式的推广ytzyycc例1：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。

F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：该梁C截面的弯矩最大，

Mmax=10×3=30kN.m⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ⑵圆形截面⑶工字形截面。选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。

在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。结论如下：§5-3

矩形截面梁的切应力1、两点假设:

（1）切应力与横截面的侧边平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyτhbFSτx=0τyτz=0zyτhbFSτ'由切应力互等定理bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxmn2、弯曲切应力公式y——所求点距中性轴的距离。FSFSmnnmMM+dMdxyabmnσ'σ''abmndxmnyzabFN1FN2dFy'dAmnσ'σ''abmnFS——横截面上剪力。Iz——整个横截面对中性轴z的惯性矩。b——横截面宽度。S

z*

——横截面上距中性轴y处横线一侧截面对中性轴的面积矩。dxmnyzabFN1FN2dFy'dA3、切应力沿截面高度的分布ττmaxhzbyy=±h/2，τ＝0＋－比较F剪切弯曲时，平面假设不再成立mmm'm'γ1、腹板FS——横截面上剪力。矩形截面的两个假定同样适用。y

zbhdδh1翼缘腹板一、工字形截面梁y§5-4、其他形状截面梁的切应力zdxh1bδδyhFN1FN2dF工字形截面梁腹板上的切应力:FS——横截面上剪力。Iz——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。d——腹板宽度。Sz*

——距z轴y处横线一侧阴影部分截面对z的面积矩。τmaxy

zbhdδh1yτ1τ1（c）其中——面积δ×u对中性轴的面积矩。2、翼缘F’N2'F’N1'Bdxu（b）dFBAzdxubδδuh(a)τ1τ'1切应力流：切应力沿截面像水流一样流动的现象。工字形截面梁切应力的分析方法同样适用于T字形，槽形，箱形等截面梁。τ1τ1（c）二、圆形截面梁zτmaxydA三、薄壁圆环截面梁zR0δ例2：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力截面上的切应力分布图。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60解:(1)确定横截面形心的位置.(2)计算横截面的惯性矩Iz.Iz=186.6×106mm4yc=180q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c6022.5M(kN.m)1.5m40(3)画剪力、弯矩图.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=180FS

(kN)3050401.5m(4)计算最大拉应力和最大压应力由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面上下边缘的距离不相等，故需分别计算B、D截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。

①在B截面上的弯矩为负，故该截面上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。σtmax=40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4MPa,σcmax=40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6MPa22.5M(kN.m)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180②D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：σtmax=22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7MPa,σcmax=22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1MPa22.5M(kNm)1.5m40q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180∴σtmax=21.7MPa，

发生在D截面的下边缘各点处。σcmax=38.6MPa，

发生在B截面的下边缘各点处。4.34MPa4.13MPa280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切应力分布:yc=180τ1max例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。qABl123l/4h/4l/44zbhττmax解：(1)求支座反力:(2)画FS

图和M

图FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4412zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/4434zbhττmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32ql2/32qABl123l/4h/4l/445－4、梁的强度计算

危险点：

最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。危险截面：最大弯矩截面最大剪力截面一、梁的强度计算1、等截面梁的正应力强度条件为：注：①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向拉压容许正应力[σ]轴，一般可取[σ]弯=[σ]轴。②当[σt]

≠[σc]时，需分别计算σtmax和σcmax，使

σtmax≤[σt]

，σcmax≤[σc]。2、等截面梁的切应力强度条件为:

校核强度；

设计截面；求容许荷载。

强度计算：注：①一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算，不必对切应力作校核。②特殊情况下，需校核切应力强度。a.FS很大而M较小。焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复板高度很高，厚度很小时，腹板上产生相当大的切应力。

c.木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核τ顺。d、题中给定[τ]。例4.如图一简支木梁。已知：[σt]=[σc]=10MPa，[τ]=2MPa。梁截面为矩形，b=80mm，求高度。2m10kN/mhbz解：由正应力强度条件确定截面高度，再校核切应力强度。1°按正应力强度条件计算h。而可取h=200mm。2°切应力强度校核：

故由正应力强度条件所确定的h=200mm能满足切应力强度条件。例5.一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料为铸铁:[σt]=30MPa，[σc]=90MPa,[τ]=24MPa。试求q的容许值,并校核切应力强度。解：1°画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-2°求[q]。C截面：q≤12.3kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-B截面：q≤9.6kN/m∴该梁所受q的容许值为：[q]=9.6kN/mlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-3、校核切应力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-二、提高承载能力的措施1、选择合理截面形式即Wz/A越大越合理，此时Iz/A也较大，既可提高强度，又可提高刚度。弯矩M与Wz成正比，Wz越大越合理合理截面：是在不增加材料消耗的前提下，尽可能使得Wz越大越合理。如设截面高度为h，可见，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆截面合理。选择截面的形式时，还要考虑材料的性能。塑性：中性轴对称；脆性：中性轴非对称,；矩形截面：工字形截面：对圆形截面：2、采用强度较高的材料一般高强度材料的[σ]和[τ]较高。3、采用变截面梁采用变截面梁，可节省材料及减少自重。FAB（a）l/2l/2x最合理的变截面梁是等强度梁.σmax=M(x)/W(x)=[σ]M(x)=Fx/2W(x)=bh2(x)/6当高度b=常数时:由切应力强度条件:Fhmin---鱼腹梁FhminF/2F/2FyFF4、改善梁的受力状况可通过调整支座和改变结构来完成。lqq0.6l0.2l0.2lql2/40ql2/50ql2/50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4Fl/4Fl/8ql2/8ABqABq5、增加梁的支座——超静定梁可减少Mmax及位移。§5－5非对称截面梁的平面弯曲﹑对称弯曲：梁具有纵向对称平面，外力(力偶）作用在纵向对称面内。开口簿壁截面的弯曲中心非对称弯曲：梁不具有纵向对称平面或虽具有纵向对称平面，但外力并不作用在纵向对称面内。一、平面弯曲时外力作用的方向设z为中性轴：又由当中性轴z通过截面形心时，FN=0。CyzdAzyO可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行于形心主惯性平面。此时，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴即为中性轴。y、z轴为形心主轴（梁受到平行于y轴的外力作用）=M=0CyzdAzyO对于无纵向对称面的非对称弯曲梁，如果是纯弯曲，只要外力偶作用在与形心主惯性平面平行的任意平面内，则梁只发生平面弯曲，而不发生扭转；如果是横力（剪切）弯曲，即使外力作用在形心主惯性平面内，梁除发生弯曲以外，还会发生扭转。CxyzFxzyCFAe二.开口薄壁截面的弯曲中心只有当外力作用在弯心平面内，梁才只发生平面弯曲。弯心平面：通过弯曲中心与形心主惯性平面平行的平面。弯曲中心：当梁在两个正