自动控制原理第二章课件

Chapter2

MathematicalModelofControlSystems

控制系统的数学模型02二月2023

2第二章控制系统的数学模型

数学模型概念及其建立方法

线性定常系统的传递函数

控制系统的结构图与化简

信号流图及梅森增益公式02二月2023

3系统数学模型的定义：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。系统的数学模型分类：静态、动态数学模型常见的数学模型：数学模型时域模型频域模型方框图信号流图状态空间模型传递函数2.1系统建模与动态方程02二月2023

4

建立数学模型的目的：为分析和设计控制系统。原因：自控系统可以是电气的、机械的、液压的或气动的等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。2.1系统建模与动态方程02二月2023

5数学模型的建立方法(1)机理建模（白箱）：利用已知内部器件的原理知识分析建立。2.1系统建模与动态方程02二月2023

6数学模型的建立方法(2)系统辩识建模（黑箱）系统内部结构不清楚，利用实验方法建立。(3)介于前两者之间的建模(灰箱)

内部结构知道一部分，通过实验测一些参数2.1系统建模与动态方程输入输出02二月2023

7数学模型求取系统性能指标的主要途径：求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性2.1系统建模与动态方程02二月2023

8根据系统机理建模的步骤：

a.确定输入量和输出量。

b.确定系统的中间变量。根据非线性元件的多少；电容以电容电压为变量，电感以电感电流为变量。（注意：不一定有多少就确定多少个变量，有一些同性质的串并联合并以后再确定中间变量）2.1系统建模与动态方程02二月2023

9根据系统机理建模的步骤：

c从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据物理、化学、生物规律（机理），列出各变量的微分方程；条件容许下忽略次要因素。

d列出原始方程中中间变量与其他因素的关系。

e消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；按模型要求整理出标准形式。

2.1系统建模与动态方程02二月2023

102.1.1电气和电子系统数学模型的建立

例1建立电阻元件的数学模型。

[解]明确输入、输出量。列出原始微分方程式。根据电路理论得：

2.1系统建模与动态方程02二月2023

112.1.1电气和电子系统数学模型的建立

例2试建立电感元件的数学模型。

[解]明确输入、输出量。列出原始微分方程式。根据电路理论得：2.1系统建模与动态方程02二月2023

122.1.1电气和电子系统数学模型的建立

例3试建立电容元件的数学模型。

[解]明确输入、输出量。列出原始微分方程式。根据电路理论得：2.1系统建模与动态方程02二月2023

132.1.1电气和电子系统数学模型的建立

例4简单的RC网络如下，建立系统微分方程。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)2.1系统建模与动态方程02二月2023

14[例5]：如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。

[解]:RLCi(t)ur(t)uc(t)2.1系统建模与动态方程02二月2023

15[例6]：建立他励直流电动机拖动系统的数学模型。忽略电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。＋－＋－2.1系统建模与动态方程02二月2023

16明确输入、输出量。列些微分方程。根据电枢回路电压平衡方程微分方程得：电磁转矩方程：

电动机轴上的转矩平衡方程：

[解]:

，

例6续02二月2023

17消去中间变量:

他励电动机作为动力设备，是感性负载，电枢电感较小，电枢电阻很小。由数学模型可知：他励直流电动机的转速与电枢电压成正比，故可作为测速发电机使用，转速与电压之间的关系为:

[解]:

例6续02二月2023

18[例7]RC网络如下，建立系统微分方程图为：RC组成的四端无源网络。U1(t)为输入量，U2(t)为输出量，建立网络微分方程。2.1系统建模与动态方程2.1.1电气和电子系统数学模型的建立02二月2023

19

[解]:设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：

②③④⑤①由④、⑤得：例7续02二月2023

20由②导出：将i1、i2代入①、③得:RC组成的四端网络，是一个二阶线性微分方程。例7续02二月2023

212.1.2机械系统数学模型的建立

例1建立所示机械系统的数学模型，地面光滑。

[解]：明确输入、输出量。列出原始微分方程式。根据牛顿运动定律：

2.1系统建模与动态方程02二月2023

222.1.2机械系统数学模型的建立

例2列写机械位移系统即质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。Fy(t)kfm2.1系统建模与动态方程02二月2023

23整理得:[解]:阻尼器的阻尼力:

弹簧弹性力:例2续02二月2023

242.1.2机械系统数学模型的建立例3

试建立所示汽车悬浮系统的数学模型。

汽车悬浮系统等效汽车悬浮系统

质心车体0x2.1系统建模与动态方程02二月2023

25[解]：明确输入、输出量。为地面凹凸引起的位移输入量，为汽车相对水平地面的垂直位移输出量。列出原始微分方程式。根据牛顿运动定律：

例3续02二月2023

262.1.3热量系统

例建立电炉加热系统的数学模型[解]:明确输入、输出量。电炉丝发出的总热量为输入量，电炉升高的温度为输出量。系统平衡方程:电炉丝发出的总热量＝液体温度升高所需热量+容器壁向外散失的热量式中：c为炉子的热容量，此系统温度升高所需热量为;K为比例常数，散失的热量为K。

2.1系统建模与动态方程02二月2023

272.1.4相似性定义：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。比较：电路系统例5、6、8和机械系统例3，代表的是类别、结构完全不同的系统，但表征其运动特征的微分方程式却是相似的。2.1系统建模与动态方程02二月2023

28

同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。利用这个性质，就可以用那些数学模型容易建立，参数调节方便的系统作为模型，代替实际系统从事实验或仿真研究，或者直接研究数学模型的特性来分析实际系统的特性。2.1系统建模与动态方程2.1.4相似性02二月2023

29非线性系统：用非线性微分方程描述。2.1.5非线性系统微分方程的线性化

线性系统：用线性微分方程描述。2.1系统建模与动态方程02二月2023

30线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。线性系统又分为：

线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。2.1系统建模与动态方程严格说来：实际物理元件或系统都是非线性的02二月2023

312.1.5非线性元件、系统线性化

非线性元件、系统线性化的条件：

实际元件、控制系统常以某一工作点为平衡点，信号围绕该平衡点的信号小范围内变化，此时得到的非线性系统输出可以看成是在平衡点附近有限工作范围内的线性系统输出。

2.1系统建模与动态方程02二月2023

322.1.5非线性元件、系统线性化

线性元件、系统线性化处理办法：a.忽略不记，取常值。

例如：电阻2.1系统建模与动态方程02二月2023

33b.泰勒级数展开，取线性部分小偏差线性化：

用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。2.1系统建模与动态方程2.1.5非线性元件、系统线性化

线性元件、系统线性化处理办法：02二月2023

34只有一个变量的处理方法：

1、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化。即：x=x0+△x,y=y0+△y2、近似处理：略去高阶无穷小项：3、数学方法：略去增量符号，得函数在A点附近的线性化方程：小偏差线性化02二月2023

35有两个变量的处理方法：

对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1,x2)，可在某工作点(x10,x20)附近用泰勒级数展开，取其线性项，去掉二阶以上项：02二月2023

36例1铁芯线圈如下，列写输入量u(t)和输出量i(t)之间的关系式。铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为：02二月2023

37

因磁通φ(i)与电流i呈非线性关系，因此上式是非线性方程。在工程应用中，如果电路的电压只在平衡点（φ0,i0）附近作微小变化，则将φ(i)在i0附近用泰勒级数展开：约去增量符号，代入方程得：若平衡位置发生变化，则L值亦应改变。02二月2023

38例2试建立所示单摆非线性系统的数学模型。

[解]：由动力学得:当在平衡位置（）作

很小得摆动时，。此时有：02二月2023

39非线性系统线性化数学模型的建立步骤非线性系统满足线性化条件下才能建立数学模型。建立数学模型的步骤：(1)根据非线性系统列出非线性微分方程。(2)确定非线性系统的稳定工作点，并求出稳定工作点处各变量的工作状态。(3)检查非线性部分是否满足线性化处理条件，满足则进行线性化处理，否则不能线性化。(4)在工作点的领域内将非线性函数通过增量的形式表示成线性函数。(5)联立解方程得到只含有系统总输入和总输出的线性化方程。02二月2023

40在线性化处理时要注意以下几点：（1）线性化方程中的参数与选择的工作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。（2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大，注意变化是在小范围内。（3）如系统在工作点处的非线性性是不连续的，其泰勒级数不收敛，这时上述方法不能用，这种非线性称为本质非线性。02二月2023

41求解方法：经典法、拉氏变换法、零状态响应、零输入响应2.2线性定常系统的传递函数拉氏变换法求解步骤：

1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；

2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。02二月2023

422.2线性定常系统的传递函数2.2.1传递函数的定义

定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：线性定常系统、初始条件为零时、拉氏变换之比)()(sRsC==零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数02二月2023

43

复习－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足：

①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续,且有

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作:

02二月2023

44⑵拉氏变换基本定理线性定理位移定理延迟定理终值定理复习－拉普拉斯变换与反变换02二月2023

45⑵拉氏变换基本定理初值定理

微分定理

积分定理

复习－拉普拉斯变换与反变换02二月2023

46⑶拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为:复习－拉普拉斯变换与反变换02二月2023

47⑶拉氏反变换

F(s)化成下列因式分解形式：

b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为

复习－拉普拉斯变换与反变换02二月2023

48⑶拉氏反变换

F(s)化成下列因式分解形式：

c.F(s)含有多重极点时，可展开为

其余各极点的留数确定方法与上同。复习－拉普拉斯变换与反变换02二月2023

49传递函数说明●又是一种数学模型●外部描述●与输入信号无关◣描述系统变量间的数学关系式◣输入仅是激励，输出中会包含它◣输入与输出是系统对外联系的变量，不反映内部结构02二月2023

50●时域信号用小写字母例如r(t)，c(t)●传递函数用大写字母例如G(s)，W(s)●复域信号用大写字母例如R(s)，C(s)函数，反映系统变量间关系，描述系统特性信号，时域信号的另一种表示信号，变化的物理量，随时间而变传递函数说明02二月2023

51

表示为有理分式形式：式中：—为实常数，一般n≥m，上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。传递函数的几种表达式2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

52

表示成零点、极点形式：传递函数的几种表达式2.2线性定常系统的传递函数式中：为时的解，即传递函数的零点，称为是的解，即传递函数的极点。为传递系数或根轨迹增益。02二月2023

53K称为传递系数或开环增益，频率法中使用较多。传递函数的零点和极点

0jS平面零、极点分布图：传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为:2.3传递函数

02二月2023

54

写成时间常数形式：式中：分别称为时间常数，K称为放大系数传递函数的几种表达式2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

55

写成时间常数形式：若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若为共轭复极点，则：或传递函数的几种表达式2.2线性定常系统的传递函数

02二月2023

56若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：故：传递函数是一些基本因子的乘积。基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。或：2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

57例：设系统输出变量为y(t)，输入变量为u(t)1若:y(t)=ku(t)2若：3若：2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

584若：5若：是常数tt),()(-=tuty2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

596若：2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

60性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。2.2.2传递函数的性质G(s)R(s)C(s)2.2线性定常系统的传递函数性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量形式（幅度与大小）无关。02二月2023

61性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数.。性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。2.2线性定常系统的传递函数如果将置换,性质5传递函数与微分方程之间有关系。02二月2023

62性质6如果系统G(s)未知，可给系统加上已知的输入，研究其输出，得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operationalmode）2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

63性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

传递函数概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

642.2线性定常系统的传递函数典型环节通常分为以下六种：1比例环节特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。2.2.3典型环节的传递函数任何复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。

K-增益02二月2023

65特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。2惯性环节

T-时间常数2.2线性定常系统的传递函数2.2.3典型环节的传递函数02二月2023

66特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。3微分环节理想微分一阶微分二阶微分2.2线性定常系统的传递函数2.2.3典型环节的传递函数02二月2023

674积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。2.2线性定常系统的传递函数2.2.3典型环节的传递函数02二月2023

68

式中:ξ－阻尼比;-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。5振荡环节2.2线性定常系统的传递函数2.2.3典型环节的传递函数02二月2023

696纯时间延时环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。－延迟时间2.2线性定常系统的传递函数2.2.3典型环节的传递函数02二月2023

70Xi：地面凹凸引起的位移（输入）Xo：汽车相对水平地面的垂直位移（输出）2.2线性定常系统的传递函数例1汽车悬浮系统如前例题02二月2023

71例2两级RC串联网络，列写传递函数。2.2线性定常系统的传递函数02二月2023

72例2续代入对应元件的复数阻抗：、解：02二月2023

732.3.1结构图的组成2.3控制系统的结构图与化简R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)结构图组成：由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成。有：

信号线；方框；比较点；引出点。02二月2023

74

例1

绘出RC电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)2.3控制系统的结构图与化简2.3.2结构图的建立02二月2023

75例2绘制双RC网络的结构图。IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)2.3控制系统的结构图与化简2.3.2结构图的建立02二月2023

76U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)例2续02二月2023

77[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。[类型]：①环节的合并；包括串联、并联、反馈连接②信号引出点或相加点的移动。[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。2.3.3结构图的等效变换

2.3控制系统的结构图与化简02二月2023

78（一）环节的合并

环节的串联：X1(s)=G1(s)X(s)X2(s)=G2(s)X1(s)…Y(s)=Gn(s)Xn-1(s)G(s)X(s)Y(S)02二月2023

79

环节的并联：G(s)X(s)Y(S)Y(s)=G1(s)X(s)+G2(s)X(s)+…+Gn(s)X(s)=G(s)X(s)（一）环节的合并02二月2023

80

反馈联接：G

(s)X(S)Y(S)

开环传递函数：断开反馈环节H(S)的输出，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G(S)*H(S)

：

m==F\)()()(sXsYs开环传递函数前向通道传递函数1（一）环节的合并02二月2023

81

当前三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和引出点。①信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端（二）信号相加点和引出点的移动和互换：02二月2023

82

把相加点从环节的输出端移到输入端：（二）信号相加点和引出点的移动和互换：02二月2023

83②信号引出点的移动：引出点从环节的输入端移到输出端（二）信号相加点和引出点的移动和互换：02二月2023

84

引出点从环节的输出端移到输入端：[注意]：相临的信号相加点位置可以互换（二）信号相加点和引出点的移动和互换：02二月2023

85

同一信号的引出点位置可以互换

相加点和引出点在一般情况下，不能互换。故一般情况下：相加点向相加点移动，引出点向引出点移动。(向同类移动，相邻同类才可交换)02二月2023

86例3RC网络方块图的化简02二月2023

87(续1)等效变化请问：图中进行等效变化后的表示有无其它问题？已经不是此信号了！02二月2023

88(续2)化简02二月2023

89(续3)进一步化简02二月2023

90(续4)结果02二月2023

91例4G4(s)-G2(s)G6(s)-C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)02二月2023

92例5结构图化简(1)结构图化简方案ⅠH1H2G1G2G3G4--RYRH2+G3H1G1G2G3H2G4-Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)02二月2023

93(2)结构图化简方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4-RY(a)H2/G3G4RY(b)H1H2G1G2G3G4--RY02二月2023

94(3)结构图化简方案ⅢG1G2G3H1/G1G4RY-(a)G4G1G2G3YR-(b)H1H2G1G2G3G4--RY02二月2023

951.等效为单位反馈系统其它等价法则R(s)

-C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+[-H(s)]C(s)C(s)G(s)H(s)

-R(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)2.负号可在支路上移动02二月2023

96例6

双RC网络的结构图简化。Ui(s)R1---Uo(s)(b)Ui(s)--Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)-(e)(d)Ui(s)R1C2s-Uo(s)-Ui(s)---I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)(a)02二月2023

97例7求图示系统的传递函数02二月2023

98(续1)02二月2023

99(续2)02二月2023

100(续3)02二月2023

101(续4)02二月2023

102(续5)02二月2023

1032.3控制系统的结构图与化简2.3.4自动控制系统的传递函数

1自动控制系统的典型结构R(s)E(s)N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)B(s)-02二月2023

104

2输入信号作用下的闭环传递函数给定信号作用下的闭环传递函数(N(s)=0)

2.3控制系统的结构图与化简

扰动作用下的闭环传递函数(R(s)=0)

2.3.4自动控制系统的传递函数02二月2023

1052.3控制系统的结构图与化简

3.输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出

2.3.4自动控制系统的传递函数02二月2023

106

4.闭环系统的误差传递函数[定义误差：E(s)=R(s)-B(s)]2.3控制系统的结构图与化简2.3.4自动控制系统的传递函数02二月2023

1072.4信号流图和梅逊公式信号流图：用来描述线性代数方程组之间因果关系的。在表示线性系统的S域模型时，它和方块图是一致的。由节点和支路组成的一种信号传递网络。信号流图的基本组成单元有两个：“￫”支路：表示信号传递方向，同时在信号旁边标明传递的增益。“o”节点：表示信号，同时含有代数求和的意思。02二月2023

108

信号流图的基本概念：

1)节点：系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示；

2)信号：在支路上沿箭头单向传递；

3)支路：相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；

4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。

输入支路：进入节点的支路

输出支路：离开节点的支路

信号流图中常用的名词术语：02二月2023

109源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。

阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。2.4信号流图和梅逊公式02二月2023

1101+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x12.4信号流图和梅逊公式02二月2023

111前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2.4信号流图和梅逊公式02二月2023

1122.4.1信号流图的绘制

1.由系统微分方程绘制信号流图

1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；

2）每个变量指定一个节点；

3）将方程按照变量的因果关系排列；

4）连接各节点，并标明支路增益。2.4信号流图和梅逊公式02二月2023

113上式拉氏变换：

C1uiR1R2uoi1i例1dt)ii(C1R)t(i111ò-=)t(u)t(uR)t(iio11=+2oR)t(i)t(u=02二月2023

114C1uiR1R2uoi1i例1：信号传递流程：Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C102二月2023

115

1)用小圆