空间向量巧解平行、垂直关系

实用标准文案高中数学 空间向量巧解平行、垂直关系编稿老师 咏霞 一校 黄楠 二校 雪 审核 建彬一、考点突破知识点 课标要求 题型 说明能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直。2.理解直线的方向向量与平面的注意用向量方选择题法解决平行和垂直空间向量巧解法向量。3.填空题问题中坐标系的建平行、垂直关系能用向量方法解决线面、面面的解答题立以及法向量的求垂直与平行问题，体会向量方法在法。立体几何中的作用。二、重难点提示重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。考点一：直线的方向向量与平面的法向量1.直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。2.如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量 a叫作平面α的法向量。【核心归纳】精彩文档实用标准文案①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。【随堂练习】已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（）A.（1，1，1）B.(3,3,3)333C.(1,1,1)D.(3,3,3)333333思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。uuuruuur答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－uuuryz0uuurAB·nuuurxy0，∴x＝y＝z，1，1，0），AC＝（－1，0，1），则BC·nuuurxz0AC·n又∵单位向量的模为1，故只有B正确。技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：（1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。（2）找出（求出）平面的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n·a0n·b0.（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，线线平行，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）b2，c2），则l∥m?a∥b?（a1设l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），α的法向量为u＝（a2，b2，c2），线面平行则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0设α，β的法向量分别为 u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2），面面平行则α∥β?u∥v?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）设两条不重合的直线 l，m的方向向量分别为 a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，线线垂直b2，c2），则l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0设l的方向向量为 a＝（a1，b1，c1），α的法向量为 u＝（a2，b2，c2），线面垂直则l⊥α?a∥u?a＝ku?（a1，b1，c1）＝k（a2，b2，c2）（k∈R）设α，β的法向量分别为 u＝（a1，b1，c1），v＝（a2，b2，c2），面面垂直则α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0精彩文档实用标准文案【核心突破】①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ：建立立体图形与空间通过向量运算，研究把向量的运算结果向量的联系，用空间点、直线、平面之间“翻译”成相应的几向量表示问题中涉及的位置关系以及它们何意义。的点、直线、平面，之间的距离和夹角等把立体几何问题转化问题。为向量问题。例题1 （改编）如图，在四面体 A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。由题意知，A（0，2，2），B（0，－2，0），D（0，2，0）。uuuruuur3x0,23y0,1设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为AQ3QC，所以Q。4442因为M为AD的中点，故M（0，2，1），又P为BM的中点，故P0,0,1，2精彩文档实用标准文案uuur323。所以PQ＝44y0,04x0,uuur又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD。技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。例题2 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱） ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证： AB1⊥平面A1BD。思路分析：证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。答案：证明：如图所示，取 BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，所以 AOBC。∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，uuuruuuuruuur取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，3），A（0，0，3），B1（1，2，0）。uuuruuuruuurBA1＝（－1，2，3），BD＝（－2，1，0）。AB1=（1，2，3）设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），uuuruuuruuurnBA10x2y3z0因为n⊥BA1，n⊥BD，故uuur02xy0，nBD令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝（1，2，－3）为平面A1BD的一个法向量，uuuruuuruuur而AB1＝（1，2，－3），所以AB1＝n，所以AB1∥n，故AB1⊥平面A1BD。技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面的法向量平行。例题3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C。精彩文档实用标准文案思路分析：建系写出坐标，分别求出两个平面的法向量，证明两个平面垂直。答案：证明：由题意得 AB，BC，B1B两两垂直，以 B为原点，分别以 BA，BC，BB1所在直线为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），C1（0，2，1），E（0，0，1），uuuruuuruuuuruuur2则AA1＝（0，0，1），AC＝（－2，2，0），AC1＝（－2，2，1），AE＝（－2，0，1）。2uuurz0设平面AA1C1C的一个法向量为n1·AA10n1＝（x，y，z），则uuur2x2y0n1·AC0令x＝1，得y＝1，∴n1＝（1，1，0）。设平面AEC1的一个法向量为n2＝（x0，y0，z0），则uuuur2x02y0z00n2·uuurAC102x01z00n2·AE02精彩文档实用标准文案令z0＝4，得x0＝1，y0＝－1。∴n2＝（1，－1，4）。∵n1·n2＝1×1＋1×（－1）＋0×4＝0，∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C。技巧点拨：利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径， 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后，只须经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度。利用向量解决立体几何中的探索性问题【满分训练】在体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，棱BB1上是否存在一点M，使得D1M⊥平面EFB1。思路分析：设出点M的坐标，利用线面垂直列方程组求解。答案：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设体的棱长为2，则E（2，1，0），F（1，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）。uuuruuuruuuuur设M（2，2，m），则EF＝（－1，1，0），B1E＝（0，－1，－2），D1M＝（2，2，m－2）。∵D1M⊥平面EFB1，∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，uuuuuruuuruuuuuruuur∴D1M·EF＝0且D1M·B1E＝0，于是220，∴m＝1。22(m2)0故取B1B的中点为M就能满足DM⊥平面EFB。11技巧点拨：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件做出判断，再精彩文档实用标准文案进一步论证。另一种是利用空间向量， 先设出假设存在的点的坐标， 再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在” 。（答题时间：40分钟）1.（东营高二检测） 已知平面α的法向量为 a＝（1，2，－2），平面β的法向量为 b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（ ）A.4 B.－4 C.5 D.－5uuur uuur uuur2.（高二检测）若 AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）A.相交 B.平行 C.在平面 D.平行或在平面uuur uuur uuur uuur uuur已知AB＝（1，5，－2），BC＝（3，1，z），若AB⊥BC，BP＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为（ ）33，－15401540，－2，4D.4，40A.，4B.，－，4C.，－15777777（模拟）如图，已知体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1。（1）求证：E，B，F，D1四点共面；2（2）若点G在BC上，BG＝ ，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为 H，求证：EM3⊥平面BCC1B1。5.下列命题中，正确的是________。（填序号）①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥βn1·n2＝0；精彩文档实用标准文案③若n是平面α的一个法向量， a与平面α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。uuur uuur uuur uuur uuur平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（DB＋DC－2DA）（·AB－AC）＝0，则△ABC的形状是 三角形。7.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点。在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由。（调研卷）如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为 1的形，侧棱 A1A＝2。（1）证明：AC⊥A1B；uuuruuur（2）是否在棱A1A上存在一点P，使得APPA1，且面AB1C1⊥面PB1C1。＝λ精彩文档实用标准文案D解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5。uuur uuur uuur uuur uuur uuurD解析：∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面。uuuruuuruuuruuur3.B解析：∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，40uuuruuuruuuruuurx15y60x7。又∵BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则3x1y12，解得150y7证明：（1）以B为原点，以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间uuur直角坐标系 B-xyz，则B（0，0，0），E（3，0，1），F（0，3，2），D1（3，3，3），则BEuuur uuuur uuuur uuur uuur＝（3，0，1），BF＝（0，3，2），BD1＝（3，3，3），所以BD1＝BE＋BF。由向量共面的充要条件知E，B，F，D1四点共面。（2）设M（0，0，z0），G 0,2,03

，则GM＝0,2uuur,z0，而BF＝（0，3，2），3uuur2＝1。故M（0uuurBF＝－00，0，1），有ME＝（3，30，0）。uuuruuuruuuruuuruuuruuur又BB1＝（0，0，3），BC＝（0，3，0），所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC。又BB1∩BC＝B，故EM⊥平面BCC1B1。②③④解析：②③④一定正确，①中两平面有可能重合。uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur6.等腰 解析：（DB＋DC－2DA）（·AB－AC）＝（DB－DA＋DC－DA）·CBuuur uuur uuur＝（AB＋AC）·CB＝0，故△ABC为等腰三角形。解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1（0，2，3），M（1，2，0），D（0，