空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及其坐标表示学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题1．在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；③若a、b是两个不共线的向量，且cab,R,0，则a,b,c构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．32．若a,b,c是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A．a,2b,3cB．ab,bc,caC．a2b,2b3c,3a9cD．abc,b,c3．已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量ab,ab,c是空间的另一个基底，一向量p在基底a,b,c下的坐标为1,2,3，则向量p在基底ab,ab,c下的坐标为（）A.1,3,3B.3,1,32222C.3,13D.13,32,2,224．若向量MA、MB、MC的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ O是空间任一点），则能使向量 MA、MB、MC成为空间一组基底的关系是（ ）A.OM111B.MAMBMCOA3OBOC33C.OMOAOBOCD.MA2MBMC5．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示向量MN为（）试卷第1页，总4页A.1a1b1cB.222C.1a1b1cD.2226．以下四个命题中，正确的是（ ）

1a1b1c2221a1b1c2221OA1A．若OPOB，则P、A、B三点共线23B．向量a,b,c是空间的一个基底，则ab,bc,ca构成空间的另一个基底C．abcabcD．△ABC是直角三角形的充要条件是ABAC07．若e1ee是空间的一个基底，ae1e2e3be1e2e3ce1e2e3，,2,3，，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z的值分别为（）A．5，，1B5，，12222C．511D．5，1，122228．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为AC11的中点，若ABa，AA1c，BCb，则下列向量与BM相等的是（）1111A.abcB.abc2222试卷第2页，总4页1111C.abcD.abc2222评卷人 得分二、填空题9．已知四面体ABCD中，ABa2c，CD5a6b8c，AC，BD的中点分别为E，F，则EF______.10．如图，在正方体ABCDABCD中，用AC，AB1，AD1作为基向量，则1111AC1__________.11．在平行六面体ABCD1A1B1C1D中，若ACxAB2yBC3zCC，则11xyz__________评卷人 得分三、解答题12．如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，O，O1分别为底面 ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB 6，AA1 4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N:NC＝1:3.（1）以O为原点，分别以 OA，OB，OO1所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直试卷第3页，总4页角坐标系，求图中各点的坐标．（2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PAAD1，求MN、DC的坐标．14．如图所示，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 OA，OB，OC表示OP和OQ.试卷第4页，总4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1．C【解析】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当cab时，a、b、c共面，故只有①②正确．故选C.考点：空间向量的基底.2．C【解析】3a2b32b3c3a9c0，∴3a9c3a2b32b3c，即三向量a2b,2b3c,3a9c共面，故选C.考点：空间向量的基底表示.3．B【解析】设p在基底ab,ab,c下的坐标为x,y,z，则pa2b3cxabyabzcxyaxybzc，x3,xy1,21所以xy2,解得y,z3，2z3,故p在基底 a b,a b,c下的坐标为 3,1,3.2 2考点：空间向量的基底表示 .4．C【解析】A中，因为1111，所以M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC333不能成为空间的一组基底；B中，MAMBMC，但可能MAMBMC，即M、A、B、C可能共面，所以向量MA、MB、MC不一定能成为空间的一组基底；D中，∵MA2MBMC，∴M、A、B、C共面，所以向量MA、MB、MC不能成为空间的一组基底，故选C.考点：空间向量基本定理.5．C【解析】如图所示，连接ON，AN，则ON11bc，OBOC22答案第1页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。AN1AB12OAOB12abca11ACOC2bc，2222所以MN1ONAN1a1b1c.2222考点：空间向量的基底表示.6．B【解析】A中，若OP1OA1OB，则P、A、B三点不共线，故A错；23B中，假设存在实数k1，k2，使cak1abk2bck1ak1k2bk2c，则k11,有k1k20,方程组无解，即向量ab，bc，ca不共面，故B正确；k21,C中，ababcosa,bab，故C错；D中，ABAC0△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能是角B等于90°，则有BABC0，故D错．考点：空间向量的基底表示 .7．A【解析】dxaybzcxe1e2e3ye1e2e3ze1e2e3xyze1xyze2xyze3e12e23e3，xyz1,51由空间向量基本定理，得xyz2,∴x1，z，y.xyz3,22考点：空间向量基本定理.8．A【解析】B11M1Bab11B221 1abc.22考点：空间向量的基底表示 .9．3a 3b 5c答案第2页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【解析】如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则EFGF1CDGE211111BA2CDAB5a6b8ca2c3a3.b5c2222考点：空间向量的基底表示 .10．1AD1AB1AC2【解析】2AC12AA12AD2ABAA1ADAA1ABADABAD1AB1AC，所以AC11AB1AC.AD12考点：用向量的线性表达式表示向量 .11．

76【解析】如图所示，有 AC1 AB BC CC1 AB BC 1C1C.xx1,1,1又因为AC1xAB2yBC3zC1C,所以2y1,解得y,3z1,21,z3答案第3页，总5页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。所以xyz1117236考点：空间向量的基底表示.12．详见解析【解析】（1）正方形ABCD中，AB6，∴ACBD62，从而OAOCOBOD32，∴各点坐标分别为A32,0,0，B0,32,0，C32,0,0，D0,32,0，O0,0,0，O10,0,4，A132,0,4，B10,32,4，C132,0,4，D10,32,4，M0,32,2，N32,0,3．（2）同理，A6,0,0，B6,6,0，C0,6,0，D0,0,0，A16,0,4，B16,6,4，C10,6,4，D10,0,4，O3,3,0，O13,3,4，M6,6,2，N0,6,3．考点：空间中点的坐标表示 .13．详见解析【解析】∵PAADAB，且PA平面ABCD，ADAB，∴以DA,DB,DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.设DAe1，ABe2，APe3．∵MNMAAPPNMAAP1PCMAAP1PAADDC221e2e31e3e1e21e11e3，2222∴MN1,0,1，DCABe20,1,0．22考点：空间向量的坐标表示 .答案第4页，总