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文档简介
3配套练习1.如图,在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF2FD,AFD90,且二面角DAFE与二面角CBEF都是60(I)证明:平面ABEF平面EFDC;;(II)求二面角EBCA的余弦值.2.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB5,AC6,点E,F分别在AD,CD上,AECF5,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到D'EF位置,4OD10.(Ⅰ)证明: DH 平面ABCD;(Ⅱ)求二面角 B DA C的正弦值.3.在如图所示的圆台中, AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆 O'的直径, FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH//平面ABC;(2)已知EF=FB 1AC23,ABBC,,求二面角FBCA的余弦值.2配套练习答案1.【解析】⑴ ∵ABEF为正方形AFEFAFD90AFDFDFEF=F∴AF 面EFDC AF 面ABEF∴平面ABEF 平面EFDC⑵由⑴知 DFE CEF 60AB∥EFAB 平面EFDCEF 平面EFDCAB∥平面ABCDAB 平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CDAB∥CD,∴CD∥EF∴四边形EFDC为等腰梯形以E为原点,如图建立坐标系,设FDaE0,0,0B0,2a,0Ca,,3A2a,a2,022EB0,2a,0,BCa,2a,3a,AB2a,0,022设面BEC法向量为m x,y,z.2ay10mEB0,即ax13mBC02ay1az1022x13,y10,z11m3,0,1设面ABC法向量为nx2,y2,z2nBC=0ax22ay23az20.即22nAB02ax20x20,y23,z24n0,3,4设二面角EBCA的大小为.cosmn4219mn3131619∴二面角EBCA的余弦值为219192.【解析】⑴证明:∵ AE CF 5,∴AECF,4 AD CDEF∥AC.∵四边形 ABCD为菱形,∴ AC BD,∴EF BD,∴EF DH,∴EF DH.AC6,∴AO3;又AB 5,AO OB,∴OB 4,OHAEOD1,AO∴DHDH3,222∴ODOHD'H,D'HOH.又∵OHIEF H,D'H面ABCD.⑵建立如图坐标系 H xyz.B5,0,0,C1,3,0,D'0,0,3,A1,3,0,uuuruuuruuur0,6,0,AB,,,AD'1,3,3,AC430ur设面ABD'法向量n1x,y,z,n1AB04x3y0x3由,取y4,得n1AD0x3y3z0z5ur.∴n13,,45同理可得面AD'C的法向量uurn2,,,301uruur∴cosn1n29575,uruurn1n2521025∴sin295.25【解】(Ⅰ)连结FC,取FC的中点M,连结GM,HM,因为GM//EF,EF在上底面内, GM不在上底面内,所以GM//上底面,所以 GM//平面ABC;又因为MH//BC,BC 平面ABC,MH 平面ABC,所以MH//平面ABC;所以平面GHM//平面ABC,由GH
平面
GHM
,所以
GH//
平面
ABC
.(Ⅱ)
连结
OB
,
AB
BC
OA
OB以为
O原点,分别以
OA,OB,OO
为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.EFFB1AC23,ABBC,2OOBF2(BOFO)23,于是有A(23,0,0),C(-23,0,0),B(0,23,0),F(0,3,3),可得平面FBC中的向量BF(0,-3,3),CB(23,23,0),于是得平面FBC的一
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