选修4-5 第二节 不等式证明、柯西不等式与平均值不等式1

选修4-5不等式选讲第二节不等式的证明、柯西不等式与平均值不等式抓基础提能力明考向

[备考方向要明了]一、比较法1．求差比较法知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明

即可，这种方法称为求差比较法．a－b＞0二、分析法从所要证明的

出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．结论四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定

的假设；2．进行推理，导出

；3．否定

，肯定

．结论矛盾假设结论(ac＋bd)22．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．

1．综合法与分析法的内在联系综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．2．放缩法证明不等式的理论依据主要有(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．注意：放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．[精析考题][例1]

(2011·福建高考)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．[自主解答]

(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0,故ab＋1＞a＋b.本例条件不变，试比较logm(ab＋1)与logm(a＋b)(m＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.当m＞1时，y＝logmX在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab＋1)＞logm(a＋b)当0＜m＜1时logmX在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab＋1)＜logm(a＋b)．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)[冲关锦囊]比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.[精析考题][例2]

(2011·安徽高考)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·南通二调)设x，y，z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．证明：因为x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分