质点运动习题解答

14.一质点沿X方向作直线运动,t时刻的坐标为

x=4.5t2-2t3,试求：

（1）第二秒内的位移和平均速度；（2）一秒末和二秒末的瞬时速度：（3）第三秒内质点通过的路程；（4）第二秒内的平均加速度以及0.5秒末和1秒末的瞬时加速度。解(1)x1=x|t=1s=2.5(m)x2=x|t=2s=2.0(m)第二秒内的位移Δx=x2-x1=-0.5m平均速度v__=___ΔxΔt=-0.5m/s(2)v=___dxdt=9t-6t2V1=V|t=1s=3m/sV2=V|t=2s=-6m/s(3)V=___dxdt=9t-6t2当___dxdt=0时X=Xmax即t=1.5s时X=Xmax=3.375m设第二秒内质点通过的路程S则S=(Xm–X1)+(Xm–X2)=2.25m(4)a__=V2–V1______t2–t1=-9m/s2a0.5=a|t=0.5=+3m/s2a1=a|t=1=-3m/s215.一质点的运动方程为X=Rcoswt其中R、h、w都是大于零的常数。（1）用草图画出质点在空间运动的轨道，它是一条什么曲线？（2）求任意时刻质点的速度和加速度。解（1）带电粒子在空间运动的轨迹是一条空间螺旋线。在XOY平面上的投影为中心在坐标原点、半径为R的圆。绕一圈所需时间为T=螺距为h2πwY=RsinwtZ=h/2ZYXOhVx==-RwsinwtVY==RwcoswtVz=w

dx

dtdy

dth

2π(2)V=-Rwsinwti+Rwcoswtj+kax==-RwcoswtaY==-Rwsinwtaz=0dy

dtdx

dt222222h

2πa=-Rw(coswti+sinwtj)216.一质点沿轴运动，已知加速度a=4t，初始条件为t=0，初速度V0=2，初始坐标X0=10，试求其运动方程（以上各量均为SI制单位）a==4tdVdtdV=4tdtdV=4tdt0tV0VV-V0=2t2V=2+2t2dX=2+2t2dt0tX0XV==2+2t2dXdtX-X0=2t+t323X=10+2t+t3(SI)23如图所示，AB杆以等角速度w绕A点转动，并带动水平槽OC上的质点M运动，设起始时刻杆在竖直位置，OA=h（1）列出质点M沿水平槽OC的运动方程。（2）求质点M沿槽OC滑动的速度大小。解：（1）设O点为轴坐标原点，X正方向沿OC方向,则M的位置为XX=htgwt(2)V==whsec2wtdXdtMBCOA18一质点按顺时针方向沿半径R为的圆运动，其路程与时间的关系为S=V0t-bt2，式中V0和b都是常数，试求：（1）t时刻质点的加速度。（2）t为何值时，加速度的值恰好等于b？此时质点已沿圆周运动了多少圈？（3）何时质点开始按逆时针方向运动？12解：（1）质点作变速圆周运动，所以其加速度a=an+at2dS

dt2at==-ban=VtR2(Vt==V0-bt)dS

dt=(V0-bt)R2a=b2+(V0–bt)4R2(2)a=b则V0–bt=0t=V0bS=V0t-bt2t==12V0bV02b2(3)t=质点开始逆时针方向运动V0b19一升降积以加速度1.22米/秒2上升。当上升到速度为2.44米/秒时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74米，计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间。（2）螺帽相对于升降机外固定柱子下降的距离。解：（1）以地面为参照系，并取螺帽松落时，升降机底面为坐标原点，竖直向上为正。螺帽松落时以初速度V0=2.44米/秒作竖直上抛运动。升降机以加速度a=1.22米/秒2作匀加速度运动。X秒时，螺帽位置为y1，升降机底面位置为y2。t=0y0y0则y1=y0+V0t-gt212y2=V0t-at212y1=y2得y0=(g+a）t212t=0.71(秒)Y0=2.74(米)（2）有y1–y0=V0t-gt2=-0.74(米)1220质点作圆周运动，轨道半径R=0.2米，以角动量表示的运动方程为q=10π

t+πt2(SI)，求（1）第3秒末的角速度和角加速度（2）第3秒末的切向加速度和法向加速度大小。12解：（1）{w==10π+πt=13π(1/s)dqdtt=3(2)at=R×β=0.2π(m/s2)β==π(1/s2)dwdtan=w2R=(13π)20.2=π2

(m/s2)169521有一和轻弹簧相联的小球，沿轴作振幅为A的简谐运动，其表达式用余弦函数表示，若t=0时，球的运动状态为（1）x0=-A，（2）过平衡位置向x正方向运动，（3）x0=过处向x负方向运动，（4）过x=处向x正方向运动，试用矢量图示法确定相应的初位相的值。A2A解：（1）AxAooφ=πφ=－π/2(2)Aoφ=π/3Aoφ=-π/4(3)(4)222一质点沿x轴做简谐运动，其方程为x=6cos(4πt+)厘米。试求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相位、速度和加速度的最大值。（2）质点从t=0时刻开始运动到达x=3厘米处，并向正方向运动所需的最短时间。（3）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。π3w=4π(1/s)解：（1）2πwT==0.5(s)A=0.06(m)φ=π3

V==-wAsin(wt+φ)dXdtVm=Aw=0.06×4π=0.24π=0.75(m/s)Am=Aw2=0.06×16π2=0.96π2=9.5(m/s2)(2)当时刻为tX=0.03=0.06cos(4πt+)π3且V>04πt+=ππ353t=(s)13(3)avavxtxO3-96π2-24π-48π24π34π=13(s)π

3t=0π

323有两个同方向的简谐运动，它们的方程(SI单位)如下：x1=0.05cos(10t+π),x2=0.06cos(10t+π)（1）求它们的合成振动的振幅和初相位。（2）若另有一振动x3=0.07cos(10t+φ)，问φ为何值时，x1+x3的振幅最大，φ为何值时，x2+x3的振幅最小。

34

14解:(1)A=A2+A2+2A1A2cos(φ2-φ1)12=0.078(米)φ=tg-1A1sinφ1+A2sinφ2A1cosφ1+A2cosφ2=84048’(2)φ-φ1=2Kπ(取K=0)则x1+x3振幅最大。φ=φ1=π

34φ-φ2=（2K+1)π(取K=0)则x2+x3振幅最大。φ=φ2+π=π

5424两个同方向的简谐运动，周期相同，振幅A1=0.05m，A2=0.07m，两者合成为一个振幅为A=0.09m的简谐运动，求两个分振动的相位差。A2=A2+A2+2A1A2cos(φ1-φ2)cos(φ1-φ2)==0.1φ1-φ2=84016’（0.47π）2A1A212A2-A2-A221狭义相对论27.一个质点在惯性系S'

中作匀速圆周运动，其轨迹为:试证明在与S‘中相对运动，且其相对速度沿X’方向，大小为

v的另一惯性系S

中测得质点作椭圆运动，椭圆中心以速度v运动。证明：把洛仑兹变换式：y’=yz’=zx’=x

+vt

S相对S’运动代入:

可得：可见在S系中，测得该质点运动轨迹为椭圆，其中心（--vt，0）在

z=0平面中沿着X

轴以速度v

运动。128.在S系中观察者测得相距600km的两事件同时发生，在相对S系作匀速运动的参照系S'中，测得它们的空间间隔是1200km，问在S'

系中测得这两件事的时间差是多少？

x=x'即：解：由于两件事的间距在S系中同时测定，因此它不是原长，而x'是原长，则：解之得：-vc2x-(/c)321/2=29.+

介子的平均寿命是2.610-8

s,如果它相对于实验室以0.8c的速度运动，那么实验室中测得它的寿命为多长？在它衰变以前留下的径迹是多长？

解：Sv2c212.61081()20.8cc=

30.设想一飞船以0.8c速度在地球上空飞行，如果此时从飞船上抛出一物体，它相对于飞船的速度为0.9c，方向与飞船飞行方向相同，问地面上测得该物体的速度有多大？解：

vx=

1+c2=0.8c+0.9c1+0.8c0.9cc2=0.988c解：当棒沿其长度方向以运动时，此人测得棒长缩短：质量为：31.某人测得一静止棒质量为m,长为l,求得其线密度当棒以速度v沿其长度方向运动时，此人再测得棒的密度是多少？若棒沿垂直于其长度方向以同一速度运动，其线密度又为多少？则棒的线密度为：

当棒沿垂直于长度方向运动时，其长度不收缩，则棒的线密度为：

32.一根米尺静止在S‘

系中，与O’X‘轴成30度角，如果在沿X轴运动的S系中测得该米尺与OX轴成45度角，试问S'相对于S的速度必需多大？S系中测得该米尺的长度等于多少？