论文题目：半无限长弦振动求解1

论文题目

：半无限长弦振动的求解学院2009级电气信息工程学院专业物理学届别2009学生姓名杨昌敏学号20090840526指导教师刘涵哲

论文的大体内容前言达朗贝尔公式用MATLAB求解时所用到的函数

无限长的弦的自由振动半无限长弦振动达朗贝尔公式达朗贝尔公式：达朗贝尔公式的适用范围：波动方程为：没有边界条件，有初始条件；初始位移为：u|t=0=φ(x),初始速度为ut|t=0=ψ(x)。

用MATLAB时所用的的函数

1.plot函数调用格式：plot(y),plot(x,y),plot(x1,y1,x2,y2……)

2.axis:坐标控制3.set:使用set命令可以改变刻度值4.Linspace:利用linspace函数创建向量.一维的弦振动方程的解析解及MATLAB求解无限长的弦的自由振动

例题1：定解问题utt-a*auxx=0(-∞<x<∞)

u（x,t=0）=sinTπlx=φ(x)

ut(x,t=0)=0

由达朗贝尔公式求得：u（x,t=0）=sinTπlxcosTπl(at)，用软件MATLAB进行求解得的图像按时间先后得到图形如下所示：结论：由常规求解得到的波形为sinTπlxcosTπl（at)，在(3l7≤x≤4l7)的波形sinTπlx向x轴的负方向传播及在(3l7≤x≤4l7)的波形sinTπlx向x轴的正方向传播；在MATLAB上进行求解所得图像与之符合，两例波所通过的地区振动消失而弦静止在原平衡位置.例题2：定解问题：utt-a*auxx=0(-∞<x<∞)

u（x,t=0）=φ(x)=0

ut(x,t=0)=ψ(x)=1由达朗贝尔公式求得：表示的波形向左和向右以a的速度移动.波也通过的地区,振动消失但偏离了原平衡位置，用软件MATLAB进行求解的图像.按时间先后得到图形如下所示：结论：用MATLAB求解得到的结果与常规求解所得结果一致，波也通过的地区,振动消失但偏离了原平衡位置.用端点反射来解决半无限长弦振动问题例题1:半无限长弦振动的初始位移和初始速度都为零，端点做很小的振动；u|x=0=Asin(wt)，求该弦的振动。

解：设u(x,t)表示t时刻x处的位移定解问题:utt-a*auxx=0(0<x<∞)

u（x,t=0）=φ(x)=0

ut(x,t=0)=0

u(x=0,t)=Asinwtⅰ.当x>at,则端点的影响未传到由达朗贝尔公式得u(x,t)=0ii当x<at，考虑到端点的影响，对问题进行延拓，设t=0时刻,Φ(x)=0(x≥0);Φ(x)=φ(x)(x<0)Ψ(x)=0(x≥0);Ψ(x)=ψ(x)(x<0)代入达朗贝尔公式并且满足边界条件，假设ψ(x)=0时，则φ(x)=2Asin（-wx/a）.得到的解为u（x,t）=Asinw（t-x/a），结论：在没有端点x=0影响下得到的波形是为零,然而随着时间的改变,被端点反射的波影响的部分的波形为u（x,t）=Asinw（t-x/a）.例题2.求解无限长理想传输线上电报方程的解，端点通过电阻R而相接。初始电压分布Acoskx,初始电流分布Acoskx,在什么条件下端点没有反射（这种情况叫做匹配）解：设v(x,t)为t时刻x,处的电压j(x,t)为t时刻x,处的电流定解问题：电压vtt-a*avxx=0

x<0

v(x,t=0)=Acoskx=φ(x)

Vt(x,t=0)==ψ(x)

电流jtt-a*ajxx=0

j(x,t=0)=

Acoskx=φ(x)

jt(x,t=0)==ψ(x)(1).︱x︱﹥at,认为端点的影响不能传到，由达朗贝尔公式求解得：

v（x,t）=Acosk(x-at)

j（x,t）=Acosk(x-at)

(2).︱x︱<at,考虑到端点的影响，令v（x,t）=Acosk(x-at)+V1(x+at)，

j（x,t）=Acosk(x-at)+j1(x+at)由jt=-vx/L，Vt=-jx/C的关系得

j1′(x+at)=-V1′(x+at)

再加上边界条件v(x=0,t)=Rj(x=0,t),解得

由表达式可知(x+at)项为反射波，要使反射波不存在，则=0即=则R0称为传输线的特性阻抗。结论：在没有端点x=0反射波的影响的时候的电压和电流的波形分别是v（x,t）=Acosk(x-at)和j（x,t）=Acosk(x-at)，受到端点的反射