专题11 全等模型-半角模型

2020年决胜中考经典专题分析专题11全等模型—半角模型什么叫半角模型定义：我们习惯把等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型我们称为半角模型半角模型特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，大角的两边相等解题思路（1） 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；（2） 证明与半角形成的三角形全等；（3） 通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等由题意得：四边形ABCD是正方形，所以AB=ADZABH=ZD在厶ABH和AADF中(AB=ADZABH=ZD (边角边)BH=DF因此△ABH^^ADF (SAS)则有ZFAD=ZHABAH=AFVZBAD=90°，ZEAF=45°AZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°即ZHAE=ZHAB+ZBAE=45°ZHAE=ZEAF在△△HAE和△FAE中AH=AFZHAE=ZEAFAE=AE因此△HAE94FAE，所以HE=EF则可以推理出：HB+BE=EF三角形CEF的周长等于EF+EC+FC=HB+BE+EC+FC=BC+DC则可以推理出：三角形CEF的周长等于正方形的周长一半由上面证明得△HAE^^FAE，所以ZBEA=ZFEA则可以推理出：AE平分ZBEF又•.•△ABH9AADF, AZH=ZAFD,•/△HAE^^FAE,AZH=ZAFE,即ZAFE=ZAFD,则可以推理出：AF平分ZDFE.《典例1》如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD上的点，ZEBF=45°,△EDF的周长为10,求四边形ABCD的周长？答案》由题意得,延长AD到点H使得AH=CF•・•四边形ABCD是正方形.\ZHAB=ZC=90°AB=BC・•・△HAB^^FCB即BH=BCZHBA=ZCBH则有ZHBE=ZEBF=45°{BH=BCZHBE=ZEBF (边角边)BE=BE.•.△HAE9AFBE (SAS)即HE=FE因此FE=AE+CF•△EDF的周长等于AD＋DC=10,・•・四边形ABCD的周长=2(AD+DC)=20.《精准解析》先作辅助线使得AH=CF，构造△HAB^^FCB，再证明厶HAE9AFBE得EF=EH,推理出EF=AE+CF,则最终得到AEDF的周长等于AD+DC=10,四边形ABCD的周长=2(AD+DC)=20120°半角模型，顶角为120°的等腰三角形BDC,ZMDN=60°AABC是等边三角形.

由题意得等腰三角形BDC中，ZBDC=120。所以ZDBC=ZDCB=30°,•・•△ABC是等边三角形.•・ZABD=ZACD=90。，即ZHBD=ZACD,在△HBD和△NCD中,BH=CN,ZHBD=ZACD,BD=DC,所以△HBD9ANCD(SAS),即DH=DN,ZHDB=ZCDN,因此ZHDM=ZMDN,则在AMDN和厶HDM中，DH=DNZHDM=ZMDN (边角边)DM=DM因此△MDN9AHDM,结论：MN=BM+NC,三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长.《典例2》如图，三角形ABC是等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且ZBDC=120°,以D为顶点做一个60°的角，使得两边分别交AB于M,交AC于点N,连接MN,,已经三角形ANM的周长为6,求等边延长AB到点H,使得BH=CN由题意得等腰三角形BDC中，ZBDC=120。所以ZDBC=ZDCB=30°•△ABC是等边三角形

.•・ZABD=ZACD=90。即ZHBD=ZACD在厶HBD和△NCD中{BH=CN（SAS）SAS）（SAS）SAS）所以△HBD9ANCD即DH=DN,ZHDB=ZCDN,因此ZHDM=ZMDN,则在AMDN和△HDM中DH=DNZHDM=ZMDN （边角边）DM=DM所以△MDN9AHDM因此MN=BM+NC,三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长•・•三角形AMN的周长等于6,・•・等边三角形ABC的边长=6十2=3,因此等边三角形ABC的周长为：3x3=9.《精准解析》先作辅助线使得BH=CN，构造△HBD△NCD，再证明△MDN9AHDM得HM=NM,推理出NM=BH+BM=BH+CN，因为三角形AMN的周长等于6,所以推理出等边三角形ABC的边长=6-2=3，因此等边三角形ABC的周长为：3x3=9《典例3》已知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,ZMAN绕着点A顺时针旋转，他的两边分别交于CB,DC（或他们的延长线）于点M,N,AH丄MN于点H（1） 如图1,ZMAN绕着点A顺时针旋转到BM=DN时，请直接写出AH与AB的数量关系：（）（2）如图2,ZMAN绕着点A顺时针旋转到BM^DN时，（1）中的结论还可以成立吗？如果不成立写出结论,成立的话请证明。（3） 如图3,已知ZMAN=45°,AH丄MN于点H,且MH=2.NH=3,求AH的长（可以利用（2）的结论）AA答案》1》如图1，AH=AB・•・AB=ADZD=ZABE=90。在Rt^AEB和Rt^AND中，AB=AD,ZD=ZABE,BE=DN・•・Rt^AEB^Rt^AND即AN=AE, ZNAD=ZEAB・ZEAM=ZNAM=45°在厶AEM和AANM中，AN=AE,ZEAM=ZNAM,AM=AM,.•.△AEM9AANM则厶AEM的面积等于AANM的面积EM=MN•・•AB,AH分别是AAEM和AANM对应的高因此AB=AH《精准分析》延长CB至E,使得BE=DN，证明△AEM^^ANM，因此AB=AH.《典例4》如图3分别沿AM,AN翻折，△AMH’AANH,得到△ABM和△AND,・BM=2,DN=3,ZB=ZD=ZBAD=90°分别延长BM和DN交于点C,得到正方形ABCD由《2》可知,AH=AB=BC=CD=AD设AH=xMC=x－2 NC=x－3在RtAMCN中，由勾股定理得，MN2=MC2＋NC2则有52